【同步辅导】2021高中数学北师大版必修四导学案：《任意角的正弦函数、余弦函数的定义与周期性》

第3课时任意角的正弦函数、余弦函数的定义与周期性1.理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义.2.把握任意角的正弦函数、余弦函数的定义,能利用角α的终边与单位圆的交点坐标写出正弦函数值与余弦函数值.把握特殊角的正弦、余弦函数值.3.理解并把握终边相同的角的正弦、余弦函数值相等.4.了解周期函数的定义,并能简洁应用.在学校由于学习的学问不够深化和认知的差异,为了便于理解锐角三角函数的概念,我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形,利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数),但这种定义明显不适应任意角的三角函数的定义,这节课我们将要探寻任意角的三角函数的本质是什么?并能对任意角的三角函数给出一个科学合理的定义.问题1:一般地,在直角坐标系中(如图),对任意角α,它的终边与圆交于点P(a,b),则比值br叫作角α的,记作:sinα=br;比值ar叫作角α的,记作:cosα=ar当r=1时,任意角α的终边与单位圆交于点P(a,b),我们可以唯一确定点P(a,b),点P的纵坐标b是的函数,称为函数,记作:;点P的横坐标a是的函数,称为余弦函数,记作:.

通常我们用x,y分别表示自变量与因变量,将正弦函数表示为,正弦函数值有时也叫正弦值;将余弦函数表示为,余弦函数值有时也叫余弦值.

问题2:终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值,即若β=α+2kπ(k∈Z),则sinαsinβ,cosαcosβ.

问题3:正、余弦函数值的符号(1)表格表示象限三角函数第一象限其次象限第三象限第四象限sinα

cosα

问题4:周期函数的有关概念(1)一般地,对于函数f(x),假如存在常数T,对定义域内的任意一个x值,都有,我们就把f(x)称为周期函数,T称为这个函数的.

(2)正弦函数、余弦函数是周期函数,为正弦函数、余弦函数的周期.如-2π,2π,4π等都是它们的周期.其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个,称为.

1.若sinα<0,cosα>0,则α的终边(不含端点)在().A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知角α的终边经过点(-6,8),则cosα的值为().A.-35 B.35 C.-453.若点P在角2π3的终边上,且|OP|=2,则点P的坐标是4.在时钟钟面上,分针从如图位置开头顺时针走动,当分针走过1125°时,求分针针尖到分针起始位置OA的距离(即A'到OA的距离,设分针长为rcm).推断正弦、余弦函数值的符号推断下列各式的符号.(1)cos(-345°);(2)sin175°cos248°.周期函数的证明已知f(x+2)=-f(x),求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期.利用正弦函数、余弦函数的定义求值已知角α的终边在直线y=-34x上,求cosα-1sin若角α的终边落在直线y=-x上,求sinα|cosα若函数f(x)是以π2为周期的奇函数,且f(π3)=1,求f(-11π已知角α的终边经过点P(x,-2)(x≠0),且cosα=36x,求sinα+cosαsin1.sin2120°等于A.±32 B.32 C.-32 2.已知cosθ·sinθ<0,那么角θ是().A.第一或其次象限角 B.其次或第三象限角C.其次或第四象限角 D.第一或第四象限角3.求下列式子的值:(1)sin132π=;(2)cos405°=4.已知函数f(x)在其定义域上都有f(x+1)=-1f(x),求证:f(x)(2011年·江西卷)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sinθ=-255,则y=考题变式(我来改编):第3课时任意角的正弦函数、余弦函数的定义与周期性学问体系梳理问题1:正弦余弦a2+b2角α正弦y=sinα(α∈R)角αy=cosα(α∈R)y=sinx(x∈R)y=cosx(问题2:相同相同==问题3:正正负负正负负正问题4:(1)非零f(x+T)=f(x)周期(2)2kπ(k∈Z,k≠0)最小正周期基础学习沟通1.D∵sinα<0,∴α在第三、四象限及y轴的负半轴上,由cosα>0,可知α在第一、四象限及x轴的正半轴上,故α在第四象限.2.Acosα=xx2+y23.(-1,3)∵x=|OP|cos2π3=2×(-12)=-1,y=|OP|sin2π3=3.∴点P的坐标为(-4.解:1125°=360°×3+45°,d=rsin45°=22r(cm)重点难点探究探究一:【解析】(1)∵-345°=-360°+15°是第一象限角,∴cos(-345°)>0.(2)∵175°是其次象限角,248°是第三象限角,∴sin175°>0,cos248°<0,∴sin175°cos248°<0.【小结】熟记正弦、余弦函数值在各个象限内的符号是解决此类问题的关键,同时可结合图形挂念理解.探究二:【解析】∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期函数,且4是它的一个周期.【小结】一般地,对于函数f(x),假如存在非零实数T,使得对任意x都有f(x+T)=f(x),那么f(x)就是一个周期为T的周期函数,故解决此类问题的关键是找出周期T,并证明上述等式成立.探究三:【解析】求角α的正、余弦值关键是确定角α的终边上任一点的坐标,所以在角α的终边上取一点P(4,-3),则r=|OP|=x2+y2=于是sinα=yr=-35,cosα=xr所以cosα-1sinα=45+5[问题]上述解法全面吗?[结论]角α的终边在一条直线上时,要对角α的终边为射线y=-34x(x≤0)还是为射线y=-34x(x>0)于是,正确解答如下:①在角α的终边上取一点P1(4,-3).则r=|OP1|=x2+y2=于是sinα=yr=-35,cosα=xr∴cosα-1sinα=②在角α的终边上取一点P2(-4,3).则r=|OP2|=x2+y2=于是sinα=yr=35,cosα=xr∴cosα-1sinα=-45-5综上,cosα-1sinα的值为3715或【小结】(1)在角α的终边上取点,利用定义求sinα,cosα;(2)若终边落在直线上,则需分两种状况争辩.思维拓展应用应用一:当α的终边落在其次象限时,sinαcosα+sinαcosα=当α的终边落在第四象限时,sinαcosα+sinαcosα=sinαcosα+-应用二:∵f(x)是以π2为周期的奇函数∴f(-11π6)=-f(11π6)=-f(3×12π+π3)=-f应用三:∵P(x,-2)(x≠0),∴点P到原点的距离r=x2又cosα=36x,∴cosα=xx2∵x≠0,∴x=±10,∴r=23.当x=10时,P点的坐标为(10,-2),由三角函数的定义,有sinα=-223=-66,cosα∴sinα+cosαsinα=-66-当x=-10时,同理,可求得sinα+cosαsinα基础智能检测1.Bsin2120°=|sin2.C若cosθ>0,sinθ<0,则θ在第四象限;若cosθ<0,sinθ>0,则θ在其次象限.故选C.3.(1)1(2)22(1)sin132π=sin(π2+6