【优化方案】2021高考数学(人教版)一轮复习学案41-空间几何体的表面积与体积

学案41空间几何体的表面积与体积导学目标：1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式.2.了解球、柱、锥、台的体积的计算公式.3.培育同学的空间想象力气、规律推理力气和计算力气，会利用所学公式进行必要的计算.4.提高生疏图、理解图、应用图的力气．自主梳理1．多面体的表面积(1)设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则S直棱柱侧＝______.(2)设正n棱锥底面边长为a，底面周长为c，斜高为h′，则S正棱锥侧＝____________＝____________.(3)设正n棱台下底面边长为a，周长为c，上底面边长为a′，周长为c′，斜高为h′，则S正棱台侧＝__________＝____________.(4)设球的半径为R，则S球＝____________.2．几何体的体积公式(1)柱体的体积V柱体＝______(其中S为柱体的底面面积，h为高)．特殊地，底面半径是r，高是h的圆柱体的体积V圆柱＝πr2h.(2)锥体的体积V锥体＝________(其中S为锥体的底面面积，h为高)．特殊地，底面半径是r，高是h的圆锥的体积V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h.(3)台体的体积V台体＝______________(其中S′，S分别是台体上、下底面的面积，h为高)．特殊地，上、下底面的半径分别是r′、r，高是h的圆台的体积V圆台＝eq\f(1,3)πh(r2＋rr′＋r′2)．(4)球的体积V球＝__________(其中R为球的半径)．自我检测1．已知两平行平面α，β间的距离为3，P∈α，边长为1的正三角形ABC在平面β内，则三棱锥P—ABC的体积为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(3),4)2．(2011·唐山月考)从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—BCD，则它的表面积与正方体表面积的比为()A.eq\r(3)∶3 B.eq\r(2)∶2C.eq\r(3)∶6 D.eq\r(6)∶63．设三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且PA＝QC1，则四棱锥B—APQC的体积为A.eq\f(1,6)V B.eq\f(1,4)VC.eq\f(1,3)V D.eq\f(1,2)V4．(2011·平顶山月考)下图是一个几何体的三视图，依据图中数据，可得该几何体的表面积是()A．9π B．10πC．11π D．12π5．(2011·陕西)某几何体的三视图如下，则它的体积是()A．8－eq\f(2π,3) B．8－eq\f(π,3)C．8－2π D.eq\f(2π,3)探究点一多面体的表面积及体积例1三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为3，一条侧棱与底面相邻两边都成60°角，求此棱柱的侧面积与体积．变式迁移1(2011·烟台月考)已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都等于2，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则三棱柱的侧面面积为________探究点二旋转体的表面积及体积例2如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积(其中∠BAC＝30°)及其体积．变式迁移2直三棱柱ABC—A1B1C1的各顶点都在同一球面上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于________探究点三侧面开放图中的最值问题例3如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，CC1＝c，并且a>b>c>0.求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长．变式迁移3(2011·杭州月考)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝eq\r(2).P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是________．1．有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．2．当给出的几何体比较简洁，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不简洁，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可接受“割”、“补”的技巧，化简洁几何体为简洁几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题供应便利．(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体依据结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算便利，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些状况下，可以将台体补成锥体争辩体积．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．48 B．32＋8eq\r(17)C．48＋8eq\r(17) D．802．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是eq\f(32π,3)，则这个三棱柱的体积是()A．96eq\r(3) B．16eq\r(3) C．24eq\r(3) D．48eq\r(3)3．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，长为定值的线段EF在棱AB上移动(EF<a)，若P是A1D1上的定点，Q是C1D1上的动点，则四周体P—QEF的体积是A．有最小值的一个变量B．有最大值的一个变量C．没有最值的一个变量D．一个不变量4．(2010·全国)设三棱柱的侧棱垂直于底面，全部棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2 B.eq\f(7,3)πa2C.eq\f(11,3)πa2 D．5πa25．(2011·北京)某四周体的三视图如图所示，该四周体四个面的面积中最大的是()A．8 B．6eq\r(2) C．10 D．8eq\r(2)二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·马鞍山月考)如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________．7．(2011·淄博模拟)一块正方形薄铁片的边长为4cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm8．(2011·四川)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·佛山模拟)如图组合体中，三棱柱ABC—A1B1C1的侧面ABB1A1C是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点．当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1—BCC1B1与圆柱的体积比．10．(12分)(2011·抚顺模拟)如图，四周体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC⊥AD；(2)试问该四周体的体积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时棱长AD的大小；若不存在，说明理由．11．(14分)(2011·锦州期末)如图，多面体ABFEDC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点．(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求多面体A—CDEF的体积．学案41空间几何体的表面积与体积自主梳理1．(1)ch(2)eq\f(1,2)nah′eq\f(1,2)ch′(3)eq\f(1,2)n(a＋a′)h′eq\f(1,2)(c＋c′)h′(4)4πR22.(1)Sh(2)eq\f(1,3)Sh(3)eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS′)＋S′)(4)eq\f(4,3)πR3自我检测1．D[由题意，S△ABC＝eq\f(\r(3),4)，三棱锥的高h＝3，∴V三棱锥P—ABC＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(\r(3),4).]2．A[设正方体棱长为a，则正四周体棱长AB＝eq\r(2)a，∴S正四周体表＝4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝2eq\r(3)a2.∵S正方体表＝6a2，∴四周体的表面积与正方体表面积的比为eq\r(3)∶3.]3．C4.D[据三视图可知该几何体由球和圆柱体组成，如图所示，故该几何体的表面积为S＝S圆柱＋S球＝2π＋6π＋4π＝12π.]5．A[由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V＝23－eq\f(1,3)×π×2＝8－eq\f(2π,3)，故选A.]课堂活动区例1解题导引对于斜棱柱表面积及体积的求解必需求各个侧面的面积和棱柱的高．解决此类斜棱柱侧面积问题的关键：在已知棱柱高的条件下，用线面垂直⇒线线垂直的方法作出各个侧面的高，并在相应的直角三角形中求解侧面的高．解如图，过点A1作A1O⊥面ABC于点O，连接AO.过点A1作A1E⊥AB于点E，过点A1作A1F⊥AC于点F，连接EO，FO，易得OE⊥AB，OF⊥∵AA1和AB与AC都成60°角，∴△A1AE≌△A1AF，∴A1E＝A1F∵A1O⊥面ABC，∴EO＝FO.∴点O在∠BAC的角平分线上，延长AO交BC于点D，∵△ABC是正三角形，∴BC⊥AD.∴BC⊥AA1.∵AA1∥BB1，∴侧面BB1C∴三棱柱的侧面积为S＝2×3×4×sin60°＋3×4＝12＋12eq\r(3).∵AA1＝3，AA1与AB和AC都成60°角，∴AE＝eq\f(3,2).∵∠BAO＝30°，∴AO＝eq\r(3)，A1O＝eq\r(6).∴三棱柱的体积为V＝eq\f(\r(3),4)×16×eq\r(6)＝12eq\r(2).变式迁移12eq\r(7)＋4解析如图所示，设D为BC的中点，连接A1D，AD.∵△ABC为等边三角形，∴AD⊥BC，∴BC⊥平面A1AD，∴BC⊥A1A又∵A1A∥B1B，∴BC⊥B1又∵侧面与底面边长都等于2，∴四边形BB1C作DE⊥AB于E，连接A1E，则AB⊥A1E，又∵AD＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，DE＝eq\f(AD·BD,AB)＝eq\f(\r(3),2)，∴AE＝eq\r(AD2－DE2)＝eq\f(3,2)，∴A1E＝eq\r(AA\o\al(2,1)－AE2)＝eq\f(\r(7),2)，∴S四边形ABB1A1＝eq\r(7)，∴S三棱柱侧＝2eq\r(7)＋4.例2解题导引解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的外形，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算．求全面积时不要遗忘“内表面”．解如图所示，过C作CO1⊥AB于O1，在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝eq\r(3)R，BC＝R，CO1＝eq\f(\r(3),2)R，∴S球＝4πR2，S圆锥AO1侧＝π×eq\f(\r(3),2)R×eq\r(3)R＝eq\f(3,2)πR2，S圆锥BO1侧＝π×eq\f(\r(3),2)R×R＝eq\f(\r(3),2)πR2，∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧＝eq\f(11,2)πR2＋eq\f(\r(3),2)πR2＝eq\f(11＋\r(3),2)πR2，∴旋转所得到的几何体的表面积为eq\f(11＋\r(3),2)πR2.又V球＝eq\f(4,3)πR3，V圆锥AO1＝eq\f(1,3)·AO1·πCOeq\o\al(2,1)＝eq\f(1,4)πR2·AO1，V圆锥BO1＝eq\f(1,3)BO1·πCOeq\o\al(2,1)＝eq\f(1,4)πR2·BO1，∴V几何体＝V球－(V圆锥AO1＋V圆锥BO1)＝eq\f(4,3)πR3－eq\f(1,2)πR3＝eq\f(5,6)πR3.变式迁移220π解析在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，可得BC＝2eq\r(3)，由正弦定理，可得△ABC外接圆的半径r＝2，设此圆圆心为O′，球心为O，在Rt△OBO′中，易得球半径R＝eq\r(5)，故此球的表面积为4πR2＝20π.例3解题导引本题可将长方体表面开放，利用平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答．解将长方体相邻两个面开放有下列三种可能，如图所示．三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为：eq\r(a＋b2＋c2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋2ab)，eq\r(a2＋b＋c2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋2bc)，eq\r(a＋c2＋b2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋2ac)，∵a>b>c>0，∴ab>ac>bc>0.故最短线路的长为eq\r(a2＋b2＋c2＋2bc).变式迁移35eq\r(2)解析将△BCC1沿BC1线折到面A1C1B上，如图所示连接A1C即为CP＋PA1的最小值，过点C作CD垂直A1C1延长线交于D，△BCC∴CD＝1，C1D＝1，A1D＝A1C1＋C1∴A1C＝eq\r(A1D2＋CD2)＝eq\r(49＋1)＝5eq\r(2).课后练习区1．C[由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为eq\r(42＋12)＝eq\r(17).所以S表＝42＋2×4＋eq\f(1,2)×(2＋4)×4×2＋4×eq\r(17)×2＝48＋8eq\r(17).]2．D[由eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3)，∴R＝2.∴正三棱柱的高h＝4.设其底面边长为a，则eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),2)a＝2，∴a＝4eq\r(3).∴V＝eq\f(\r(3),4)×(4eq\r(3))2×4＝48eq\r(3).]3．D4.B5．C[将三视图还原成几何体的直观图如图所示．它的四个面的面积分别为8,6,10,6eq\r(2)，故最大的面积应为10.6．6eq\r(7)解析取底面中心为O，AF中点为M，连接PO、OM、PM、AO，则PO⊥OM，OM⊥AF，PM⊥AF，∵OA＝OP＝2，∴OM＝eq\r(3)，PM＝eq\r(4＋3)＝eq\r(7).∴S侧＝6×eq\f(1,2)×2×eq\r(7)＝6eq\r(7).7.eq\f(\r(15),3)π解析围成圆锥筒的母线长为4设圆锥的底面半径为r，则2πr＝eq\f(1,4)·2π×4，∴r＝1，∴圆锥的高h＝eq\r(42－12)＝eq\r(15).∴V圆锥＝eq\f(1,3)·πr2·h＝eq\f(\r(15),3)π(cm3)．8．2πR2解析方法一设圆柱的轴与球的半径的夹角为α，则圆柱高为2Rcosα，圆柱底面半径为Rsinα，∴S圆柱侧＝2π·Rsinα·2Rcosα＝2πR2sin2α.当sin2α＝1时，S圆柱侧最大为2πR2，此时，S球表－S圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2.方法二设圆柱底面半径为r，则其高为2eq\r(R2－r2).∴S圆柱侧＝2πr·2eq\r(R2－r2)，S′圆柱侧＝4πeq\r(R2－r2)－eq\f(4πr2,\r(R2－r2)).令S′圆柱侧＝0，得r＝eq\f(\r(2),2)R.当0<r<eq\f(\r(2),2)R时，S′>0；当eq\f(\r(2),2)R<r<R时，S′<0.∴当r＝eq\f(\r(2),2)R时，S圆柱侧取得最大值2πR2.此时S球表－S圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2.方法三设圆柱底面半径为r，则其高为2eq\r(R2－r2)，∴S圆柱侧＝2πr·2eq\r(R2－r2)＝4πeq\r(r2R2－r2)≤4πeq\f(r2＋R2－r2,2)＝2πR2(当且仅当r2＝R2－r2，即r＝eq\f(\r(2),2)R时取“＝”)．∴当r＝eq\f(\r(2),2)R时，S圆柱侧最大为2πR2.此时S球表－S圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2.9．解设圆柱的底面半径为r，母线长为h，当点C是弧的中点时，三角形ABC的面积为r2，三棱柱ABC—A1B1C1的体积为r2h，三棱锥A1—ABC的体积为eq\f(1,3)r2h，四棱锥A1—BCC1B1的体积为r2h－eq\f(1,3)r2h＝eq\f(2,3)r2h，圆柱的体积为πr2h，(10分)故四棱锥A1—BCC1B1与圆柱的体积比为2∶3π.(12分)10．(1)证明取BC的中点E，连接AE，DE，EF，