2025高考数学一轮复习-第4章-第1节 任意角、弧度制和三角函数的概念【课件】

第四章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制和三角函数的概念1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时分层精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE端点正角负角零角象限角2.弧度制的定义和公式(1)定义：长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.半径长(2)公式|α|r3.任意角的三角函数(1)定义单位圆yyxx(2)定义的推广设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么

sinα＝____；cosα＝____，tanα＝____(x≠0).常用结论与微点提醒4.轴线角1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.(

)(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.(

)(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(

)(4)若α为第一象限角，则sinα＋cosα>1.(

)××√√D

3.(必修一P180T3改编)已知角θ的终边经过点P(－12，5)，则sinθ＋cosθ＝________.4.已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________.12π考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一象限角及终边相同的角AD解析A项显然正确；D中，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°，k∈Z，令－720°≤45°＋k·360°＜0°(k∈Z)，从而当k＝－2时，β＝－675°；当k＝－1时，β＝－315°，故正确.C解析∵角θ是第二象限角，感悟提升C故角的终边在第三象限或y轴的负半轴.综上，角的终边在第一象限或第三象限或y轴上.考点二弧度制及其应用例2

已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l(α>0).(1)已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角；(2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解由已知，得l＋2R＝20.所以当R＝5cm时，S取得最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝2.感悟提升应用弧度制解决问题时应注意：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.DA.3 B.4 C.6 D.8(2)数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是________.考点三三角函数的定义及应用D(2)(2024·豫北名校联考)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sinα＋cosα的值为_________.角度2三角函数值符号的判定例4

(1)(2024·成都石室中学模拟)若α是第三象限角，则下列各式中成立的是(

)A.tanα－sinα>0 B.sinα＋cosα>0C.cosα－tanα>0 D.tanαsinα>0A解析因为α是第三象限角，所以sinα<0，cosα<0，tanα>0，对于A，tanα－sinα>0，故A正确；对于B，sinα＋cosα<0，故B错误；对于C，cosα－tanα<0，故C错误；对于D，tanαsinα<0，故D错误.AC解析因为sinxcosx>0，sinx＋cosx>0，所以sinx>0，cosx>0，故x是第一象限角，感悟提升1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.训练3(1)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点P(sinα，tanα)在第四象限，则角α的终边在(

)A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限B解析∵点P(sinα，tanα)在第四象限，∴sinα>0，tanα<0，∴角α的终边在第二象限.BD解析由题意，若角α的终边位于第一象限，令x＝1，则y＝4，若角α的终边位于第三象限，令x＝－1，则y＝－4，课时分层精练3KESHIFENCENGJINGLIANCD又sinθ·cosθ<0，所以sinθ<0，所以θ为第四象限角.AA解析由题意知α＝π＋2kπ，k∈Z，B解析记O为坐标原点，由题意可知O(0，0)，A(1，m)，B(m，4)三点共线，则m≠0，又A，B两点位于同一象限，所以m＝2，则A(1，2)，AD终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}，故B错误；7.(2023·西安二模)扇面是中国书画作品的一种重要表现形式(如图1)，图2为其结构简化图.设扇面A，B间的圆弧长为l，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为θ，则l，d和θ所满足的关系为(

)AAD解析由点P(sinx－cosx，－3)在第三象限，可得sinx－cosx<0，即sinx<cosx，9.若α＝1560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝______________.120°或－240°解析因为α＝1560°＝4×360°＋120°，所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，令k＝－1或k＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°.10.已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为________.3πBDA15.已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.若扇形的周长是40cm