2025高考数学一轮复习-第3章-第5节 导数与函数的最值【课件】

第三章一元函数的导数及其应用第5节导数与函数的最值1.理解函数最值与极值的关系.2.会求闭区间上函数的最大值、最小值.3.了解最值在现实生活中的应用.目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时分层精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE1.函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.2.求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的______； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值__________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.极值f(a)，f(b)1.若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则其极值点为函数的最值点.2.若函数在闭区间[a，b]内的最值点不是端点，则其最值点亦为其极值点.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.常用结论与微点提醒1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.(

)(2)函数的极大值不一定是最大值，最小值也不一定是极小值.(

)(3)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值.(

)(4)连续函数f(x)在区间[a，b]上一定存在最值.(

)×√解析(1)反例：有极值的函数不一定有最值，如图所示，函数f(x)有极值，但没有最值.(3)反例：f(x)＝x2在区间(－1，2)上的最小值为0.×√－10解析f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，

4解析f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，3]时，f′(x)＞0，所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增.又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一求已知函数的最值D若a≤0，则f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；若a>0，则当x>a时，f′(x)<0；当0<x<a时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减.感悟提升求函数f(x)在[a，b]上最值的方法(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值.(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成.训练1(1)函数f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)在区间[－1，1]上的最大值是______________.e－1(2)已知函数f(x)＝(x2－2x)ex(x∈R，e为自然对数的底数).①求函数f(x)的单调区间；解f(x)＝(x2－2x)ex，求导得f′(x)＝ex(x2－2)，ex＞0，令f′(x)＝ex(x2－2)＞0，即x2－2＞0，令f′(x)＝ex(x2－2)＜0，即x2－2＜0，②求函数f(x)在区间[0，m]上的最大值和最小值.考点二由函数的最值求参数由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)，当a＝－10时，f(x)在[1，4]上单调递减，f(x)在[1，4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意.综上，a＝－10.感悟提升若所给函数f(x)含参数，则需通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.训练2(1)已知函数f(x)＝lnx＋ax存在最大值0，则a＝________.所以当a≥0时，f′(x)＞0恒成立，故f(x)单调递增，不存在最大值，[－2，1)解析由于f′(x)＝－x2＋1，易知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1，1)上单调递增，故若函数f(x)在(a，10－a2)上存在最大值，考点三生活中的优化问题例3我国是一个人口大国，产粮、储粮是关系国计民生的大事.现某储粮机构拟在长100米，宽80米的长方形地面建立两座完全相同的粮仓(设计要求：顶部为圆锥形，底部为圆柱形，圆锥高与底面直径为1∶10，粮仓高为50米，两座粮仓连体紧靠矩形一边)，已知稻谷容重为600千克每立方米，粮仓厚度忽略不计，估算两个粮仓最多能储存稻谷(π取近似值3)(

) A.105000吨 B.68160吨

C.157000吨 D.146500吨A解析由于粮仓高50米，顶部为圆锥形，底部为圆柱形，圆锥高与底面直径为1∶10，因为V′＝100π(50x－x2)，当0＜x＜50时，V′(x)＞0，V(x)在(0，50)上单调递增，感悟提升解决最优化问题，应从以下几个方面入手：(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域；(2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点.B微点突破三次函数的图象和性质1.定义定义1：形如f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的函数，称为“三次函数”；定义2：三次函数的导数f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，把Δ＝4b2－12ac叫做三次函数导函数的判别式.2.性质(1)单调性一般地，当b2－3ac≤0时，三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)在R上是单调函数；当b2－3ac＞0时，三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)在R上有三个单调区间.(根据a＞0，a＜0两种不同情况进行分类讨论)(3)三次函数零点的问题①当Δ＝4b2－12ac≤0时，由不等式f′(x)≥0恒成立，函数是单调递增的(a＞0)，所以三次函数仅有一个零点.②当Δ＝4b2－12ac＞0时，由方程f′(x)＝0有两个不同的实根x1，x2，不妨设x1＜x2，可知，以a＞0为例，x1为函数的极大值点，x2为函数的极小值点，且函数y＝f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，此时结合函数图象可知：(ⅰ)若f(x1)·f(x2)＞0，即函数y＝f(x)的极大值和极小值同号，所以函数有且只有一个零点；(ⅱ)若f(x1)·f(x2)＜0，即函数y＝f(x)的极大值和极小值异号，函数图象与x轴必有三个交点，所以函数有三个不同零点；(ⅲ)若f(x1)·f(x2)＝0，则f(x1)与f(x2)中有且只有一个值为0，所以函数有两个不同零点.一、

三次函数的零点问题例1已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x(a，b∈R)，且f(x)在x＝1和x＝3处取得极值.(1)求函数f(x)的解析式；解f′(x)＝3ax2＋2bx－3，因为f(x)在x＝1和x＝3处取得极值，(2)设函数g(x)＝f(x)＋t，若g(x)＝f(x)＋t有且仅有一个零点，求实数t的取值范围.当x＞3或x＜1时，g′(x)＜0，当1＜x＜3时，g′(x)＞0，所以函数g(x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上递减，在(1，3)上递增，又x取足够大的正数时，g(x)＜0，x取足够小的负数时，g(x)＞0，因此，为使曲线y＝g(x)与x轴有一个交点，结合g(x)的单调性，因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝m＝0.经验证m＝0符合题意.(2)若过(2，t)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求t的取值范围.则g′(x)＝x2－4＝0，解得x＝±2.当x＜－2或x＞2时，g′(x)＞0，所以g(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增；当－2＜x＜2时，g′(x)＜0，所以g(x)在(－2，2)上单调递减.因为有三条切线，所以方程t＝g(x)有三个不同的解，y＝t与y＝g(x)的图象有三个不同的交点，BC由上述可得f(x)＋f(1－x)＝2，①＋②得，2S＝2＋2＋…＋2＋2＝2×99⇒S＝99，训练

(1)设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋1的导函数f′(x)＝3ax(x－1)，且a＞2，则函数f(x)的零点个数为(

)A.0 B.1 C.2 D.3D解析由f′(x)＝3ax(x－1)且a＞2知,当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＜0或x＞1时,f′(x)＞0，则函数f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，所以函数有三个零点.A解析令f(x)＝x3＋6x2＋13x，则f′(x)＝3x2＋12x＋13，设h(x)＝f′(x)＝3x2＋12x＋13，令h′(x)＝6x＋12＝0，解得x＝－2，又f(－2)＝(－2)3＋6×(－2)2＋13×(－2)＝－10，∴函数f(x)的图象关于点(－2，－10)成中心对称.所以f(m)＋f(n)＝－20，又f′(x)＝3x2＋12x＋13＝3(x＋2)2＋1＞0，所以函数f(x)＝x3＋6x2＋13x在R上单调递增，所以m＋n＝2×(－2)＝－4.解得a＝0，∴tanα≥－1，令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝1，当x＜0或x＞1时，g′(x)＜0，当0＜x＜1时，g′(x)＞0，所以g(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递减，在(0，1)上单调递增，所以方程m＝g(x)有三个不同的解，y＝m与y＝g(x)的图象有三个不同的交点，课时分层精练3KESHIFENCENGJINGLIAN1.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(

)C解析由题图可知，当x≤c时，f′(x)≥0，所以函数f(x)在(－∞，c]上单调递增，又a＜b＜c，所以f(a)＜f(b)＜f(c)，故A不正确；A.f(b)＞f(a)＞f(c)B.函数f(x)在x＝c处取得最大值，在x＝e处取得最小值C.函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值D.函数f(x)的最小值为f(d)因为f′(c)＝0，f′(e)＝0，且当x＜c时，f′(x)＞0；当c＜x＜e时，f′(x)＜0；当x＞e时，f′(x)＞0.所以函数f(x)在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确；由题图可知，当d≤x≤e时，f′(x)≤0，所以函数f(x)在[d，e]上单调递减，从而f(d)＞f(e)，所以D不正确.故选C.A由f′(x)＝x2－4＞0，得x＞2或x＜－2，由f′(x)＝x2－4＜0，得－2＜x＜2，所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，B解析因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，B解析因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，因此函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，当x＝1时取最大值，满足题意.4.(多选)已知函数f(x)＝x2ex，x∈R.下列结论正确的是(

)A.函数f(x)不存在最大值，也不存在最小值B.函数f(x)存在极大值和极小值C.函数f(x)有且只有1个零点D.函数f(x)的极小值就是f(x)的最小值BCD解析f(x)＝x2ex，x∈R，则f′(x)＝x(x＋2)ex，令f′(x)＜0⇒－2＜x＜0，令f′(x)＞0⇒x＜－2或x＞0，所以函数f(x)在(－2，0)上单调递减，在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增，且f(0)＝0，f(x)＝x2ex≥0，如图，所以f(x)min＝f(0)＝0，函数在x＝－2处取得极大值，在x＝0处取得极小值，极小值f(0)即为最小值，且函数有且只有一个零点0.5.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p(p≥20)元，销售量为Q件，销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则这批商品的最大毛利润(毛利润＝销售收入－进货支出)为(

) A.30000元 B.60000元

C.28000元 D.23000元D解析设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去).此时，L(30)＝23000.因此当20≤p＜30时，L′(p)＞0，当p＞30时，L′(p)＜0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)也是最大值，即零售定价为每件30元时，最大毛利润为23000元.A若a＞0，令f′(x)＝0，即ax－cosx＝0，画出函数y＝ax与y＝cosx的图象，如图所示，综上可得，实数a的取值范围是(0，＋∞).C0当x∈[0，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，3]时，f′(x)＜0.所以函数f(x)在[0，1)上单调递增，在(1，3]上单调递减.所以f(x)min＝f(0)＝0.解析∵f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax的定义域为(0，2)，∵x∈(0，1]，a＞0，∴f(x)在(0，1]上单调递增，80解析设全程运输成本为y元，令y′＝0，得v＝80.当v>80时，y′>0；当0<v<80时，y′<0.所以当v＝80时，全程运输成本最小.11.(2024·湖北名校联考)已知函数f(x)＝ex(2x2＋ax－1)，其中a∈R.若f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为2x＋by＋1＝0.求： (1)函数f(x)的解析式；解依题意，f(0)＝－1，切点(0，－1)在切线2x＋by＋1＝0上，则b＝1，f′(x)＝ex(2x2＋ax－1)＋ex(4x＋a)＝ex[2x2＋(a＋4)x＋a－1]，而f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线斜率为－2，则f′(0)＝a－1＝－2，解得a＝－1，所以f(x)＝ex(2x2－x－1).(2)函数f(x)在区间[－3，1]上的最值.解由(1)