专题20函数与等腰三角形的存在性问题-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（解析版）

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题20函数与等腰三角形的存在性问题

解题策略

以线段相为边的等腰三角形构造方法如图1所示：。

等腰三角形的另一个顶点在线段.姐的垂直平分线上，或以46为圆心、18长为半径

的圆上（不与线段，"共线）.~

解等腰三角形的存在性问题时，若没有明确指出等腰三角形的底或腰，就需要进行分类

讨论.通常这类问题的解题策略有：，

（1）几何法：先分类讨论，再画出等腰三角形，后计算.~

如图2,若AB=AC,过点力作月垂足为。，则被=勿，/BAD=/CAD,从而利

用锐角三角函数、相似三角形等知识解决问题.~

（2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论列方程，然后解方程并检险.〃

有时候将几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好.~

经典例题

【例1】（2022秋•青岛期中）如图，在矩形A8C。中，BO是对角线，AB=6cm,8c=8（v〃，点E从点。出

发，沿方向匀速运动，速度是2c用血点尸从点B出发，沿B。方向匀速运动，速度是1c〃心.两点

问时出发，设运动时间为/请回答下列问题

备用图

（1）当/为何值时，EF//ABR

（2）设四边形ABFE的面积为S（a/）,求S与，之间的函数关系式；

（3）当/为何值时，四边形ABFE的面积S等「矩形A8CO面积的3?

8

（4）当/为_¥或"_时，△EF。是等腰三角形.

【分析】（1）由勾股定理求出8Q,由平行线分线段成比例定理得出旦则可得出答案；

ADBD

（2）过点尸作/G_LAD于G,求出产G=3°-3t,求出三角形EQ/的面积，根据S四边形・

5

SaEFD可求出答案；

（3）由面积关系列出方程可得出答案：

（4）由等腰三角形的性质分三种情况可求出答案.

【解答】解：（1）如图，

V/15=6(7??,BC=Scm,

BD=4研2+BC2==।°(cm),

YEF//AB,

.EDDF

••''二,

ADBD

V：

(2),：AB=6cm,AD=BC=^an,

*,•S^BD——ABpAD=_~6X8=24,

乙乙

过点尸作尸G_LA。于G,

*：FG//AB,

,FGFD

••二一,

ABBD

.FG」0-t

••,-9

610

•・•r厂C厂r_--3--0----3--t-,

5

・,・5田广=白。・依=N2tX-春2+8,

/4DD

S四边形ABFE=S"BD"S^EFI）

=24-（一8/+6，）

51

=$2-6什24；

51

（3）:四边形AAFE的面积S等于矩形4BCO面积的3.

8

•'W12-61+24^X48,

Do

A/2-IOr+lO=（）,

解得f=5-J正或/=5+4诬（舍去），

.\t=5-V~15;

（4）若△EFQ是等腰三角形，可分三种情况，

①若ED=DF,

.•.27=10-t.

10

"3,

②若ED=EF,

如图，过点E作EHLBD于H,则"7=/)”=』(10-Q,

VZ£HD=ZA=90<>,ZEDH=ZADB,

:.XEDHsABDA,

•,•ED—-DHt

BDAD

.2t1(1°-0

10-8

・“黑

21

③若EF=DF,过点尸作/MIADFM,则瑞

.iX2tio-t

••-------=-------

810

解得,=图＞4,不合题意，舍去.

综上所述，1的值为里或里.

321

故答案为:曲或取

321

【例2】(2022•佳木斯模拟)如图，在正方形A8C。中，E为AB的中点，以人为原点，AB,A。所在直线

为x轴、y轴，建立平面直角坐标系.正方形A8C。的边长是方程f・&计16=0的根.点。从点8出发,

沿3C-CO向点。运动，同时点Q从点£出发，沿E8-3C向点C运动，点产的速度是每秒2个单位

长度，点Q的速度是每秒1个单位长度当点户运动到点。时，P,Q两点同时停止运动设点尸运动的时

词为/秒，^AP。的面积为S.

(1)求点C的坐标;

(2)求S关于f的函数关系式;

(3)当△AQP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标.

【分析】（1）解方程求出正方形人8C。的边长，即可得点C的坐标；

（2）分两种情况：①0V/V2时，S=SAAPQ；②2W/W4时，S=SA/U>Q=S正方形ABC。--SaABQ-S

“PQ=SaCPQ;根据面积公式可得S关于/的函数关系式；

（3）分两种情况：①0V/W2时；②2VfW4时，利用勾股定理表示出A。2、p*人广，根据等腰三角

形的性质即可求解.

【解答】解：（1）•・•正方形A8C。的边长是方程f-8x+16=0的根.

解方程8x+16=0得x=4,

:.正方形ABCD的边长为4,

AAB=13C=CD=AD=4,BCLAB,CDLAD,

・••点C的坐标为（4,4）；

（2）,・•？为4?的中点,

：.BE=AE=-AB=2,

2

•・•由题意得：0W/W4,

分两种情况：

：.A()=AE+EQ=2+t,

••・S=S/W，Q=-1AQ・BP=*X(2+r)X2r=?+2r；

②2W/W4时，如图:

由题意得：EB+BQ=f,BC+CP=Z,

:,BQ=I-BE=l-2,CQ=BC+BE-1=6-I,CP=2i-BC=2f-4,PD=BC+CD-2f=8-21,

:.S=SMPQ=SiE方形ABC。-SAAPD-SMBQ-SdAPQ-S^CPQ

=4X4--X4(8-2/)-AX4(/-2)(6-/)(2/-4)

222

=4-6/+16,

t2+2t(O<t<2)

・・・S关于/的函数关系式为S=I

t2-6t+16(2<t<4)

（3）分两种情况:

：,AQ=AE+EQ=2+t,BQ=2-1

・\AQ2=(2+f)2=尸+41+4,

PQ1=BQ2+BP2=(2-t)2+(2/)2=5/2-4/+4,

AP2=AB2+BP2=42+(2/)2=16+4r,

当4Q=F。时,A^=PQ1,

/.r+4r+4=5r-4/+4,解得f=0(舍去)或2,

，BP=4,

:.P(4,4)；

当AQ=AP时，A(f=AP2,

AA4r+4=16+4/2,方程无解，

・•・此种情况不存在；

当AP=PQ时，A尸=尸。2,

A16+4r=5r-4/+4,解得r=6(舍去)或・2(舍去),

・•・此种情况不存在；

・•・当0《f<2,△AQF是等腰二角形时，P(4,4)；

：.BQ=t~+BE=t-2,CQ=BC+BE-t=6-t,CP=2t-BC=2t-4,PD=BC+CD-2t=S-2t,

：.AO2=AB2+BQ2=42+(l2)2=»-4什20,

PQ1=CQ1+CP2=(6-r)2+(2r-4)2=5^-28r+52,

AP2=AD2+DP2=42+(8-21)2=4r-32/+80,

当AQ=PQ时，AQ1=PQ1,

.,.r-4r+20=5r-28^+52,解得r=2(舍去)或4,

.•・QP=O,

：.P(0,4)；

当AQ=A。时，AQ1=AP2,

：.r-4r+20=4/2-32/+80,解得f=6（舍去）或也，

3

4

：.DP=—,

3

4

:・P（―,4）；

3

当AP=PQ时，AP2=PQ2,

・・・4户-32/+80=5/2-28什52,解得/=-2-4近（舍去）或4a-2，

：.DP=\2-8近，

・••尸（12-8&,4）；

・••当2VfW4,/XA。尸是等腰三角形时，P（0,4）或（3，4）或（12-8&,4）；

3

综上所述，当△口是等腰三角形时，点P的坐标为（4,4）或（0,4）或（得，4）或（12-8近，4）.

【例3】（2022秋•前郭县期中）如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=a（x-/r）2+k（aKO）与x轴交于

点A、B（点4在点B的左侧），与y轴交于点C,其中点8的坐标为（2,0）,点C的坐标为（0,4）.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图①，若点P为抛物线上第二象限内的一点，且到y轴的距离是2.点M为线段。。上的一个动

点,求△人PM周长的最小值；

（3）如图②，将原抛物线绕点4旋转180°,得新抛物线负在新抛物线V的对称轴上是否存在点Q,

使得4人。。为等腰三角形？若存在，请直接写出点。的坐标：若不存在，说明理由.

【分析】（1）先根据对称轴确定力的值，再将8（2,0）,C（0,4）代入，求函数的解析式即可：

⑵先确定P点坐标，作A点关于y轴的对称点为A'（4,0）,连接回与＞＞轴交于点M,则有AM+PM+AP

^AP+A'P,所以△人?”周长的最小值为RV+AP；

（3）先求出旋转后C点旋转后的点C（-12,-4）,B-（-10,0）,再用待定系数法求旋转后的抛物线

解析式y=--A-2・10,设。（-7,/）,分别求出AC=4圾,Ae=/+t2＞。。=449+（t-4）2，

4259

再根据等腰三角形边的性质，分三种情况讨论即可求解.

【解答】解：（1）•・•对称轴为直线上=-1,

・•・1?=-1,

••y=a(x+1)2+k,

将4(2,0),C(0,4)代入,

9a+k=0

a+k=4

解得《

/.y=-—(x+1)

2

（2）・・J点到），轴的距离是2,

.J点横坐标为-2,

:.P(-2,4),

令y=0,则-—(A+I)2+9=0,

22

解得x=2或1=-4,

・・・4(-4,0),B(2,0),

・・・A点关于y轴的对称点为H(4,0),

连接附'与y轴交于点M,

：.AM=A'M,

：.AM+PM+AP=AP+A'M+PM^AP+A'P,

/.M'=2A/13«AP=2娓,

•••△APM周长的最小值为2^13+2^5：

(3)存在点Q，使得△ACQ为等腰三角形，理由如下:

VC(0,4),B(2,0),

・・・C点旋转后的点C(-12,-4),8(-10,0),

设旋转后的抛物线解析式为y=ar2+/»+c,

144a-12b+c=-4

100a_10b+c=0»

16a-4b+c=0

1

解得，b=4'

2

c=-10

••y=--x2,--x-10,

42

--x2-2.-io=-Aa+7)2-31

y=x

4244

・•・抛物线的对称轴为直线工=-7,

设。（・7,力,

*'•AC=4y[2,AQ=yjg+^2,CQ=d49+(t-4)2，

当AC=AQ时，4V2=V9+t2>

解得/=A/9或/=V23»

:.Q(-7,V23)或(・7,-V23)：

当AC=CQ时，4V^=449+(54)2,

此时不存在；

当AQ=CQ时，^9+t2=V49+(t-4)2,

解得f=7,

:.Q（-7,7）；

综上所述：。点坐标为（-7,V23）或（-7,-V23）或（-7,7）.

【例4】（2022秋•法库县期中）如图I所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形A8CO是菱形，

点A的坐标为（-3,4）,点（在工轴正半轴上，直线AC交y轴于点M.连接AM,A4边交y轴于点儿

（1）求何〃的长；

（2）如图2所示，动点户从点A出发，沿折线.A-8-C方向以每秒1个单位的速度向终点。匀速运

幼，设△PMB的面积为S（SW0）,点P的运动时间为/秒，求S与l之间的函数关系式；

（3）在（2）的情况下，当点尸在线段A8上运动时，是否存在以8M为腰的等腰三角形？如存在，直

接写出才的值；如不存在，说明理由.

图1图2

【分析】(1)由A点的坐标，利用勾股定理和菱形的性质易得点。的坐标，由4,C的坐标可得直线AC

的解析式：令x=0,解得y,得0M的长，可求出M”；

(2)设点M到8c的距离为力，由△A8C的面积易得〃，利用分类讨论的思想，三角形的面积公式①当

P在直线AB上运动；②当P运动到直线BC上时分别得△尸的面积；

(3)分三种情况讨论：①当时，PH=BH,解得/；②当时，利用勾股定理可得8M

的长，易得

【解答】解：(I)•・,点A的坐标为(・3,4),

・・・0A=5,即C点的坐标为(5,0),

设直线AC的解析式为尸去+人则|-3k+b=4,

l5k+b=0

解得:]2,

・,・直线AC的解析式为：产总x卷

令x=0得：y=区，

2

即OM=—,

2

・・・M”=4-下■二二

22

(2)设点M到8c的距离为人,

由SMBC=SMBM+S^BCM,

-PyX5X4=yX5X-|-^X5Xh

2

①当P在直线AB上运动时△P8M的面积为S与P的运动时间为t秒关系为:

S=1(5-z)x3,即S=(°WfV5)；

224X4

②当。运动到直线3c上时△户的面积为S与P的运动时间为/秒关系为:

S=—[5-(10-r)X*,即(54W10)；

2244

・・・S与，之间的函数关系式为s=,

（3）存在①当M8=MP时,

•・•点A的坐标为（-3,4）,AB=5,MB=MP,MH±AB,

:・PH=BH,即3-f=2,

:・t=1;

②当3M=4。时，即5-/=J（4-1~）2+22,

解得：片与.

2

综上所述，当，=1或二时，△PM8为以为腰的等腰三角形.

2

培优训练

一.解答题

1.在矩形A8C。中，AB=3,AQ=4,E为对角线AC上的一个动点.

（1）如图①，连接BE作EF_L3£交线段DC于点F,理的值：

EF

（2）如图②，连接DE,作交射线BC于点F.

①设。〃=y,AE=x,当点尸在线段8C上时，求），与x之间的函数关系式;

②当为等腰三角形时，求AE的长.

备用图

【分析】（1）过点E作PQJ_AB,分别交A3、CQ于尸、Q,则四边形尸BCQ是矩形，BP=CQ,证明△

CEQ^ACAD,可得&Q图，则空皿0=1,再证明△BEPS/XEFQ,利用相似三角形的性质即

CDADEQEQAD4

可求解；

（2）①点七作MMLBC,分别交AO、4c于M、N,可证明△AMES/XA。。，可用x表示出何。和ME,

进一步可证明可找到），与x之间的关系式；

②分点b在线段4c上和在线段8C的延长线上，当点厂在线段8c上时，可证明△。£尸且/\。。凡可得

到。尸_LAC,可求得HC,则可求得AE；当点尸在线段3c的延长线上时，可证明AO=AE,可求得AE

的长,则可得出x的值.

【解答】解：（1）过点E作P2_LA8,分别交A8、C。于P、Q,

•・•四边形ABC。是矩形，

AZADC==ZABC=ZBCD=90Q,AD=BC=4,AB=CD=3,AB//CD,

，四边形P/3CQ是矩形，EQ//AD,

・・・NBPE=NEQF=90°,BP=CQ,ACEQ^/\CAD,

•,•CQ=EQ，

CDAD

・BPJQJD二3

•百怎布丁

■:EFLBE,

：・NBEP=NFEQ=900,

•；NBPE=NEQF=90°,

AZBEP+ZPBE=90a,

.：/PBE=/QEF,

:•△BEPs^EFQ,

.BE=BP=2.

**EFEQI-

(2)①如图，过点七作MN_LBC,分别交A。、4c于〃、N,

•・•四边形4BCD是矩形，

AZADC=90°,且4。=4,CD=AB=3,

:.MN〃DC,

AAME<^AADC,

.AMMEAEPl1

ADCDAC

4Q

.*.AA7=—.r,A/E=—x,

55

4Q

：.MD=4-—x,NE=3-—.v,

55

VZDEF=90°,

；・/DEM+/FEN=9U0,

VZDME=9(r,

AZDEM+ZEDM=^°,

・•・ZEFN=ZEDM,

•：/DME=/ENF=90'：

:.丛DMESAENF,

4.T4-x-Q

,DMJE叩_J=5%x

••丽而‘、34NF

，：CF=BC-BN-NF,

4Q5

Ay=4--±.v--.v=4-—.v；

5204

②当点/在线段BC上时，如图，连接。F,交4c于点从

VZEF0900,

・•・当为等腰三角形时，则有FE=FC,

在RtADEF和RtADCF中，

EF=CF

"DF=DF，

/.RtADEF^RlADCF(HL),

:・/EFD=4CFD,

：,DFLAC,

A5MCD=—AC-D/7=—AD-CD,

22

・・・5Q”=4X3

.•・。”=色

5

・♦A"7AD2-DH2黑,

169

：.HC=AC-AH=5--

55?

Q7

••・A£=5-2HC=5-3X2='；

55

当点尸在BC的延长线上时，如图,延长DE交BCFH,

AD

口

BHCF

VZECF>90°,

二当为等腰三角形时，则有。七=。尸，

•:NFEH=90。,CE=CF,

：.ZF=ZCEF,

・•・ZF+ZEHC=NHEC+NCEF=90°,

:・/EHC=/HEC,

'：AD//BC,

工NADE=NCHE,ZAED=NCEH,

：.ZADE=ZAED,

：.AE=AD=4；

综上可知当为等腰三角形时，x的值为4或4.

2.（2022春•惠山区期中）如图1,在△A8C中，AB=BC=5,AC=8.延长8C到Q,使得CO=8C,以

AC、C。为邻边作平行四边形ACQE,连接BE交AC于点O.

（1）求证：四边形4BCE为菱形；

（2）如图2,点尸是射线上一动点（不与点8、C、。重合），设8尸=乂连接尸。并延长，延长线

交直线AE于点Q.

①以P、Q、E、D四点围成的四边形面积记为5,求5与X的函数关系式；

②当△POC为等腰三角形时，求x的值.

图1图2

【分析】3）证明四边形八8CE为平行四边形，根据菱形的判定得出即可；

（2）①分三种情况：I点。在线段BC上时，首先过七作交8。于凡则NEFB=90°,证出

4QOEW4POB,利用QE=/3P,得出四边形的面积为定值；II点。在线段C。上时，同I可得

四边形PQED的面积为定值：III点P在线段BD的延长线上时，根据梯形的面积公式求解即可；

②分三种情况：IOP=OC时，IIOC=。P时，IIIOP=CP时，利用等腰三角形的性质即可求解.

【解答】（1）证明：•・•四边形ACOE是平行四边形，

：.AE=CD,AE//CD,

•：CD=BC,

：.AE=BC,AE//BC,

・•・四边形4BCE为平行四边形,

,：AB=BC=5,

・•・四边形4BCE是菱形；

（2）解：①分三种情况：

I点P在线段8c上时，过E作交于R则NE/由=90°,

•・•四边形4BCE是菱形,

:・AE〃BC,OB=OE,OA=OC,OC1OB,

VAC=8,

・・・OC=4,

,:BC=5,

：.OB=3,sinZOBC=~—.

BC5

:・BE=6,

424

EF=BE*sinZOBC=6X3=0,

55

,:AE〃BC,

/.Z1AEO=NCBO,四边形PQED是梯形,

在△QOE和△POB中，

rZAE0=ZCB0

OE=OB，

ZQ0E=ZP0B

:・AQOE@APOB(ASA),

:.QE=BP,

/.S梯形PQED=—(QE+DP)9EF

2

=—(BP+DP)XEF

2

=­XBDXEF

2

=—X2^CX£F

2

=BCXE卜

=5Xf

=24：

I【点夕在线段CO上时,

同I可得：四边形PQED的面积为24；

III点P在线段8。的延长线上时，以P、Q、E、。四点围成的四边形为梯形POQE,

,：BP=x.BD=2BC=\Q,

：.PD=x-10,

在△QOE和中，

2AEO=NCBO

<OE=OB，

ZQ0E=ZP0B

:.AQOEgAPOB(ASA),

:.QE=BP=x,

・二S梯形?/)。£=2(QE+DP)*EF

2

=—(x+x-10)X型

25

-24；

24(0<x<10)

综上，S与x的函数关系式为S=<

舍x-24(x>10)

D

②解：△POC为等腰三角形，分三种情况:

IOP=OC时，如图，点P不在射线8c上，故此种情况不存在:

ncc=c尸时,如图,

•；OC=4,BC=CD=5,

：,PC=P'C=4,

/.BP=5-4=1,BP'=5+4=9,

・・・x的值为1或9；

1I1OP=C尸时，如图，过点尸作PH_LOC于H,

VOB=3,BC=5,OC=4,

：.CH=OH=2,

CH_OC_4

PC-BC'5

2

：.BP=5--=—.即x的值为苴;

222

综上，x的值为1或9或

3.（202（）秋•浦东新区校级期末）已知：如图，在△A8C纸片中，AC=3,BC=4,AB=5,按图所示的方

法将△ACO沿A。折叠，使点。恰好落在边A3上的点C'处，点P是射线A3上的一个动点.

（1）求折痕AQ长.

（2）点户在线段A8上运动时，设AP=x,DP=y.求），关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域.

（3）当尸。是等腰三角形时，求A尸的长.

【分析】（1）由翻折可知：CD=DC‘，AC=ACr=3,设CO=OC'=x,在中，根据8。?

=CD2+Cf炉,构建方程即可解决问题.

（2）利用勾股定理即可解决问题.

（3）分三种情形：®PA=PD,®AP=AD,③当PZ）=A。时，分别求解即可.

【解答】解：（I）如图I中，

由翻折可知：CD=DC,AC=AC=3,设CO=DC'=x,

在RtaBOC中，VBD2=C,D2+CB2,

(4-x)2=X1+21,

解得x=-1，

2

AD=7AC2+DC2=^32+(y)2-.

(2)如图2中，当点P在CZ)左侧，AC=4C=3,则PC=3-x,

7DP=Vc/D2+PCy2,

*,•（y）2+（3-x）2=X2-6X+^-（°WxW10）.

当点〃在CD右侧，同理可得），=，乂2-6乂号（OWxWlO）.

・•・），关于"勺函数解析式为尸Jx2-6x号（0＜启10）.

（3）如图3中，

D

图3

①当/%=尸。时，设FA=FD=m,

在RtZ\PC。中，*：PD2=DC2+CfP2,

/.m2=(―)2+(3-tn)2,

2

解得加=竽，

8

②当人。=人，=多而时，是等腰三角形,

③当PD=AZ）时，点尸在48的延长线上.如图4,

图4

AP=2AC=6.

综上所述，满足条件的PA的值为与或条而或6.

82

4.（2022春•厦门期末）如图，已知△ABC中，AC=243,BC=4«,AB=6,点尸是射线CB上一点（不

与点9重合），石尸为的垂直平分线，交PBF点F,交射线于点E,联结PE、AP.

（1）求N8的度数;

（2）当点。在线段C/3上时，设3E=x,AP=yt求），关于』的函数解析式，并写出函数的定义域;

（3）当△AP3为等腰三角形时，请直接写出4£的值.

【分析】（1）先根据勾股定理逆定理判断出△48C是直角三角形，再由从。=工3。即可得出答案：

2

（2）作ADJ_8C,垂足为点D由直角三角形30°角所对边等于斜边一半知AO=2A8=3,EF=^-BE

22

=工工，求出CP和4。的长，由勾股定理可得出答案；

2

（3）分三种情况画出图形，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案.

【解答】解：（1）在△ABC中，

，：AC=2屈,8C=4«,48=6,

Z.AC2+/1B2=48,8c2=48,

：.AC2+AB2=BC2.

・・・/B4C=90°.

又［4。=2«,8。=4«,

：.AC=—BC,

2

・・・NB=30°.

在ZkADB中，NAOB=90°,ZB=30°,

：.AD=-AB=3,

2

同理，EF=—BE=—x.

22

在中，EF2+FB2=EB1,即(—x)2+B户=，,

2

:.BF=®X,

2

乂;BP=2B卜,

:・BP=gx.

:.CP=CB-PB=4近-V3x»

・.・CQ=£AC=«,

:,DP=4氏-V3A-V3=3V3-V3x,

：•AP=VDA2+DP2=732+(3V3-VSX)2=73X2-6X+36(0VxW4),

・・・y关于x的函数解析式为y=N3X2-6X+36(。V-4)；

(3)如图2,当点P在线段CB上时，AP=PB,

过点尸作PM_LAB于点M,

则8%=工研=3,

2

・・・9=2心

由(2)可知2日=正工，

:,BE=2,

・・・A£=4；

如图3,当点P在线段8c上，且A8=P8=6,

A

CP\FB

图3

：,BF=LPB=3,

2

:・BE=2版,

AAE=6-2V3；

如图4,当点P在射线CB上时，BA=3P=6,

同理可求出BE=2q

：.AE=6+2y[3.

综合以上可得，AE的长为4或6・2立或6+2«.

5.（2020秋•郸都区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=履+〃与x轴交于点A,与），轴交于点

B,已知OA=O8=6,点P是第一象限内在直线A8上一一点.

（1）直接写出k,〃的值：

（2）设尸（x,>-）,求△。以的面积S与x的函数解析式；

（3）当△PO4是等腰三角形，求点P的坐标.

【分析】（1）将点A,点B坐标代入解析式可求解；

（2）过点P作尸”_LOA于"，先求出〃〃的长，由三角形的面积公式可求解;

(3)分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解.

【解答】解：(1),・,04=03=6,

・,•点4(6,0),点3(0,6),

/fb=6

'l0=6k+b

.fk=-l

'lb=6

:・k=-1,b=6；

(2)如图，过点P作于〃,

'・•点P(x,y)是第一象限内在直线y=-x+6上一点.

:,PH=-x+6(0<x<6),

AS=—XOAXPH=—X6X：r+6)=-3x+18(0<x<6)；

22

(3)•・•("=OB,ZAOB=W,

：.ZOAB=ZOBA=^50,

若OP=%时，

又•：PHLOA,ZBAO=45°,

/.OH=HA=3,ZHR\=ZPAH=45°,

:・AH=PH=3,

・,•点P(3,3)；

若OA=AP=6时，

VPHLOA,NBAO=45°,

.•・N〃F=NF4=45°,

:.AH=PH=3心

••・。”=6・3&,

；・点P(6-3V2，3近)，

综上所述：点尸坐标为(3,3)或(6-3^2).

6.(2021•永嘉县校级模拟)如图1,在△A3C中，NAC8=90",AC=3,BC=4,DBLBC于点、B,E,F,

G分别在AC,BC,AC的延长线上，连接8G,E”的延长线分别交8G,DB于点、K,H.已如CE,CF,

CG的长度分别为3r,434t(0</<1).

(1)求证：HB=EA.

(2)设)，=迎.

-FE

①求y关于/的函数表达式.

②当AHBK为等腰三角形时，求所有满足条件的1y的值.

(3)如图2,过点F作FP〃/1C交A3于点P,连接KP交8产于点M.记△KPR四边形E/,#4的面枳

分别为Si,S2.当tan/K尸8=2时，求2的值.

【分析】(1)根据相似三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质解答即可;

(2)①根据勾股定理和相似三角形的性质解答即可；

②根据勾股定理和等腰三角形的性质分三种情况解答即可；

(3)根据面积公式解答即可.

【解答】证明：(I)•・・NACB=90°,DBLBC,

：.BH//AC,

・.•雪②，且NEC7?=NAC8,

CFCB

・•・AACBSAECF,

：.ZFEC=ZBAC,

:.HEHBA,

'：BH//AC,HE//BA,

・••四边形八£7〃6为平行四边形.

：.HI3=EA；

由（1）可知K£〃ZM,

:•△KGEs^BGA,

・KEGE

••,・二,

ABGA

.5t+KF7t

54t+3

4t+3

._KF7«4-4t

••y------=----------1=---------：

-FE3+4t3+4t

②△”8K为等腰三角形时，分以下情况,

(。)当HB=HK,

2R+

•:HB=AE=3-3/,HK=HE-KE=5-KF-FE=5-

4t+3

A3-3/=5--^江，

4t+3

・\f=2或y=H-或一』-,

41116

(b)当HB=BK,

♦：HB=BK,

：,ZBHK=ZBKH,

•・•ZBKH=ZGKF,ZBHE=/HEG，

1,NGKF=NHEG,

:,GK=GE,

：.G13=GA,

*,•Gli=yl(4t)^+42=GA=4+3,

“工厂工

24100

(c)当HK=BK,贝l]GK=EK,—=^-,

EKAB

：.AB=BG,

A5=V(4t)2+42>

・・.f=2或-2(舍去),

44

/•y=--

16

综上所述，y=；

(3)如图2,tanZKPI3=—,tnnZBPF=tanZBAC=~—,

133t3

49

tanNBPF-tan/KPB二号下二1

AlanZKPF=tan(ZBPF-NKPB)l+tanZBPFnanZKPB=9_4"3

91

・•・S1:Sp=PF・PF・tanZKPF=(3-3t)X年，

AKFo

(3-3/)X4/,

7.（2020秋•伊通县期末）如图，在矩形ABC。中，AB=\0cm,BC=20cm,动点E、尸同时从点8出发，

分别沿84、8c的方向向终点A、终点。运动，点E的速度是1c〃内，点尸的速度是2c〃而，当一点到达

终点后，两点同时停止运动，设运动时间为/（s）,四边形D4E产的面积为S

（1）求5与/的函数关系式；

（2）当△/）/?尸为等腰三角形时，求/的值.

【分析】（1）根据矩形和三角形面积公式解答即可;

（2）根据勾股定理和等腰三角形的性质分三种情况解答即可.

【解答】解：（1）由题可知：BE=f,BF=2i,CF=20-2r,AE=\O-t,

；・S=Sm^ABCD-S^BEF-S^CDF

=10X20-tX2t-yX10X（20-2t）

=-Aioz+ioo；

（2）由勾股定埋可得：EF2=BE2+13F2=t2+⑵）2=5r,

DF2=CD2+CF2=\O2+（20-2.02=4尸・8O/+5OO,

DE1=AE2+AD2=（10-r）2+202=r-20r+500,

①当DE=O/时，DE^=D户,

即r-20r+500=4?-8O/+5OO,

解得：八=0,9=20,都不符合题意，舍去，

②当/时，DE2=EF2,

即z2-20/+500=5r2,

解得：.=-5-5伍（不符合题意,舍去），七+5历,

3242

③当£产=。”时，EF2=DF2,

即5r=4r-8O/+5OO,

解得：，t6=-10伤-40（不符合题意，舍去），

综上所述，当△。七尸为等腰三角形时，t；5+5产或,10加1依.

8.（2020秋•东城区校级月考）如图，在△ABC中，AB=4cnuBC=5cm,P是标上的动点，设4,P两点、

旬的距离为wm,8,P两点间的距离为户C,P两点间的距离为y2cm.

小腾根据学习函数的经验，分别对函数户，户随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小腾

的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了户，*与入•的儿组对应值；

x/cm01234

yi/cm4.003.693.09（答案不2.130

唯一）

yz/cm3.0()3.914.715.235

（2）在同一平面直角坐标系X。,，中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（X,户），点（X,>2），并

画出函数V，）2的图象；

（3）结合函数图象，

①当△PBC为等腰三角形时，4P的长度约为0.83或2.49（答案不唯一）

②记AB所在圆的圆心为点O,当直线PC恰好经过点。时，PC的长度约为5.32（答案不唯一）

【分析】（1）利用图象法解决问题即可；

（2）描点绘图即可；

（3）①分PB=PB、PC=BC、三种情况，分别求解即可；

②当直线PC恰好经过点。时，PC的长度取得最大值，观察图象即可求解.

【解答】解：（1）由画图可得，x=2时,y1^3.09（77?（答案K唯一）.

故答案为：3.09（答案不唯一）.

（2）描点绘图如下:

（3）①由yi与”的交点的横坐标可知，x»0.83o〃时，PC=PB,

当x^2.49cm时，”=5（切，BPPC=BC,

观察图象可知，P8不可能等于BC,

故答案为:0.83或2.49（答案不唯一）.

②当直线PC恰好经过点。时，PC的长度取得最大值，从图象看，PC=y2^5.32cm,

故答案为5.32（答案不唯一）.

9.（2020•西城区一模）如图，在AABC中，AB=4cm,BC=5cm.P是标上的动点，设A,P两点间的距

离为xcm,8,P两点间的距离为yi,C,尸两点间的距离为y2cm.

小腾根据学习函数的经验，分别对函数>2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（I）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了户，心与x的几组对应值：

x/cm01234

y\/cm4.003.693.09（答案不2.130

唯一）

yi/cm3.003.914.715.235

（2）在同一平面直角坐标系X。7中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（X,户），点（X,>,2）,并

画出函数户，J2的图象；

（3）结合函数图象，

①当△PBC为等腰三角形时，4尸的长度约为0.83或2.49（答案不唯一）

②记标所在圆的圆心为点。，当直线PC恰好经过点。时，PC的长度约为5.32（答案不畦•）cm.

【分析】（1）利用图象法解决问题即可；

（2）描点绘图即可；

（3）①分PB=PB、PC=BC、三种情况，分别求解即可；

②当直线PC恰好经过点。时，PC的长度取得最大值，观察图象即可求解.

【解答】解：（1）由画图可得，戈=2时，），123.09。〃（答案天唯一）.

故答案为:3.09（答案不唯一）.

（2）描点绘图如下:

（3）①由），1与户的交点的横坐标可知，.产”）.83的时，PC=PB,

当x=2.49。%时，”=5。〃，即。C=8C,

观察图象可知，PB不可能等于BC,

故答案为：0.83或2.49（答案不唯一）.

②当直线PC恰好经过点。时，PC的长度取得最大值，从图象看，PC=y2^532cm,

故答案为5.32（答案不唯一）.

10.（2020•长春模拟）如图，抛物线y=-/+/u-+c与x轴交于点A（1,0）、B（3,0）（点A在点8的左边），

与y轴交于点C,过点。作C7）〃x轴，交抛物线于点。，过点。作。E〃y轴，交直线BC于点E,点P

在抛物线上，过点F作FQ〃y轴交直线CK于点Q,连接FO,设点F的横坐标为〃】，PQ的长为乩

（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）求直线BC的函数表达式；

（3）当0VmV4时，求d关于〃?的函数关系式；

（4）当△PQ8是等腰三角形时，宜接写出〃?的值.

【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；

（2）先求出点C坐标，利用待定系数法可求解析式；

（3