【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：4.6

第四章4.6第6课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．下列函数中，周期为π，且在[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]上为减函数的是()A．y＝sin(2x＋eq\f(π,2))B．y＝cos(2x＋eq\f(π,2))C．y＝sin(x＋eq\f(π,2))D．y＝cos(x＋eq\f(π,2))答案A解析对于选项A，留意到y＝sin(2x＋eq\f(π,2))＝cos2x的周期为π，且在[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]上是减函数，故选A.2．函数y＝2cos2x的一个单调增区间是()A．(－eq\f(π,4)，eq\f(π,4))B．(0，eq\f(π,2))C．(eq\f(π,4)，eq\f(3π,4))D．(eq\f(π,2)，π)答案D解析y＝2cos2x＝1＋cos2x，∴递增区间为2kπ＋π≤2x≤2kπ＋2π∴kπ＋eq\f(π,2)≤x≤kπ＋π∴k＝0时，eq\f(π,2)≤x≤π.选D.3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在x＝eq\f(π,4)处取得最小值，则()A．f(x＋eq\f(π,4))确定是偶函数B．f(x＋eq\f(π,4))确定是奇函数C．f(x－eq\f(π,4))确定是偶函数D．f(x－eq\f(π,4))确定是奇函数答案A解析f(x＋eq\f(π,4))是f(x)向左平移eq\f(π,4)个单位得到的f(x)图象关于x＝eq\f(π,4)对称，则f(x＋eq\f(π,4))图象关于x＝0对称，故f(x＋eq\f(π,4))为偶函数．4．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈[－eq\f(π,2)，0)时，f(x)＝sinx，则f(－eq\f(5π,3))的值为()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)答案D解析据题意，由函数的周期性及奇偶性知：f(－eq\f(5π,3))＝f(－eq\f(5π,3)＋2π)＝f(eq\f(π,3))＝－f(－eq\f(π,3))＝－sin(－eq\f(π,3))＝eq\f(\r(3),2).5．函数y＝－xcosx的部分图象是()答案D分析方法一由函数y＝－xcosx是奇函数，知图象关于原点对称．又由当x∈[0，eq\f(π,2)]时，cosx≥0，有－xcosx≤0.当x∈[－eq\f(π,2)，0]时，cosx≥0，有－xcosx≥0.∴应选D.方法二特殊值法，由f(±eq\f(π,2))＝0，∵f(eq\f(π,4))＝－eq\f(π,4)·coseq\f(π,4)<0，由图象可排解A、B，又∵f(－eq\f(π,4))＝eq\f(π,4)·coseq\f(π,4)>0，排解C，故选D.6．关于x的函数f(x)＝sin(πx＋φ)有以下命题：①∀φ∈R，f(x＋2π)＝f(x)；②∃φ∈R，f(x＋1)＝f(x)；③∀φ∈R，f(x)都不是偶函数；④∃φ∈R，使f(x)是奇函数．其中假命题的序号是()A．①③B．①④C．②④D．②③答案A解析对命题①，取φ＝π时，f(x＋2π)≠f(x)，命题①错误；如取φ＝2π，则f(x＋1)＝f(x)，命题②正确；对于命题③，φ＝0时f(x)＝f(－x)，则命题③错误；如取φ＝π，则f(x)＝sin(πx＋π)＝－sinπx，命题④正确．二、填空题7．设函数y＝2sin(2x＋eq\f(π,3))的图象关于点P(x0,0)成中心对称，若x0∈[－eq\f(π,2)，0]则x0＝______答案－eq\f(π,6)解析由于图象的对称中心是其与x轴的交点，所以由y＝2sin(2x＋eq\f(π,3))＝0，x0∈[－eq\f(π,2)，0]，得x0＝－eq\f(π,6).8．函数f(x)＝sin(2x－eq\f(π,4))－2eq\r(2)sin2x的最小正周期是________．答案π解析f(x)＝sin(2x－eq\f(π,4))－2eq\r(2)sin2x＝eq\f(\r(2),2)sin2x－eq\f(\r(2),2)cos2x－2eq\r(2)×eq\f(1－cos2x,2)＝eq\f(\r(2),2)sin2x＋eq\f(\r(2),2)cos2x－eq\r(2)＝sin(2x＋eq\f(π,4))－eq\r(2)，故该函数的最小正周期为eq\f(2π,2)＝π.9．设函数f(x)＝sin(eq\r(3)x＋φ)(0<φ<π)，若函数f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.答案eq\f(2π,3)解析由题意得f′(x)＝eq\r(3)cos(eq\r(3)x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝2sin(eq\r(3)x＋φ＋eq\f(π,3))是奇函数，因此φ＋eq\f(π,3)＝kπ(其中k∈Z)，φ＝kπ－eq\f(π,3)，又0<φ<π，所以φ＝eq\f(2π,3).10．若函数y＝f(x)同时具有下列三共性质：(1)最小正周期为π；(2)图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称；(3)在区间[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]上是增函数，则y＝f(x)的解析式可以是______．答案y＝cos(2x－eq\f(2,3)π)．11．已知函数f(x)＝3sin(ωx－eq\f(π,6))(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈[0，eq\f(π,2)]，则f(x)的取值范围是________．答案[－eq\f(2,3)，3]解析∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，所以f(x)与g(x)的最小正周期相等，∵ω＞0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x－eq\f(π,6))，∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,6)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)，∴－eq\f(1,2)≤sin(2x－eq\f(π,6))≤1，∴－eq\f(3,2)≤3sin(2x－eq\f(π,6))≤3，即f(x)的取值范围为[－eq\f(3,2)，3]．12．将函数y＝sin(ωx＋φ)(eq\f(π,2)<φ<π)的图象，仅向右平移eq\f(4π,3)，或仅向左平移eq\f(2π,3)，所得到的函数图象均关于原点对称，则ω＝________.答案eq\f(1,2)解析留意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半，即有eq\f(T,2)＝eq\f(4π,3)－(－eq\f(2π,3))＝2π，T＝4π，即eq\f(2π,ω)＝4π，ω＝eq\f(1,2).三、解答题13．已知函数f(x)＝2cos2x＋2eq\r(3)sinxcosx－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的周期、对称轴方程；(2)求函数f(x)的单调增区间．解析f(x)＝2cos2x＋2eq\r(3)sinxcosx－1＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋eq\f(π,6))．(1)f(x)的周期T＝π，函数f(x)的对称轴方程为x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)．(2)由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得kx－eq\f(π,3)≤x≤kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，∴函数f(x)的单调增区间为[kπ－eq\f(π,3)，kπ＋eq\f(π,6)](k∈Z)．14．已知函数f(x)＝eq\r(3)(sin2x－cos2x)－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设x∈[－eq\f(π,3)，eq\f(π,3)]，求f(x)的值域和单调递增区间．解析(1)∵f(x)＝－eq\r(3)(cos2x－sin2x)－2sinxcosx＝－eq\r(3)cos2x－sin2x＝－2sin(2x＋eq\f(π,3))，∴f(x)的最小正周期为π.(2)∵x∈[－eq\f(π,3)，eq\f(π,3)]，∴－eq\f(π,3)≤2x＋eq\f(π,3)≤π，∴－eq\f(\r(3),2)≤sin(2x＋eq\f(π,3))≤1.∴f(x)的值域为[－2，eq\r(3)]．∵当y＝sin(2x＋eq\f(π,3))单调递减时，f(x)单调递增，∴eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤π，即eq\f(π,12)≤x≤eq\f(π,3).故f(x)的单调递增区间为[eq\f(π,12)，eq\f(π,3)]．15．已知向量m＝(sinwx，－eq\r(3)coswx)，n＝(sinwx，cos(wx＋eq\f(π,2)))(w>0)，若函数f(x)＝m·n的最小正周期为π.(1)求w的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移eq\f(π,12)个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的单调递减区间．解析(1)由题意得f(x)＝m·n＝sin2wx－eq\r(3)coswxcos(wx＋eq\f(π,2))＝sin2wx＋eq\r(3)coswxsinwx＝eq\f(1－cos2wx,2)＋eq\f(\r(3),2)sin2wx＝eq\f(\r(3),2)sin2wx－eq\f(1,2)cos2wx＋eq\f(1,2)＝sin(2wx－eq\f(π,6))＋eq\f(1,2).由于函数f(x)的最小正周期为π，且w>0，所以eq\f(2π,2w)＝π，解得w＝1.(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移eq\f(π,12)个单位，得到函数y＝f(x＋eq\f(π,12))的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝f(eq\f(x,4)＋eq\f(π,12))即函数y＝g(x)的图象．由(1)知f(x)＝sin(2x－eq\f(π,6))＋eq\f(1,2)，所以g(x)＝f(eq\f(x,4)＋eq\f(π,12))＝sin[2(eq\f(x,4)＋eq\f(π,12))－eq\f(π,6)]＋eq\f(1,2)＝sineq\f(x,2)＋eq\f(1,2).令2kπ＋eq\f(π,2)≤eq\f(x,2)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，解得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π(k∈Z)．因此函数y＝g(x)的单调递减区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z)．拓展练习·自助餐1．已知函数y＝2sin(wx＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y＝2的某两个交点横坐标为x1、x2，若|x2－x1|的最小值为π，则()A．w＝2，θ＝eq\f(π,2)B．w＝－eq\f(1,2)，θ＝eq\f(π,2)C．w＝eq\f(1,2)，θ＝eq\f(π,4)D．w＝2，θ＝eq\f(π,4)答案A解析∵y＝2sin(wx＋θ)为偶函数，∴θ＝eq\f(π,2).∵图象与直线y＝2的两个交点横坐标为x1，x2，|x2－x1|min＝π，即T＝π.2．将函数y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的图象沿x轴方向平移|a|个单位后所得的图象关于点(－eq\f(π,12)，0)中心对称，则a的值可能为()A．－eq\f(π,12)B．－eq\f(π,6)C.eq\f(π,12)D.eq\f(π,6)答案C3．已知函数y＝sineq\f(πx,3)在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是()A．6B．7C．8D．9答案C解析周期T＝eq\f(2π,\f(π,3))＝6.由题意，T＋eq\f(T,4)≤t，得t≥7.5.故选C.4．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是()A．[0,1]B．[1,7]C．[7,12]D．[0,1]和[7,12]答案D解析由已知可得该函数的最小正周期为T＝12，则ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6)，又当t＝0时，A的坐标为(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3)