2022年新高考数学基础训练第10讲 利用导数研究函数的极值(提升训练)(解析版)

第10讲利用导数研究函数的极值

【提升训练】

一、单选题

1.已知函数f(x)=《+&(ln%—x),若x=l是函数/(幻唯一极值点，则实数2的取值范围是()

x

A.(-co,e]B.(-00,e)C.(-e,+oo)D.[-e,+?)

【答案】A

【分析】

由题意知f(x)有唯•的变号零点，等价于f'(x)=0有唯•实数根3=1,对f(x)因式分解可得

x

\-x(e、PXo”

/，(x)=-I—-A;I,粒化为亍―&=0无实根，也即y=A与=]两个函数图象没有交点，利用

导数研究g(x)=^,即可求出实数上的取值范.

X

【详解】

,xex-ex(11ex、k、1-xfex八

f(x)=---；—+k—_1=—(x-l)+-((l-x)=---—~k,

X.XyX人X\A-J

因为工=1是函数/(X)唯一极值点，所以ra)=o有唯一实数根1=1,

所以《—4二0无实根，也即y=A与g(x)=《两个函数图象没有交点，

XX

g，(箱二=e'(：T),所以g(»=岂在(—)/)单调递减，在(1,内)单调递增，

XXX

所以g(x)Ng(l)=：=e，所以无Ke，

故选：A

【点睛】

本题主要考查了函数极值点就是导数等于0的根，转化为两个函数图象的交点，考查了函数与方程，属于

中档题.

2.函数y=3x—4d(xe[0,2])的最大值是()

A.1B.2C.0D.-1

【答案】A

【详解】

因了=3-12%2=3(1+2%)(1-2幻，故当xe(O,g)时，/>0,函数y=3%一4/单调递增；当

xe(',2)时，/<0,函数y=3x-4/单调递减，所以当x=:取最大值，

131

儿(功=/(5)=丁厂1，应选答案A.

3.已知4为常数，函数«x)=x(lnx-or)有两个极值点Xi,M(XI<X2),则()

A./(^)>0,/(%2)>-^

B./(%)<0，/(x2)<-^

C./(^)>O,/(x2)<-i

D./(xJ(O,

【答窠】D

【分析】

由题得f(x)=\nx-2ax+\,即曲线y=l+lnx与直线)=2ox有两个不同交点，数形结合分析得到0<2tz<l,0<rt<l<r2>

再证明

【详解】

由题得/(x)=lnx-2ai+1,

依题意知/a)=0有两个不等实根川，X2,

即曲线尸1+lnx与直线)=2or有两个不同交点，如图.

由题得直线尸是曲线尸1+lnx在点(1,1)处的切线,

所以()<2a〈l,0<xi<l<.r2,a0,-1.

I2

由0<5〈1,fix\)=xi(Inxi-axi)<0,

'•,当Kl<X<X2时，/(A)>0,

(1)=-a

故选：D.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的极值点，意在考查学生对这些知识的理解些握水平和分析推理能力.

4.若函数/(x)=lnx(x>l)的图像与函数G(x)的图像关于直线y=x对称，设函数/(x)的导函数

/'3)=曾一^^(1>0),且7(3)=0,则当R>0时，f(x)=()

XX

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既无极大值，也无极小值D.既有极大值，也有极小值

【答案】C

【分析】

设/!")=/-3/.7*),利用导数证明广")二"20,即可得答案；

X

【详解】

F(x)=lnx,则G(x)=/(x>0),八口，

XXX

则/⑶二筋一；丁(3)=0〃3)=捺，r(x)-x4+3x3/(x)=e\

设力⑶，

x23

贝h\x)=e-9x•/(x)-3x•fM="—二，./，(幻+3/.y(x)]=^,£炉，

XX

^(X)=-

x

令%'。)=0,则±2./=o,工=3,则x=3为〃(幻的极小值也是最小值，

x

则g)>/?(3)=/一3’./(3)=0,

・・・/(幻=绰之0,・・・既无极大值，也无极小值，

x

故选：C.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求

解能力.

5.已知函数/（人）二/十以2十公一42一7〃在人=i处取得极大值io,则@的值为（）

b

222

A.一B.-2C.-2或—D.2或——

333

【答案】A

【分析】

求导得/（X）=3x2+2ax+b,由题意得/⑴=0,/（1）=10,即可解得a,b的两组值，当。=-2力=1时,

检验可得在x=l处取得极小值，不满足题意，当〃=-6,b=9时，检验符合题意，即可得结果.

【详解】

由题可知：f'(x)=3x2+2ax+b

广⑴=3+2a+b=0

所以广(1)=0,/⑴=10,即〈

f(\)=\+a+b-a2-7a=\0f

a=-2a=-6

解得〈或，

b=\b=9

当。二-2泪=1时，可知/（幻=（3x-l）（x-1）

令/'（幻>0,所以％或%>1

令r（x）〈0,所以;cvl

所以函数/a）在[-8,J,（1,+OO）递增，在（打递减

所以可知函数/（X）在X=1处取极小值，故不符合题意

同理当。=-6,。=9时，检验满足题意，

所以3二一2,

b3

故选：4

【点睛】

本题考查利用导数求函数的极值，易错点在于需检验两种情况下，在X=1处取得极大值还是极小值，考查

分析理解，计算求值的能力，属中档题.

6.已知函数/（K）=x3-2d,XG[-1,3],则下列说法不止项的是（）

A.最大值为9B.最小值为-3

C.函数/(k)在区间［1,3］上单调递增D.乂=0是它的极大值点

【答案】C

【分析】

利用导数分析函数y=/(x)在区间［-1,3］上的单调性，求得该函数的极值与最值，由此可判断各选项的正

误.

【详解】

・.・/(力=V一2d,则7(x)=3X2-4A=x(3x-4).

令/可得x<0或x>3：令/'(x)v。，可得0cx<*.

33

✓一

当xw［—l,3］时，函数y=/(x)在区间卜1,0),住,3上均为增函数，

IJ.

■4"

在区间0,-上为减函数，C选项错误；

所以R=0是函数y=/(x)的极大值点，D选项正确；

因为〃0)=。"3)=27—2x9=9,/(-l)=-l-2xl=-3,/偿=*2x］=_］,

所以，函数y=〃x)在区间上的最大值为9,

最小值为-3,A、B选项正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用导数判断函数的单调性，以及利用导数求解函数的极值点与最值，考查分析问题和解决问题

的能力，属于中等题.

7.已知函数/(x)=x3+or2+bx+a2在工=1处取得极值为［0,则〃=()

A.4或一3B.4或一11C.4D.一3

【答案】C

【分析】

根据函数/(幻=%3+办2+6+々2在工=1处有极值]0,可知rm=0和/(1)=10,可求出a.

【详解】

由f(x)=x3+ax2+bx+a1,得f\x)=3x2+2ar+b,

•••函数/(工)=工3+公2+公+。2在1=1处取得极值10,

/./'(1)=0,f(1)=10»

[2。+。+3=0

**[a2+a+b+\=\0,

a=4(a=-3

]b=Tl或%=3，

a=-3

当，c时，r(x)=3(x-l)2..O，・・•在X=1处不存在极值；

b=3

a=4、

当《时，f(x)=3x2+8x-ll=(3x+ll)(x-1)

b=-l1

r

/.xe(-y,1),f(x)<0fXG(1,+GO),/'(%)>0,.,.符合题意.

故选:C

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

8.“a>2”是“函数/(力=(工一。)-在(0,+8)上有极值”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

求出函数/(x)=(x—的极值点，利用该极值点在(0,+8)内求得实数。取值范围，利用集合的包含关

系可得出结论.

【详解】

v/(x)=(x-a)^r,则/'(x)=(x-a+l)e",令/'(%)=0,可得x=a-l.

当xva-l时，/,(x)<0；当x>a-l时，//(x)>0.

所以，函数y=/(x)在1=。一1处取得极小值.

若函数y=/(x)在(0,+8)上有极值，则a—1>0,「.a〉］.

因此，“〃>2”是“函数”x)=(x-a湾在(0,y)上有极值”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用导数求函数的极值点，考查计算能力与推理能力，属

于中等题.

9.若函数/(x)=xlnx-2改'在(，，e|上有两个极值点，则实数。的取值范围是()

【答案】D

【分析】

由题意可得，/(力=0在］：，e)上有两个不同的实数根，等价于2〃=上器在(：，e)上有两个不同的

实数根，也等价于直线y=2a与)，=上詈的图像在内有两个交点，所以只需利用导数研究函数

g(x)=82在g，e)上的极值、最值和单调性，再结合函数图像可得结果.

【详解】

解：由题意/'(%)=1+lnx-，令/'(x)=0,可得2a=1.

ex

函数“力在上有两个极值点，见需/'(力=0在(5'上有两个不同的实数根，

等价于2a=匕坐在(Le］上有两个不同的实数根，

e\e；

也等价于直线y=2。与y=上半的图像在(L内有两个交点.

ex\eJ

14-lnx--1-lnx

令g(x)

则g'(x)=2

令力(K)=—1-lnx,e上为减函数，且力(1)=0.

e

\/x1A

所以当一vxvl时，/?(x)>0,故g'(x)>0,g(x)在-J上为增函数,

e7

当l<x<e时，/z(x)<0,故g[x)v0,g(x)在(l,e)上为减函数,

所以g(x-g⑴•又g(%。，g(e)j

所以.<2。<二，所以一<a<

eee

故选：D

【点睛】

本题考查利用导数研究函数极值、单调性，利用了数形结合的思想，考查了转化能力和计算能力，属于中

档题.

10.设函数/(x)=(x-a)(x-b)2(aZ?ERawZ?),/'(%)为/(%)的导函数.若/(%)和/(。的零点

均在集合｛—2,0,1｝中，则()

A.在(-1,0)上单调递增B.在(0,1)上单调递增

C.极小值为0D.最大值为4

【答案】B

【分

依题意，可求得了(幻和广⑶的零点构成的集合为m,b,二7}={-2,o,1},分6类讨论，可确定。、

力的值，继而利用导数确定函数的极值及单调区间，从而判断四个选项，可得答案.

【详解】

,/=(x-a)(x-b)2(a,bsR、a±b),

=(x-b)2+2(x-b)(x-a)=(x-b)(3x-2a-b),

令f(x)=0得:1=。或乂=1)；

令/'。)=0得：x=。，或1=幺了：

由〃。知，/(4)和f'(x)的零点构成的集合为伍，b，网了},

又/V)和r(x)的零点均在集合上2,o,1}中，

①若。=一2,匕=0,则笥吆=-gwl,不符合题意，舍去；

②若。=-2,b=l,则笥3=TwO,不符合题意，舍去；

③若。=0,b=l,则幺了二；/—2,不符合题意，舍去；

④若a=0,b=-2,则竺3=-]=1,不符合题意，舍去；

⑤若。=1,2=0,则网了=1工一2,不符合题意，舍去；

⑥若a=l,b=-2t则驾2=0,符合题意；

故/*(v)=(x-b)(3x-2a-b)=(x+2)(3x-2+2)=3x(x+2),

令/'(x)>0，得：1>0或不<一2；

r(x)<o,得：-2<x<o；

.•.x=0为极小值点，/(0)=(0-l)(0+2)2=-4,排除C；

x=-2为极大值点，/(-2)=(-2-l)(-2+2)2=0,当时，”，排除D；

f(x)在区间(—2,0)上单调递减，排除A；

在(YO,-2),(0,侄)单调递增，(0,向),+oo)，

故B在(0,1)上单调递增，B正确：

故选：B.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性与极值,通过分类讨论思想的运用，确定a、b的值是解决问题的关键,

考查运算能力，属于难题.

11.已知/（幻=《一2«加工+1+2）恰有一个极值点为1,贝心的取值范围是（）

xx

A.(-00,-］U士B.Y,：］D.Y」］

466c•吟。64

【答案】D

【分析】

xe*

由题意结合导数转化条件得f=不在（o,+8）上无解，令g（x）=57—有（XN0），求导后确定函数

2（X+2），（，I

g（x）的值域即可得解.

【详解】

由题意，函数/（X）的定义域为（0,+力），

如+「马上现上32）］

对函数/（X）求导得f\x）=9-

dx£X2

K

e2

,•*f(x)=-----2f(lnx+x-i—)恰有一个极值点为1,

xx

x

e

•・e*-2（工+2）=0在（O,+e）上无解，即r=2（x|2）在（0+巧上无解,

令g（,加、否d可a/刑、‘则g，（/加、2ex；（x（，+2）-）「2ex逐2/（x可+l）。

*'•函数g(x)在［0,+8)单调递增，

当X£(0,+oo)时，g(x)>g(o)=；,

aW—.

4

故选：D.

【点睛】

本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于基础题.

12.已知函数〃%)=加X2+X-5^(8,十8)上既有极大值，也有极小值，则实数〃的取值范围为()

A.a＞-B.aN—C.。＜—且。工0D.。工一且。工0

3333

【答案】C

【分析】

先求导函数，根据函数在区间(际,心)内既有极大值又有极小值，故导函数为。的方程有不等的实数根,

可求实数a的取值范围.

【详解】

Qf(x)=3ax2-2x+1,

又函数“6二加-x2+工-5既有极大值又有极小值.

且A=4—12。＞0,

a＜一且a。0.

3

故选：C

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数极值，关键是将问题转化为导函数为。的方程有不等的实数根，属于中档

题.

13.若函数/(%"%3—%r+b+1的极大值为7,极小值为3,则外力的直调递减区间是

A.(0,2)B.(fl)C.(-1,0)D.(-2,-1)

【答案】B

【分析】

求导得到/(力=3/-3。，得到单调区间，故极大值为/(-6),极小值为/(6),计算得到答案.

【详解】

〃力=d-3ar+Z?+l,则/(x)=3f_3a,函数有极大值极小值，故。＞0.

取/'(力=342-3。=。得到工=±&,

函数在卜8,上单调递增，在卜右，后)上单调递减，在［G,+8)上单调递增，

故极大值为f卜6)=(一+3a&i+b+1=7,

极小值为/(6)=(6)-3a\[a+Z?+1=3,解得々=1,6=4.

故单调区间为(T』).

故选：B.

【点睛】

本题考查了函数的极值，函数单调性，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

14.2020年初，新冠病毒肺炎(COW。-19)疫情在武汉爆发，并以极快的速度在全国传播开来.因该病

毒暂无临床特效药可用，因此防控难度极大.湖北某地防疫防控部门决定进行全面入户排查4类人员：新

冠患者、疑似患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者，过程中排查到一户5口之家被确认为新冠肺炎密

切接触者，按要求进一步对该5名成员逐一进行核糖核酸检测，若出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”，

设该家庭每个成员检测呈阳性的概率相同均为〃且相互独立，该家庭至少检测了4人才能确

定为“感染高危户”的概率为了(P),当〃二Po时，/(〃)最大，此时Po=()

A.1.位B.姮C.gD.1.直

5555

【答案】A

【分析】

由题意可得，该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”，则前3人检测为阴性，第4人为阳性，或前

4人检测为阴性，第5人为阳性.求出/(〃)，求/(〃)，利用导数求当/(〃)最大时，。的值.

【详解】

由题意可得，该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”，则前3人检测为阴性，第4人为阳性，或前

4人检测为阴性，第5人为阳性.

・・./(〃)=(1一〃)3P+(l—P)4〃，

••/(p)=-3(1-“)2〃+(1--4(1-〃+(1-城=(1-p)2(5p2-10p+2)

Q0<p<1,.\(1-p)2〃—5+Vi^<0

\z

令/(P)>O,得/(p)<o,得

/\//—X

「./(〃)在0,5J，上单调递增，在§I〉单调递减，

XZ\/

.P:三普时，/(p)最大，即%=且普=1一半.

故选：A.

【点睛】

本题考查相互独立事件、互斥事件的概率计算公式，考杳利用导数求最值，属于中档题.

15.若x=-2是函数f(x)=gV-o？-Zx+l的一个极值点，则函数/(%)的极小值为()

111117

A.——B.一一C.-D.——

3663

【答案】B

【分析】

由极值定义有r(-2)=o,解得。，再由导数与极值关系求得极小值.

【详解】

•:/(元)=§/一—2x+1,「•/'(%)=%2—2zix—2,由题意得了2)=2+4a=0,

解得a=—>/(x)=—x?+——2x+1,r(x)=f+x—2=(x+2)(x—1).

当xv-2或x>l时，//(x)>0：当-2〈犬vl时，fr(x)<0.

所以，函数y=〃x)的单调递增区间为(-8,-2)和(1,心)，单调递减区间为

当x=l时，函数y=/(x)取得极小值/(1)=:+；-2+1=-：，

故选：B.

【点睛】

本题考查导数与极值，掌握用导数求极值的方法是解题关键.

16.若函数/(%)=/一如2+2%(m£/?)在工=1处有极值，则/(幻在区间［0,2］上的最大值为()

A.—B.2C.1D.3

27

【答窠】B

【分析】

根据极值点处的导数为零先求出加的值，然后再按照求函数在连续的闭区间上最值的求法计算即可.

【详解】

解：由已知得/*)=3工2-2〃a+2,.•./'(1)=3-2加+2=0,.•./??=/,经检验满足题意.

/(x)=x3-+2x,/(x)=3x2-5x+2.

22

由ra)<o得］<工<1；由ra)>o得或冗>i.

21「2一

所以函数/*)在0,-上递增，在-,1上递减，在［1,2］上递增.

(2、14

贝Uf(x)极大色=八2)=2,

由于f(2)>/(x)极大值，所以在区间［0,2］上的最大值为2.

故选：B.

【点睛】

本题考查了导数极值的性质以及利用导数求函数在连续的闭区间上的最值问题的基本思路，属于中档题.

17.已知函数y=〃x)的导函数/'(X)的图象如图所示，则

3

A.函数y=〃x)在区间0,-上单调递减

B.当x=3时函数y=/(x)取得极小值

3

C./(--)=/(1)=0

3

D.当/=一耳时函数y=/（x）取得极大值

【答案】B

【分析】

利用导函数的图象，判断函数的单调性以及函数的极值点，即可推出结果.

【详解】

由导数的图象可知，当XW[T,一：）,X€（1,3）时，/（%）<0,函数是减函数,

\乙）

当x<-4,1£（一|，1），x>3时，r（x）>0,函数是增函数；

所以A选项函数y=/（R）在区间0,1上单调递减不正确；

8选项中当x=3时函数y=/（%）取得极小值正确；

由导数图象可知，/（一^），/⑴是相邻的极小值和极大值，故C选项=/⑴=。不正确；

3

当％二一万时函数y=/（x）取得极小值，所以。不正确.

故选：B

【点睛】

本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力,属于中档题.

18.若函数/*）=。一。）3-3工+力的极大值是加，极小值是用，则用一心

A.与。自关，且与b有关B.与。有关，且与6无关

C.与。无关，且与b无关D.与〃无关，且与b有关

【答案】C

【分析】

先求函数/（X）的导数，列表求出函数的极值点，再判断极值点两侧导数的正负，即可求得极大值为M，极

小值为加，由此可得出答案.

【详解】

解：Vf（x）=（x-a）3-3x+b,

・•・/(X)=3(X-«)2-3,

令F（x）=3（x-a）2-3=0，得x=a—1,或x=a+l,

当工变化时，尸（幻、/*）的变化如下表：

X(3,a-l)x=a-\x=a+l(a+L+oo)

f\x)+0—0+

fM递增极大值递减极小值递增

M=/(。-1)=一1一3(。一1)+8=2-3々+人,

tn=/3+1)=1-3(。+1)+8=-2-3々+匕，

M-m=4,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算能力，属于中档题.

2

19.已知命题p：/（幻一历x+ov在区间［1,+oo）上存在单调递减区间；命题q：函数g（x）=V_x+ae-^,

且g（©+g'a）-|=o有三个实根.若-^八乡为真命题，则实数。的取值范围是（）

A.B.一",-1C.-I，#）D.［-l,+oo）

【答案】A

【分析】

〃<0在区间［1,+8）上有解，即a<—2x+g在区间［1,+8）上有解，

先求畲题〃：由题意得f（x）=2x--+

X

57

得a<—1,则一iP：。N—1；命题g：根据g。）+/（幻一/=0有三个实根，转化为。=/X（%2+X-2）有

三个交点，―八q为真命题,则两者取交集即可.

【详解】

y

因为命题p：fW=x2-lnx+or在区间［1,+co)上存在单调递减区间，

所以=2x-+a<0在区间［1,+8)上有解，即。<一2彳+1在区间［l,+oo)上有解，

XX

因为y二-21+：在区间［1,+8)上是减函数，所以=-2*1+；=-1,所以。VT.所以命题「P：

a>-\.

命题q：函数g(x)=42一x+〃e-2x,所以g〈x)=2%一1一，

557

/.g(jc)+gr(x)--=x2-x+ae~2x+2x-1-2ae~2x--=x2+x-ae~2x--

577

又因为g(x)+g'(x)-弓=0有三个实根，所以/+%-3-。"2'二0有三个实根，即。=/、(/+”一)有

三个交点.

令刈工)=/》(冗2+%—2),得〃'(1)="2］(入2+2^-3)=2e2'0-1)(工+3),

当％>1或jv-3时,A(x)>0,力(%)是增函数，当一3vxvl时，A(x)<0,〃(x)是减函数，

所以当冗=一3时，可力取得极大值,二当％=1时，〃(力取得极小值-32,

且Xf+oo,力(X)—>400,Xf-CO,72(X)―>0,所以0<〃<"|"6

若力八。为真命题，则实数4的取值范围是：0<〃<2eY.

故选：A

【点睛】

本题主要考查更合命题，导数与函数的单调性，导数与函数的极值，还考查了转化化归的思想和运算求解

的能力，属于中档题.

—,x<0

20.已知函数f(x)=|：，若函数/(x)=/(幻-"在R上有3个零点,则实数k的取值范围为()

Inx八

——,x>0

A.(0,—)B.(0,—)C.(-00,—)D.)

e2e2e2ee

【答案】B

【分析】

根据分段函数.分当x<0,x>0,将问题转化为女的零点问题,用数形结合的方法研究.

x

【详解】

当力<0时,==_L,令g(x)=[,g1力=_乌>0,g(x)在X«-<»,0)是增函数,%>0时，

XXXJC

%=以立有一个零点，

X

位八爪,f(x)ln.r八(xInx,z\l-21nx

当x〉0时，％=—^=^-,4-h(x)=—,A(x)=------

XXxX

当X£(O,&)时，h\x)X)t.•・力⑴在(0,J7)上单调递增,

当工£(五,+8)时，a'(X)VO,人(幻在(右,+8)上单调递减，

所以当X=G时，力(X)取得最大值」

2e

因为尸(x)=/(x)-"在R上有3个零点，

所以当x>0时，左=13有2个零点，

x

如图所示:

综卜可得实数上的取值范围为(0.'-).

2e

故选：B

【点睛】

本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能刀，属于中档题.

21.已知函数了")=0?+法的图象如图所示，则。功的关系是()

A.3a—b=0B.3。+力=0C.a—3b=0D.。+3力=0

【答窠】B

【分析】

根据函数导数和极值之间的关系，求出对应。，。的关系，即可得到结论.

【详解】

由函数图象知，X=1为函数的极大值点，工=-1为函数的极小值点，

即1,一1是r(%)=o的两个根,又r(”=3加+况

所以勿+z?=o.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，以及根与系数之间的关系的应月，考查学生的计算能力，属

于基础题.

22.己知，(力二3兀2-。]]]工在区间(o,2)上有极值点，实数a的取值范围是()

A.(0,2)B.(-2,O)U(O,2|C,(0,4)D.(y0)U(0,4)

【答案】C

【分析】

对函数求导函数，由已知条件得其导函数在(0,2)上有零点，建立不等式组可得范围.

【详解】

〃丫2[a>0

=x—q=由于函数f(x)在(0,2)上有极值点，所以/‘(X)在(0,2)上有零点，所以〈，

xx[\Ja<2

解得。e(0,4).

故选：C.

【点睛】

本题主要考查导函数的极值问题，关键在于得出导函数在所给的区间上有零点，转化为求解不等式组的问

题,属于基础题，

23.已知。=k)g0.55、/?=log32,c=2°\，从这四个数中任取一个数〃z，使函数

/(力=：丁+〃滔+工+2有极值点的概率为()

113

氏D

A.4-2-4-

答案B

【分析】

求出函数的导数，根据函数的极值点的个数求出机的范围，通过判断。，4c,d的范围，得到满足条件的

概率值即可.

【详解】

f(x)=X2+2/7LV+l,

若函数f(X)有极值点，

则/(X)有2个不相等的实数根，

故△=462-4>0,解得：机>1或〃?V-1,

而a=/，go.55V-2,0Vb=/og32<l、c=203>1,0<d=（—）2<1,

满足条件的有2个，分别是mc,

21

故满足条件的概率=5，

故选：B.

【点睛】

本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及对数、指数的性质，是一道中档题.

2

24.函数>=三的图象大致是（）

【答案】A

【分析】

根据函数有两个极值点，可排除选项C、D；利用奇偶性可排除选项B,进而可得结果.

【详解】

因为），=工，所以y，二三二，

exex

令y'=0可得，x=0,x=2,

即函数有且仅有两个极值点，可排除选项C、D；

2

又因为函数y二三即不是奇函数，又不是偶函数，可排除选项B,

ex

故选:A.

【点睛】

函数图象的辨识可从以下方面入手:

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

25.已知函数/(x)=(f+/x+])，，则“。=也”是“函数/(x)在x=・l处取得极小值”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

求出原函数的导函数，分析函数/*)在X二一1处取得极小值时的。的范围，再由充分必要条件的判定得答

案.

【详解】

解：若/(曾在工=一1取得极小值，

(x)=[x2+(a2+2)x+/+=(x+l)(x+cr+Y)ex.

令/<x)=。，得x=—1或x=—/—]

①当a=0时，/\x)=(x+l)2er..O.

故/1(力在H上单调递增，无最小值；

②当。工0时，一/一]<_1，故当时，f(x)>0,/(x)单调递增；

当一"一1<九<一1时，/，(“)<0,f⑸单调递减；

当方>-1时-，ru)>o,/(幻单调递增.

故/㈤在尤=一1处取得极小值.

综上，函数/*)在％=—1处取得极小值=。工0.

「•"a=J5”是"函数f(x)在冗=-1处取得极小值”的充分不必要条件.

故选A.

【点睹】

本题考查利用导数研究函数的极值，考查充分必要条件的判定，属于中档题.

26.函数/*)=/一3/-91+1有

A.极大值一1，极小值3B.极大值6,极小值3

C.极大值6,极小值一26D.极大值一1，极小值一26

【答窠】C

【分析】

对原函数求导，通过导函数判断函数的极值，于是得到答案.

【详解】

根据题意，f\x)=3x2-6x-9=3(x+l)(x-3),故当％w(-«>,-1)时，/，(x)>0；

当xw(-1,3)时，/,(x)<0；当XE(3,+8)时，/(%)>0.故〃力在x=-1处取得极大值

/(-1)=6：在x=3处取得极小值,(3)=-26,故选C.

【点睛】

本题主要考查利用导数求函数极值，难度不大.

27.若函数丁=。(/一乃的单调递增区间为(_*,#),则实数。的取值范围是

A.(-1,0)B.(0,1)C.(0,+oo)D.(-oo,0)

【答案】D

【分析】

求出函数的导数，利用导函数的符号以及函数的单调区间，转化求解即可.

【详解】

由题怠，函数y=a(d-X),可得歹二3依2-4,

因为函数y=的单调递增区间为一¥，¥，则3/_々〉0，

所以导函数在％=-正以及1=正是极值点，并且工=-走是极小值点，所以。<0,

333

故选D.

【点睛】

本题主要考查了函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，着重考查了发现问题解决问题

的能力，属于基础题.

28.已知函数/(力4+2%底，若x=2是函数f(x)的唯一极值点，贝J实数2的取值范围是()

A.-<0,-B.-°o,—C.(0,2]D.[2,4co)

【答案】A

【分析】

由/(.V)的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根.

【详解】

解：•・•函数/(“)的定义域是(0,+8)

x

-f,(Xe(x-2)2k晨2)(—2)

xxr

•・•x=2是函数/(x)的唯一一个极值点

・・・x=2是导函数/'(x)=0的唯一根，

・,・夕-丘2=。在(0,+8)无变号零点，

即心鸟在X)上无变号零点，令g(“=q,

XX

因为g'(x)=《a:2),

X

所以g(x)在(0,2)上单调递减，在4>2二单调递增

2

所以g(x)的最小值为g(2)="，

4

所以必须女工d,

4

故选A.

【点睛】

本题考查由函数的导函数确定极值问题.对参数需要进行讨论.

29.已知函数/(%)=/+2a?+3法+c•的两个极值点分别在(-1,0)与(0,1)内，则2a-b的取值范围

是

333133

A.（―,1）B.C.（——，-）D.（1,-）

222222

【答案】B

【分析】

求出导函数/（x）=3f+4at+3b,由3/+4〃计3b=0的两个根分别在区间（0,1）与（・1,0）内，列出约

束条件，利用线性规划求解2a-b的取值范围.

【详解】

由函数/（x）=xi+2ax2+3bx+c,求导/（x）=3x2+4ax+3b,

/（x）的两个极值点分别在区间（-1,0）与（0,1）内，

由3r+4以+3。=0的两个根分别在区间（0,1）与（-1,0）内，

/（0）V0

即“1）>0，令z=2a-b,

3/?<0

••・转化为在约束条件为<3-4。+3心0时，求z=2a-b的取值范围，可行域如下阴影（不包括边界），

3+4。+36>0

3333

目标函数转化为z=2a・,由图可知，z&A（―,0）处取得最大值不，在（-二，0）处取得最小值-k

4242

33

因为可行域不包含边界，，z=2a-力的取值范围（-大，—）.

22

故选反

【点睛】

本题考查导数求导法则，导数极值的综合应用，考查平面线性规划的运用，考查学生的计算能力，属于中

档题.

30.若函数/（力=（/+公+3），在（0,+8）内有且仅有一个极值点，则实数。的取值范围是

A.(-oo,-2>/^]B.(—oo,-2>/^)C.(—00,—3jD.(-00,—3)

【答案】C

【分析】

对函数/(x)求导，根据函数/(x)在(0,+8)内有且只有一个极值点，可得/(0)<(),从而求出实数。的

范围.

【详解】

详解：/'(x)=[x24-(a4-2)x+3+a]er,

因为函数/(九)在(0,+o。)内有且只有一个极值点，

f+(々+2)1+3+。=0只有一个正数解，

所以广(0)<0,3+々<0,々<一3,又当。=一3时，f\x)=(x2-x)e\令尸(力=0.=1,满足题意，

所以。4一3,选C.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的极值以及一元二次方程根与系数的关系，意在考查转化与划归思想、函

数与方程思想的应用，属于中档题.

31.设。£乩若函数/(%)=/+奴,XCR有大于零的极值点，则()

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