2025高考数学一轮复习-第4章-第8节 第二课时 三角形高线、中线、角平分线的计算【课件】

第二课时三角形高线、中线、角平分线的计算第四章三角函数、解三角形

第8节正弦定理和余弦定理及其应用目

录CONTENTS考点聚焦突破01课时分层精练02考点聚焦突破1KAODIANJUJIAOTUPO考点一三角形的高线例1(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.(1)求sinA；(2)设AB＝5，求AB边上的高.因为2sin(A－C)＝sinB，所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，所以sinAcosC＝3cosAsinC，易得cosAcosC≠0，感悟提升高线问题的处理策略(1)等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin∠BAC.(2)AD＝AB·sin∠ABD＝AC·sin∠ACD.(3)a＝c·cosB＋b·cosC.考点二三角形的中线例2(2024·湘潭模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b2(sin2B－3cos2B)＝－a(a＋b)，且sinC＝sin2B. (1)求角B的大小；解因为sinC＝sin2B，所以sinC＝2sinB·cosB，由正弦定理得c＝2bcosB，由b2(sin2B－3cos2B)＝－a(a＋b)，得b2(1－4cos2B)＝－a2－ab，又由c＝2bcosB，得c2＝4b2cos2B，感悟提升中线问题的处理策略：如图①，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB，AC及A，求中线AD长.训练2(2024·长沙模拟)在△ABC中，bsinB＝asinA－(b＋c)sinC.(1)求角A的大小；解由已知bsinB＝asinA－(b＋c)sinC和正弦定理，得b2＝a2－bc－c2，考点三三角形的角平分线(2)设AD是△ABC的角平分线，求AD的长.解由(1)可得b＝c－1＝2，因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD＝∠CAD＝30°，设AD＝x，由S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，可得感悟提升训练3(2024·晋城模拟)已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB＋bcosA＝2ccosB.(1)求角B；解因为acosB＋bcosA＝2ccosB，由正弦定理可得sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosB，所以sin(A＋B)＝2sinCcosB，即sinC＝2sinCcosB，在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos∠CBD，课时分层精练KESHIFENCENGJINGLIANCA解析如图，BC边上的高AD为BC边长的一半，B解析设∠BAD＝∠CAD＝θ，∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，CDACD解析由(2b－c)cosA＝acosC，得2sinBcosA－sinCcosA＝sinAcosC，得2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sinB，因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，C解析设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc，即4＝b2＋c2－bc，所以4＝b2＋c2－bc≥bc，当且仅当b＝c时，等号成立.1解析如图，在△ABC中，设D为AB边的中点，10.在锐角△ABC中，BC＝4，sinB＋sinC＝2sinA，则中线AD的取值范围是____________.解析设AB＝c，AC＝b，BC＝a＝4，对sinB＋sinC＝2sinA运用正弦定理，得b＋c＝2a＝8，所以c＝8－b，因为该三角形为锐角三角形，所以根据余弦定理，11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2(1－4cos2B)＝－ab，且c＝2bcosB. (1)求B；解由a2＋b2(1－4cos2B)＝－ab，有a2＋b2－4b2cos2B＝－ab，又c＝2bcosB，所以c2＝4b2cos2B，即a2＋b2－c2＝－ab，B设BC＝x，则AC＝2x，在△ABC中，由余弦定理知，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，14.(2024·杭州模拟)已知锐角△ABC，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2acosC＝b－a. (1)证明：C＝2A；证明因为2acosC＝b－a，由正弦定理得2sinAcosC＝sinB－sinA，又sinB＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，所以2sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC－sinA，整理得sin(C－