【八年级下册数学苏科版】第九章 中心对称图形平行四边形（坐标与旋转、矩形折叠、特殊四边形动点）

第九章中心对称图形平行四边形（坐标与旋转、矩形折叠、特殊四边形动点）知识拓展坐标与旋转规律问题典例1如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,将线段绕点O按逆时针方向旋转,再将其长度伸长为的倍,得到线段;又将线段绕点O按逆时针方向旋转,长度伸长为的倍,得到线段;如此下去,得到线段,,…（n为正整数）,则点的坐标是（

）

A． B． C． D．典例2如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺指针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…，若点、，则点的横坐标为（）A．10110 B． C． D．10120典例3如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB，，点O为坐标原点，点B在x轴上，点A的坐标是．若将绕点O顺时针方向依次旋转45°后得到，，，…，可得，，，…则的坐标是______．典例4如图，在平而直角坐标系中，将，，绕点O顺时针旋转后得到，依此方式，绕点O连续旋转2022次得到，如果点A的坐标为，那么点的坐标为______．跟踪训练1如图，将边长为1的正三角形沿x轴正方向连续翻转2023次，点P依次落在点，，，…，的位置，则点的横坐标为（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．跟踪训练2如图，在中，，，将沿轴依次以点、、为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③则旋转得到的第个三角形的直角顶点的坐标为_________.跟踪训练3如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2020次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为______．

矩形与折叠问题典例5如图①所示，四边形是长方形，将长方形折叠，点恰好落在边上的点处，折痕为，如图②所示：(1)图②中，证明：：(2)将图②折叠，点与点重合，折痕为，如图③所示，当时：①当时，求长方形的面积；②将图③中的绕着点旋转，使点与点重合，点与点重合．如图④，求证：．典例6同学们，折纸中也有很大的学问呢．张老师出示了以下三个问题，小聪、小明、小慧分别在黑板上进行了板演，请你也解答这个问题：在一张长方形纸片中，，，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题．(1)如图1，折痕为，点A的对应点F在上，则折痕的长为______cm；(2)如图2，H，G分别为，的中点，A的对应点F在上，折痕为，则______°．重叠部分的面积为_______；(3)如图3，在图2中，把长方形沿着对开，变成两张长方形纸片，将两张纸片任意叠合后，发现重叠部分是一个______形，证明你的结论；(4)在（3）的条件下，这个重叠部分的周长最短是____cm，重叠部分的周长最大周长是____cm．跟踪训练4长方形中，点E是的中点，将沿向下折叠后得到，将延长线交直线于点F．

(1)若点G恰好落在边上，则与的数量关系是____________；(2)如果点G在长方形的内部，如图所示：①试探究线段之间的数量关系，并说明理由；②若，，求的长度．重叠面积问题典例7如图，有A、B两个正方形，若将这两个正方形叠放在一起可得到图①，则图中阴影部分面积为1，若将A，B并列放置构造出新的正方形可得到图②，图中阴影部分面积为24，则新构造出的正方形面积为（

）A．49 B．65 C．78 D．97跟踪训练5如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（

）A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定跟踪训练6如图，正方形、、、的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按照如图所示的方式摆放，点、、分别位于正方形、、、对角线的交点，则阴影部分的面积和为（）A．12 B．13 C．14 D．18过关训练1．如图，已知菱形的顶点，，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，菱形的对角线交点D的坐标为______2．如图，正方形的定点与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是___________．3．如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为_____．4．如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_____．5．综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，为边上一点，为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点、的对应点分别为点、，且、、三点共线．(1)如图1，若为边的中点，，点与点重合，则____，____；(2)如图2，若为的中点，，，求的长．(3)，，若为的三等分点(图仅供参考)，请直接写出的长．6．综合与实践：操作体验：数学活动《折纸与证明》中，有这样一段活动材料：①如图1-①，把正方形对折后再展开，折痕为；②如图1-②，将点A翻折到上的点处，且使折痕过点B；③如图1-③，沿折叠，得（如图1-④）．（1）根据以上操作，试证明是等边三角形；初步探究：（2）某活动小组发现另一种折等边三角形的方法：如图2，点N在边上，翻折，使得点B落在折痕上的点H处，连接，则是等边三角形，若；①求的长；②连接并延长交的延长线于点M，交于点G，如图3，求的长；深入探究：（3）另一活动小组将沿翻折到位置，延长交于点Q，如图4，求证：点Q是的三等分点．7．如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足．(1)求点A的坐标；(2)取中点M，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P．①求的长；②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接．请你求出线段长度的最大值．

第九章中心对称图形平行四边形（坐标与旋转、矩形折叠、特殊四边形动点）答案全解全析知识拓展坐标与旋转规律问题典例1如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,将线段绕点O按逆时针方向旋转,再将其长度伸长为的倍,得到线段;又将线段绕点O按逆时针方向旋转,长度伸长为的倍,得到线段;如此下去,得到线段,,…（n为正整数）,则点的坐标是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查勾股定理,旋转,规律变化知识．正确分析出变化规律是解答本题的关键．【详解】解:∵点的坐标为,∴,∵将线段绕点O逆时针方向旋转,再将其长度伸长为的倍,得到线段,∴,∵将线段绕点O逆时针方向旋转,长度伸长为的倍,得到线段,∴,∴,∴,∵每次旋转,∴,∴点应旋转到轴负半轴位置,∴,故选:C．典例2如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺指针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…，若点、，则点的横坐标为（）

A．10110 B． C． D．10120【答案】D【分析】先根据勾股定理求得的长，然后根据旋转找到点之间的规律，即可得每偶数之间的C相差10个单位长度，根据这个规律可得到结果．【详解】解：∵点、，是直角三角形，∴，∴，根据边长之间的关系可得：，根据点C旋转的规律可得，∴即，∴的横坐标为，故答案选：D．【点睛】本题考查了图形的坐标规律，解题的关键是准确利用旋转求出三角形的三边长．典例3如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB，，点O为坐标原点，点B在x轴上，点A的坐标是．若将绕点O顺时针方向依次旋转45°后得到，，，…，可得，，，…则的坐标是______．【答案】【分析】本题主要考查了图形的旋转，点坐标的规律探究．解题的关键在于推导出一般性规律．根据题意求出：，，，，，的坐标，推导出每旋转8次为一个循环，再由，求出对应的点坐标即可．【详解】解：根据题意得：，，，，，，，，…，∴可推导一般性规律：点坐标的变化每旋转8次为一个循环，∵，∴的坐标是．故答案为：．典例4如图，在平而直角坐标系中，将，，绕点O顺时针旋转后得到，依此方式，绕点O连续旋转2022次得到，如果点A的坐标为，那么点的坐标为______．【答案】【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以为半径的圆上运动，由旋转可知：将绕点O顺时针旋转后得到，相当于将线段绕点O顺时针旋转，可得对应点的坐标，根据规律发现是8次一循环，然后按此规律解答即可．根据题意、归纳出点B的坐标规律是解题的关键．【详解】解：∵，，，点A的坐标为，∴，∴，∴，由旋转可知：，∵将绕点O顺时针旋转后得到，∴相当于将线段绕点O顺时针旋转，依次得到：，∴，，，，，，，，……∴每8次完成一个循环，∵，∴的坐标与的坐标相同，∴的坐标为．故答案为：．跟踪训练1如图，将边长为1的正三角形沿x轴正方向连续翻转2023次，点P依次落在点，，，…，的位置，则点的横坐标为（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．【答案】B【分析】本题考查的是等边三角形的性质及坐标与图形性质，根据图形的翻转，分别得出、、…的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标．【详解】解：如图，过P作轴，垂足为Q，∵正三角形的边长为1，∴，可知、的横坐标是1，的横坐标是，、的横坐标是4，的横坐标是，依此类推下去，，则的横坐标是2023，故选B．跟踪训练2如图，在中，，，将沿轴依次以点、、为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③则旋转得到的第个三角形的直角顶点的坐标为_________.

【答案】【分析】本题考查了坐标与图形的变化—旋转，勾股定理；利用勾股定理得到的长度，结合图形可求出图③的直角顶点的坐标．根据图形不难发现，每3个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合．据此可得出结果．【详解】解：，，，，根据图形，每个图形为一个循环组，，且第、个三角形的直角顶点在同一个位置；，第、个三角形的直角顶点在轴上，横坐标为，第个三角形的直角顶点的坐标为，故答案为：．跟踪训练3如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2020次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为______．

【答案】【分析】由旋转可知：将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点O逆时针旋转，可得，，，，根据规律发现是8次一循环，可得结论．【详解】解：∵四边形是正方形，且，∴，如图，

由旋转得：，∵将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点O逆时针旋转，依次得到，，∴，，，，∵8次一循环，∴余4，∴点的坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．矩形与折叠问题典例5如图①所示，四边形是长方形，将长方形折叠，点恰好落在边上的点处，折痕为，如图②所示：(1)图②中，证明：：(2)将图②折叠，点与点重合，折痕为，如图③所示，当时：①当时，求长方形的面积；②将图③中的绕着点旋转，使点与点重合，点与点重合．如图④，求证：．【答案】(1)见解析(2)①；②见解析【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质、三角形全等的性质和判定．（1）由折叠得：，再由平行线的性质可得：，所以；（2）①先求的长，再作的高线，并利用面积法求，根据面积公式求长方形的面积；②由（1）得：，同理，再根据旋转得：，再证明，根据可证明两三角形全等．【详解】（1）证明：如图②，由翻折知，，又，，，；（2）解：①过点作于点，如图③，，，，，长方形的面积，②由旋转的特征知，，又，点三点共线，与（1）同理，可得，且，，由（1）得，由图③，知，故，，，，，，．．典例6同学们，折纸中也有很大的学问呢．张老师出示了以下三个问题，小聪、小明、小慧分别在黑板上进行了板演，请你也解答这个问题：在一张长方形纸片中，，，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题．(1)如图1，折痕为，点A的对应点F在上，则折痕的长为____cm；(2)如图2，H，G分别为，的中点，A的对应点F在上，折痕为，则_____°．重叠部分的面积为______；(3)如图3，在图2中，把长方形沿着对开，变成两张长方形纸片，将两张纸片任意叠合后，发现重叠部分是一个_______形，证明你的结论；(4)在（3）的条件下，这个重叠部分的周长最短是________cm，重叠部分的周长最大周长是________cm．【答案】(1)(2)30，(3)菱，理由见详解(4)40，58【分析】（1）根据图形折叠的性质可知，再根据勾股定理即可得出结论；（2）连接，由题意易得四边形是矩形，则有是等边三角形，然后再根据含30度直角三角形的性质得到的长，利用三角形的面积公式即可得出结论；（3）根据平行四边形的判定首先证得四边形是平行四边形，因为两条矩形的宽度相等，然后根据平行四边形的面积公式即可证得四边形的邻边相等，进而证得四边形是菱形；（4）当矩形纸片互相垂直时，这个菱形的周长最短，最小值是，如图2所示放置时，重叠部分的菱形面积最大，设，则，利用勾股定理即可求出的值，进而可得出菱形的周长．【详解】（1）解：由折叠可知四边形是正方形，∴，；故答案为；（2）解：连接，如图所示：∵四边形是矩形，∴，，分别为，的中点，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，∴垂直且平分线段，∴，由折叠可知，，∴是等边三角形，∴，由折叠可知，∴，即，；故答案为30，．（3）解：重叠四边形的形状是菱形；理由如下：因纸片都是矩形，则重叠四边形的对边互相平行，则四边形是平行四边形．如图1，过作于点，于点，又，，，四边形的形状是菱形；故答案为菱．（4）解：由（2）可知：分开的两张矩形纸片的宽都为，根据点到直线垂线段最短可知：当矩形纸片互相垂直时，这个菱形的周长最短，最短周长为．最大的菱形如图2所示放置时，重叠部分的菱形面积最大．设，则．在中，，解得．则菱形的最大周长为；故答案为40，58．【点睛】本题考查的是图形的翻折变换、菱形及矩形的性质、三角形的面积公式，熟知图形翻折变换的性质是解答此题的关键．跟踪训练4长方形中，点E是的中点，将沿向下折叠后得到，将延长线交直线于点F．

(1)若点G恰好落在边上，则与的数量关系是____________；(2)如果点G在长方形的内部，如图所示：①试探究线段之间的数量关系，并说明理由；②若，，求的长度．【答案】(1)(2)①，理由见解析；②的长度为【分析】（1）由四边形是长方形得，当点G在边上，则，所以；（2）①由折叠得，则，即可根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，即可得出结论；②设，则，，所以，，根据勾股定理得，求出符合题意的x的值即可．此题重点考查轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合的数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．【详解】（1）解：如图1，点G在边上，

∵四边形是长方形，，由折叠得，，，∵点E是的中点，，故答案为：；（2）解：①，理由如下：如图，连接，

由图形的翻折可知，，，∵点E是的中点，，，在和中，，，，，即；②设，则，，，，，，解得或（不符合题意，舍去），，即的长度为重叠面积问题典例7如图，有A、B两个正方形，若将这两个正方形叠放在一起可得到图①，则图中阴影部分面积为1，若将A，B并列放置构造出新的正方形可得到图②，图中阴影部分面积为24，则新构造出的正方形面积为（

）A．49 B．65 C．78 D．97【答案】A【分析】分别设A、B两个正方形的边长为和，利用正方形性质，可知叠放在一起后阴影部分的小正方形边长是，并列在一起后边长为，用和表示出阴影部分面积，列出方程组解答即可求出和的长，即可得出结果．【详解】解：设A正方形边长为，B正方形边长为，由图可知①中小正方形的边长为，面积为1，，，，由图可知②中新构造出的正方形边长为，面积，，，，解得：或（舍去），当时，，新构成的正方形面积为．故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．跟踪训练5如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（

）A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定【答案】B【分析】如图：连接ABCD的对角线，根据题意可以推出△COF≌△DOE，所以重合部分的面积为△OCD的面积．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴BO＝CO＝DO，∠BDC＝∠BCO＝45°，AC⊥BD，∴∠DOC＝∠EOF＝90°，∴∠DOE＝∠COF，在△COF和△DOE中，，∴△COF≌△DOE（ASA），∴S△COF＝S△DOE，∴四边形OECF的面积＝S△OCD＝S正方形ABCD＝，故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形的面积、全等三角形的判定和性质．解题关键在于找到全等三角形进行代换．跟踪训练6如图，正方形、、、的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按照如图所示的方式摆放，点、、分别位于正方形、、、对角线的交点，则阴影部分的面积和为（）A．12 B．13 C．14 D．18【答案】C【分析】根据正方形的中心对称性，得到每一个阴影部分的面积为其所在的小正方形的面积的，即可解答．【详解】解：∵正方形具有中心对称性，则每一个阴影部分的面积为其所在的小正方形的面积的，∴==14故选：C．【点睛】本题考查了正方形的中心对称性，根据中心对称性得到每一个阴影部分的面积为其所在的小正方形的面积的是解题的关键．过关训练1．如图，已知菱形的顶点，，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，菱形的对角线交点D的坐标为______【答案】【分析】菱形的顶点,,得D点坐标为，每秒旋转,则第2025秒时,菱形旋转了253.125圈,可得D点的坐标为.【详解】解：菱形的顶点,,得点坐标为,即每秒旋转，则第2025秒时，得菱形旋转了253.125圈，菱形的对角线交点D的坐标为故答案为：.2．如图，正方形的定点与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是___________．【答案】1【分析】本题考查了正方形的性质，解题关键是题中重合的部分的面积是不变的，且总是等于正方形面积的．根据题意可得：，所以，从而可求得其面积．【详解】解：如图，正方形和正方形的边长都是，，，，在和中，，，；则图中重叠部分的面积是，故答案为：1．3．如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为_____．【答案】【分析】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，根据正方形的性质得出，，，推出，证出可得答案，证明是解此题的关键．【详解】∵四边形和四边形都是正方形，∴，，，∴，在与中，，∴，∴，∴，故答案为：．4．如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】【分析】连接、，证明，得到，再由，代值求解即可得到答案．【详解】解：连接、，如图所示：，，是正方形，为正方形的中心，，，在和中，，，，，故答案是：4．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质，构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积是解决问题的关键．5．综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，为边上一点，为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点、的对应点分别为点、，且、、三点共线．(1)如图1，若为边的中点，，点与点重合，则____，____；(2)如图2，若为的中点，，，求的长．(3)，，若为的三等分点(图仅供参考)，请直接写出的长．【答案】(1)，(2)(3)2或【分析】（1）证明四边形是正方形，由正方形的性质得出，，由勾股定理及折叠的性质可得出答案；（2）延长，交于点，连接，证明，在中，勾股定理求得，在中，勾股定理即可求解．（3）分两种情况：①当时，如图，过点作，交的延长线于点，连接，则四边形为矩形，，，证明（），由全等三角形的性质得出，设，，，得出，则可得出答案；②当时，如图，过点作，交的延长线于点，连接，则四边形为矩形，，，设，，，由勾股定理得出，求出则可得出答案．【详解】（1）解：，四边形是矩形，四边形是正方形，，，为的中点，，将和沿、翻折，点、的对应点分别为点、，，，设，则，，，，，．将和沿、翻折，点、的对应点分别为点、，，，，．故答案为：45；2；（2）解：如图2，延长，交于点，连接，∵四边形是矩形，∴∵是的中点，∴∵折叠，∴在中，∴∴设，在Rt△CBT中，，，即解得：,即∵∴，设，则，在中，,∴解得：即；（3）2或．分两种情况：①当时，如图3，过点作，交的延长线于点，连接，则四边形为矩形，，，由折叠的性质可知，，，，，，，在和中，，，，设，，，，解得，．②当时，如图4，过点作，交的延长线于点，连接，则四边形为矩形，，，由折叠的性质可知，，，，，．设，，，，，解得，．综上可知，的长为2或．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．6．综合与实践：操作体验：数学活动《折纸与证明》中，有这样一段活动材料：①如图1-①，把正方形对折后再展开，折痕为；②如图1-②，将点A翻折到上的点处，且使折痕过点B；③如图1-③，沿折叠，得（如图1-④）．（1）根据以上操作，试证明是等边三角形；初步探究：（2）某活动小组发现另一种折等边三角形的方法：如图2，点N在边上，翻折，使得点B落在折痕上的点