【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：3.1

第三章3.1第1课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．若f′(x0)＝a≠0，则lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝()A．aB．－aC.eq\f(1,a)D．－eq\f(1,a)答案A2．已知函数f(x)＝－cosx＋lnx，则f′(1)的值为()A．sin1－1B．1－sin1C．1＋sin1D．－1－sin1答案C解析∵f(x)＝－cosx＋lnx，∴f′(x)＝eq\f(1,x)＋sinx，∴f′(1)＝1＋sin1.3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y－1＝0，则()A．f′(x0)>0B．f′(x0)<0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在答案B解析切线方程为y＝－2x＋1，∴f′(x0)＝－2<04．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为()A．y＝x－1B．y＝－x＋1C．y＝2x－2D．y＝－2x＋2答案A解析由题可知，点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，求导可得y′＝3x2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1,0)，依据直线的点斜式可得在点(1,0)的曲线y＝x3－2x＋1的切线方程为y＝x－1，故选A.5．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足()A．f(x)＝g(x)B．f(x)＝g(x)＝0C．f(x)－g(x)为常数函数D．f(x)＋g(x)为常数函数答案C6．若曲线y＝x－eq\f(1,2)在点(a，a－eq\f(1,2))处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝()A．64B．32C．16D．8答案A解析求导得y′＝－eq\f(1,2)x－eq\f(3,2)(x>0)，所以曲线y＝x－eq\f(1,2)在点(a，a－eq\f(1,2))处的切线l的斜率k＝y′|x＝a＝－eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)，由点斜式得切线l的方程为y－a－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)(x－a)，易求得直线l与x轴，y轴的截距分别为3a，eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)，所以直线l与两个坐标轴围成的三角形面积S＝eq\f(1,2)×3a×eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)＝eq\f(9,4)aeq\f(1,2)＝18，解得a＝64.7已知点P在曲线y＝eq\f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A．[0，eq\f(π,4))B．[eq\f(π,4)，eq\f(π,2))C．(eq\f(π,2)，eq\f(3π,4)]D．[eq\f(3π,4)，π)答案D解析设曲线在点P处的切线斜率为k，则k＝y′＝eq\f(－4ex,1＋ex2)＝eq\f(－4,ex＋\f(1,ex)＋2)，由于ex＞0，所以由均值不等式得k≥eq\f(－4,2\r(ex×\f(1,ex))＋2)，又k＜0，∴－1≤k＜0，即－1≤tanα＜0，所以eq\f(3π,4)≤α＜π.8．下列图象中，有一个是函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)＝()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(7,3)D．－eq\f(1,3)或eq\f(5,3)答案B解析f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a)2－1∴y＝f′(x)是开口向上，以x＝－a为对称轴(－a，－1)为顶点的抛物线．∴(3)是对应y＝f′(x)的图象∵由图象知f′(0)＝0，对称轴x＝－a>0.∴a2－1＝0，a<0∴a＝－1∴y＝f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋1∴f(－1)＝－eq\f(1,3)选B.二、填空题9．曲线y＝tanx在x＝－eq\f(π,4)处的切线方程为______答案y＝2x＋eq\f(π,2)－1解析y′＝(eq\f(sinx,cosx))′＝eq\f(cos2x＋sin2x,cos2x)＝eq\f(1,cos2x)，所以在x＝－eq\f(π,4)处的斜率为2，曲线y＝tanx在x＝－eq\f(π,4)处的切线方程为y＝2x＋eq\f(π,2)－1.10．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.答案－2解析由题意，得f′(x)＝2x＋3f′(2)∴f′(2)＝2×2＋3f′(2)，∴f′(2)＝－2.11．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．答案3x－y－11＝0解析y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3≥3当且仅当x＝－1时取等号，当x＝－1时y＝－14∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)即3x－y－11＝012．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，则f(1)＋f′(1)＝______答案3解析在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，∴点M在y＝eq\f(1,2)x＋2上．∴f(1)＝eq\f(1,2)·1＋2＝eq\f(5,2).f′(1)＝eq\f(1,2)，∴f(1)＋f′(1)＝3.13．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．答案4解析依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′(1)＋2＝4.三、解答题14．点P是曲线x2－y－2lneq\r(x)＝0上任意一点，求点P到直线y＝x－2的最短距离．答案eq\r(2)解析y＝x2－2lneq\r(x)＝x2－lnx(x>0)，y′＝2x－eq\f(1,x)，令y′＝1，即2x－eq\f(1,x)＝1，解得x＝1或x＝－eq\f(1,2)(舍去)，故过点(1,1)且斜率为1的切线为：y＝x，其到直线y＝x－2的距离eq\r(2)即为所求．15．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．答案y＝－eq\f(1,4)x，(eq\f(3,2)，－eq\f(3,8))解析∵直线过原点，则k＝eq\f(y0,x0)(x0≠0)．由点(x0，y0)在曲线C上，则y0＝xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋2x0，∴eq\f(y0,x0)＝xeq\o\al(2,0)－3x0＋2.又y′＝3x2－6x＋2，∴在(x0，y0)处曲线C的切线斜率应为k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2.∴xeq\o\al(2,0)－3x0＋2＝3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2.整理得2xeq\o\al(2,0)－3x0＝0.解得x0＝eq\f(3,2)(x0≠0)．这时，y0＝－eq\f(3,8)，k＝－eq\f(1,4).因此，直线l的方程为y＝－eq\f(1,4)x，切点坐标是(eq\f(3,2)，－eq\f(3,8))．16．曲线y＝x(x＋1)(2－x)有两条平行于y＝x的切线，求二切线之间距离．答案eq\f(16,27)eq\r(2)解析y＝x(x＋1)(2－x)＝－x3＋x2＋2xy′＝－3x2＋2x＋2，令－3x2＋2x＋2＝1得x1＝1或x2＝－eq\f(1,3)∴两个切点分别为(1,2)和(－eq\f(1,3)，－eq\f(14,27))切线方程为x－y＋1＝0和x－y－eq\f(5,27)＝0d＝eq\f(|1＋\f(5,27)|,\r(2))＝eq\f(16\r(2),27)拓展练习·自助餐1．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2011(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx答案D解析f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为4.∴f2011(x)＝f3(x)＝－cosx.2．已知曲线S：y＝3x－x3及点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为()A．0B．1C．2D．3答案D解析明显P不在S上，设切点为(x0，y0)，由y′＝3－3x2，得y′|x＝x0＝3－3xeq\o\al(2,)0切线方程为：y－(3x0－xeq\o\al(3,)0)＝(3－3xeq\o\al(2,)0)(x－x0)∵P(2,2)在切线上∴2－(3x0－xeq\o\al(3,)0)＝(3－3xeq\o\al(2,)0)(2－x0)即xeq\o\al(3,)0－3xeq\o\al(2,)0＋2＝0(x0－1)(xeq\o\al(2,)0－2x0－2)＝0由x0－1＝0得x0＝1由xeq\o\al(2,)0－2x0－2＝0得x0＝1±eq\r(3).∵有三个切点，∴由P向S作切线可以作3条．3．设函数f(x)＝eq\f(sinθ,3)x3＋eq\f(\r(3)cosθ,2)x2＋tanθ，其中θ∈[0，eq\f(5π,12)]，则导数f′(1)的取值范围为________．答案[eq\r(2)，2]解析∵f′(x)＝sinθ·x2＋eq\r(3)cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋eq\r(3)cosθ＝2sin(θ＋eq\f(π,3))．∵θ∈[0，eq\f(5π,12)]，∴θ＋eq\f(π,3)∈[eq\f(π,3)，eq\f(3π,4)]，∴sin(θ＋eq\f(π,3))∈[eq\f(\r(2),2)，1]．4．已知函数f(x)＝lnx－ax＋eq\f(1－a,x)－1(a∈R)．当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．解析当a＝－1时，f(x)＝lnx＋x＋eq\f(2,x)－1，x∈(0，＋∞)．所以f′(x)＝eq\f(x2＋x－2,x2)，x∈(0，＋∞)，因此f′(2)＝1，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1.又f(2)＝ln2＋2，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(ln2＋2)＝x－2，即x－y＋ln2＝0.老师备选题1．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为________．答案0解析由题意得f′(5)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f5＋Δx－f5,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fΔx－f0,Δx)＝f′(0)，且f′(0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fΔx－f0,Δx)＝－eq\o(lim,\s\do4(－Δx→0))eq\f(f0－Δx－f0,－Δx)＝－f′(0)，f′(0)＝0，因此f′(5)＝0.2．已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2