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文档简介
第四章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制和三角函数的概念1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.目
录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时分层精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE端点正角负角零角象限角2.弧度制的定义和公式(1)定义:长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1rad.半径长(2)公式|α|r3.任意角的三角函数(1)定义单位圆yyxx(2)定义的推广设P(x,y)是角α终边上异于原点的任一点,它到原点的距离为r(r>0),那么
sinα=____;cosα=____,tanα=____(x≠0).常用结论与微点提醒4.轴线角1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.(
)(2)锐角是第一象限角,第一象限角也都是锐角.(
)(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(
)(4)若α为第一象限角,则sinα+cosα>1.(
)××√√D
3.(必修一P180T3改编)已知角θ的终边经过点P(-12,5),则sinθ+cosθ=________.4.已知扇形的圆心角为30°,其弧长为2π,则此扇形的面积为________.12π考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一象限角及终边相同的角AD解析A项显然正确;D中,所有与45°角终边相同的角可表示为β=45°+k·360°,k∈Z,令-720°≤45°+k·360°<0°(k∈Z),从而当k=-2时,β=-675°;当k=-1时,β=-315°,故正确.C解析∵角θ是第二象限角,感悟提升C故角的终边在第三象限或y轴的负半轴.综上,角的终边在第一象限或第三象限或y轴上.考点二弧度制及其应用例2
已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l(α>0).(1)已知扇形的周长为10cm,面积是4cm2,求扇形的圆心角;(2)若扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大?解由已知,得l+2R=20.所以当R=5cm时,S取得最大值25cm2,此时l=10cm,α=2.感悟提升应用弧度制解决问题时应注意:(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.DA.3 B.4 C.6 D.8(2)数学中处处存在着美,机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法:先画等边△ABC,再分别以A,B,C为圆心,线段AB长为半径画圆弧,便得到莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为2π,则其面积是________.考点三三角函数的定义及应用D(2)(2024·豫北名校联考)已知角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(-4m,3m)(m≠0),则2sinα+cosα的值为_________.角度2三角函数值符号的判定例4
(1)(2024·成都石室中学模拟)若α是第三象限角,则下列各式中成立的是(
)A.tanα-sinα>0 B.sinα+cosα>0C.cosα-tanα>0 D.tanαsinα>0A解析因为α是第三象限角,所以sinα<0,cosα<0,tanα>0,对于A,tanα-sinα>0,故A正确;对于B,sinα+cosα<0,故B错误;对于C,cosα-tanα<0,故C错误;对于D,tanαsinα<0,故D错误.AC解析因为sinxcosx>0,sinx+cosx>0,所以sinx>0,cosx>0,故x是第一象限角,感悟提升1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义,找到给定角的终边上一个点的坐标,及这点到原点的距离,确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值,可以通过三角函数的定义列出含参数的方程,求参数的值.2.要判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限,那就要进行分类讨论求解.训练3(1)已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,若点P(sinα,tanα)在第四象限,则角α的终边在(
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限B解析∵点P(sinα,tanα)在第四象限,∴sinα>0,tanα<0,∴角α的终边在第二象限.BD解析由题意,若角α的终边位于第一象限,令x=1,则y=4,若角α的终边位于第三象限,令x=-1,则y=-4,课时分层精练3KESHIFENCENGJINGLIANCD又sinθ·cosθ<0,所以sinθ<0,所以θ为第四象限角.AA解析由题意知α=π+2kπ,k∈Z,B解析记O为坐标原点,由题意可知O(0,0),A(1,m),B(m,4)三点共线,则m≠0,又A,B两点位于同一象限,所以m=2,则A(1,2),AD终边在直线y=-x上的角α的取值集合可表示为{α|α=k·180°-45°,k∈Z},故B错误;7.(2023·西安二模)扇面是中国书画作品的一种重要表现形式(如图1),图2为其结构简化图.设扇面A,B间的圆弧长为l,A,B间的弦长为d,圆弧所对的圆心角为θ,则l,d和θ所满足的关系为(
)AAD解析由点P(sinx-cosx,-3)在第三象限,可得sinx-cosx<0,即sinx<cosx,9.若α=1560°,角θ与α终边相同,且-360°<θ<360°,则θ=______________.120°或-240°解析因为α=1560°=4×360°+120°,所以与α终边相同的角为360°×k+120°,k∈Z,令k=-1或k=0,可得θ=-240°或θ=120°.10.已知扇形的圆心角为120°,弧长为2π,则扇形面积为________.3πBDA15.已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l.若扇形的周长是40cm
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