【名师一号】2020-2021学年北师大版高中数学必修4双基限时练8

双基限时练(八)余弦函数的图像与性质一、选择题1．函数f(x)＝cosx的图像的对称轴是()A．x＝kπ，k∈ZB．x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈ZC．x＝2kπ＋eq\f(π,4)，k∈ZD．x＝2kπ－eq\f(π,3)，k∈Z解析由余弦函数图像知．答案A2．函数y＝1－2coseq\f(π,2)x的最小值、最大值分别是()A.－1,3 B.－1,1C.0,3 D.0,1解析ymin＝1－2＝－1，ymax＝1＋2＝3.答案A3．函数y＝log2(2cosx－eq\r(3))的定义域为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)C．[2kπ－30°，2kπ＋30°](k∈Z)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)答案D4．下列4个函数中，既是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的增函数，又是以π为周期的偶函数是()A．y＝sin|x| B．y＝|sinx|C．y＝|cos2x| D．y＝cosx解析由四个函数的图像可知．答案B5．函数y＝cosx－2，x∈[－π，π]的图像是()解析把y＝cosx，x∈[－π，π]的图像向下平移2个单位．答案A6．若函数f(x)＝cos(x＋φ)，φ∈(0,2π)为偶函数，则φ＝()A.eq\f(π,2) B．πC.eq\f(3,2)π D.eq\f(π,3)解析cos(x＋π)＝－cosx，故选B.答案B二、填空题7．函数y＝cosxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)≤x≤\f(5,6)π))的值域为________．解析当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(5,6)π))时，－eq\f(\r(3),2)≤cosx≤1，所以值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1)).答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1))8．函数y＝cosx－1的对称中心为________．解析y＝cosx的对称中心为(kπ＋eq\f(π,2)，0)，由y＝cosx图像向下平移一个单位，得到y＝cosx－1的图像．所以y＝cosx－1的对称中心为(kπ＋eq\f(π,2)，－1)．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，－1))9．y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是________．解析由y＝2cosx，x∈[0,2π]上的图像可知封闭的平面图形的面积S＝2π×2＝4π.答案4π10．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)π))与coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π))的大小关系为________．解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)π))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)π))＝coseq\f(3,5)π，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝coseq\f(π,4).∵0<eq\f(π,4)<eq\f(3,5)π<π，而y＝cosx在[0，π]上是减函数，∴coseq\f(π,4)>coseq\f(3,5)π，即coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π))>coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)π)).答案coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π))>coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)π))三、解答题11．求函数y＝log2cos2x的定义域、值域、单调区间．解由cos2x>0得2kπ－eq\f(π,2)<2x<2kπ＋eq\f(π,2)，即kπ－eq\f(π,4)<x<kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)，∴函数y＝log2cos2x的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)，∵cos2x∈(0,1]∴y＝log2cos2x的值域为(－∞，0]．由余弦函数的图像及函数的定义域可知，y＝log2cos2x在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ))(k∈Z)单调递增，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)单调递减．12．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，sinx≥cosx，,cosx，sinx<cosx，))试写出它的性质(四个以上)．解该函数的图像如图所示，由图像可知：①函数的定义域为R；②函数的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1))；③函数的最小正周期为2π；④当且仅当x＝2kπ和x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时函数取得最大值1；⑤当且仅当x＝2kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)时函数取得最小值－eq\f(\r(2),2)；⑥当且仅当2kπ＋π<x<2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)时，f(x)<0；⑦当且仅当2kπ－eq\f(3π,4)<x<2kπ或2kπ＋eq\f(π,4)<x<2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时，函数单调递增；⑧当且仅当2kπ<x<2kπ＋eq\f(π,4)或2kπ＋eq\f(π,2)<x<2kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)时，函数单调递减．13．求当函数y＝－cos2x＋acosx－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)的最大值为1时a的值．解y＝－cos2x＋acosx－eq\f(a,2)－eq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx－\f(a,2)))2＋eq\f(a2,4)－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2).设cosx＝t，∵－1≤cosx≤1，∴－1≤t≤1.∴求函数y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx－\f(a,2)))2＋eq\f(a2,4)－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)的最大值为1时a的值，等价于求二次函数y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(a,2)))2＋eq\f(a2,4)－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)(－1≤t≤1)的最大值为1时a的值．①当eq\f(a,2)<－1，即a<－2时，在t＝－1处，y有最大值，为－eq\f(3,2)a－eq\f(3,2).由题设可知－eq\f(3,2)a－eq\f(3,2)＝1，∴a＝－eq\f(5,3)>－2(舍去)．②当－1≤eq\f(a,2)≤1，即－2≤a≤2时，在t＝eq\f(a,2)处，y有最大值，为eq\f(a2,4)－eq\f(a,2)－eq\f(1,