【全程复习方略】2020年人教A版数学理(广东用)课时作业：第八章-第六节椭-圆

16温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(五十五)一、选择题1.(2021·珠海模拟)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为QUOTE,且它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是()(A)QUOTE+QUOTE=1 (B)QUOTE+QUOTE=1(C)QUOTE+y2=1 (D)QUOTE+QUOTE=12.(2021·韶关模拟)已知曲线C上的动点M(x,y),向量a=(x+2,y)和b=(x-2,y)满足|a|+|b|=6,则曲线C的离心率是()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE3.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是()(A)圆 (B)椭圆(C)双曲线 (D)抛物线4.过椭圆QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE5.(2021·重庆模拟)已知F1,F2分别是椭圆QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,点B也在椭圆上,且满足QUOTE+QUOTE=0(O为坐标原点),QUOTE·QUOTE=0,若椭圆的离心率等于QUOTE,则直线AB的方程是()(A)y=QUOTEx (B)y=-QUOTEx(C)y=-QUOTEx (D)y=QUOTEx6.(2021·广州模拟)已知椭圆QUOTE+QUOTE=1,若此椭圆上存在不同的两点A,B关于直线y=4x+m对称,则实数m的取值范围是()(A)(-QUOTE,QUOTE) (B)(-QUOTE,QUOTE)(C)(-QUOTE,QUOTE) (D)(-QUOTE,QUOTE)二、填空题7.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为QUOTE.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为.8.(2021·湛江模拟)设F1,F2分别为椭圆QUOTE+y2=1的左、右焦点,点A,B在椭圆上,若QUOTE=5QUOTE,则点A的坐标是.9.已知F1,F2分别是椭圆QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的左、右焦点,以原点O为圆心,OF1为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A,B两点,若△F2AB是等边三角形,则椭圆的离心率等于.三、解答题10.(2022·广东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上,(1)求椭圆C1的方程.(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.11.已知椭圆C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的左焦点F及点A(0,b),原点O到直线FA的距离为QUOTEb.(1)求椭圆C的离心率e.(2)若点F关于直线l:2x+y=0的对称点P在圆O:x2+y2=4上,求椭圆C的方程及点P的坐标.12.(力气挑战题)已知椭圆C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的离心率为QUOTE,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为QUOTE.(1)求椭圆C的方程.(2)已知动直线y=k(x+1)与椭圆C相交于A,B两点.①若线段AB中点的横坐标为-QUOTE,求斜率k的值;②已知点M(-QUOTE,0),求证:QUOTE·QUOTE为定值.答案解析1.【解析】选A.圆C的方程可化为(x-1)2+y2=16.知其半径r=4,∴长轴长2a=4,∴a=2.又e=QUOTE=QUOTE,∴c=1,b2=a2-c2=4-1=3,∴椭圆的标准方程为QUOTE+QUOTE=1.2.【解析】选A.由于|a|+|b|=6表示动点M(x,y)到两点(-2,0)和(2,0)距离的和为6,所以曲线C是椭圆,且长轴长2a=6,即a=3,又c=2,∴e=QUOTE.3.【解析】选B.点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又AM是圆的半径,∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆的定义知,P的轨迹是椭圆.4.【解析】选B.由题意知点P的坐标为(-c,QUOTE)或(-c,-QUOTE),由于∠F1PF2=60°,那么QUOTE=QUOTE,∴2ac=QUOTEb2,这样依据a,b,c的关系式化简得到结论为QUOTE.5.【思路点拨】由QUOTE+QUOTE=0知,A,B两点关于原点对称,设出A点坐标,利用向量列方程求解.【解析】选A.设A(x1,y1),由于QUOTE+QUOTE=0,所以B(-x1,-y1),QUOTE=(c-x1,-y1),QUOTE=(2c,0),又由于QUOTE·QUOTE=0,所以(c-x1,-y1)·(2c,0)=0,即x1=c,代入椭圆方程得y1=QUOTE,由于离心率e=QUOTE,所以,a=QUOTEc,b=c,A(c,QUOTE),所以直线AB的方程是y=QUOTEx.6.【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x,y),kAB=QUOTE=-QUOTE,x1+x2=2x,y1+y2=2y,3QUOTE+4QUOTE=12①,3QUOTE+4QUOTE=12②,①②两式相减得3(QUOTE-QUOTE)+4(QUOTE-QUOTE)=0,即y1+y2=3(x1+x2),即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在椭圆的内部,则QUOTE+QUOTE<1,即-QUOTE<m<QUOTE.【方法技巧】点差法解直线与椭圆相交问题的适用条件及技巧对于直线与椭圆相交问题,若题设和待求涉及弦的中点和所在直线的斜率,求解时一般先设交点坐标,代入曲线方程,再用平方差公式求解,这种解法,大大削减了将直线方程与椭圆方程联立求解带来的繁杂运算.7.【解析】依据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为QUOTE+QUOTE=1(a>b>0).∵e=QUOTE,∴QUOTE=QUOTE.依据△ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=2QUOTE,所以椭圆方程为QUOTE+QUOTE=1.答案:QUOTE+QUOTE=18.【解析】依据题意设A点坐标为(m,n),B点坐标为(c,d),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,其坐标分别为(-QUOTE,0),(QUOTE,0),可得QUOTE=(m+QUOTE,n),QUOTE=(c-QUOTE,d).∵QUOTE=5QUOTE,∴c=QUOTE,d=QUOTE.∵点A,B都在椭圆上,∴QUOTE+n2=1,QUOTE+(QUOTE)2=1.解得m=0,n=±1,故点A坐标为(0,±1).答案:(0,±1)9.【解析】由于△F2AB是等边三角形,所以A(-QUOTE,QUOTEc)在椭圆QUOTE+QUOTE=1上,所以QUOTE+QUOTE=1,由于c2=a2-b2,所以,4a4-8a2c2+c4=0,即e4-8e2+4=0,所以,e2=4±2QUOTE,e=QUOTE-1或e=QUOTE+1(舍).答案:QUOTE-1【误区警示】本题易毁灭答案为QUOTE-1或QUOTE+1的错误,其错误缘由是没有留意到或不知道椭圆离心率的范围.10.【解析】(1)由题意得c=1,b=1,a=QUOTE=QUOTE,∴椭圆C1的方程为QUOTE+y2=1.(2)由题意得直线的斜率确定存在且不为0,设直线l方程为y=kx+m.由于椭圆C1的方程为QUOTE+y2=1,∴QUOTE消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.直线l与椭圆C1相切,∴Δ=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)=0.即2k2-m2+1=0.①直线l与抛物线C2:y2=4x相切,则QUOTE消去y得k2x2+(2km-4)x+m2=0.∴Δ=(2km-4)2-4k2m2=0,即km=1.②由①②解得k=QUOTE,m=QUOTE;k=-QUOTE,m=-QUOTE.所以直线l的方程y=QUOTEx+QUOTE,y=-QUOTEx-QUOTE.11.【解析】(1)由点F(-ae,0),点A(0,b)及b=QUOTEa得直线FA的方程为QUOTE+QUOTE=1,即QUOTEx-ey+aeQUOTE=0.∵原点O到直线FA的距离QUOTEb=aeQUOTE,∴QUOTE·a=eaQUOTE.解得e=QUOTE.(2)方法一:设椭圆C的左焦点F(-QUOTEa,0)关于直线l:2x+y=0的对称点为P(x0,y0),则有QUOTE解得x0=QUOTEa,y0=QUOTEa.∵P在圆x2+y2=4上,∴(QUOTEa)2+(QUOTEa)2=4.∴a2=8,b2=(1-e2)a2=4.故椭圆C的方程为QUOTE+QUOTE=1,点P的坐标为(QUOTE,QUOTE).方法二:∵F(-QUOTEa,0)关于直线l的对称点P在圆O上,又直线l:2x+y=0经过圆O:x2+y2=4的圆心O(0,0),∴F(-QUOTEa,0)也在圆O上.从而(-QUOTEa)2+02=4,a2=8,b2=(1-e2)a2=4.故椭圆C的方程为QUOTE+QUOTE=1.∵F(-2,0)与P(x0,y0)关于直线l对称,∴QUOTE解得x0=QUOTE,y0=QUOTE.故点P的坐标为(QUOTE,QUOTE).12.【解析】(1)由于QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)满足a2=b2+c2,QUOTE=QUOTE,QUOTE×b×2c=QUOTE.解得a2=5,b2=QUOTE,则椭圆C方程为QUOTE+QUOTE=1.(2)①设A(x1,y1),B(x2,y2),则将y=k(x+1)代入QUOTE+QUOTE=1中得(1+3k2)x2+6k2x+3k2-5=0,Δ=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)=48k2+20>0,x1+x2=-QUOTE,由于AB中点的横坐标为-QUOTE,所以-QUOTE=-QUOTE,解得k=±QUOTE.②由①知x1+x2=-QUOTE,x1x2=QUOTE,所以QUOTE·