江苏省南京市2024-2025学年高一上学期期末学情调研数学试卷（含答案）

高一数学2025．01注意事项：1．本试卷包括单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第11题)、填空题(第12题~第14题)、解答题(第15题~第19题)四部分。本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上指定的位置。3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁UB)＝A．{3} B．{1，6} C．{5，6} D．{1，3}2．“a≠0”是“ab≠0”的A．必要且不充分条件B．充分且不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．函数f(x)＝lg(1－|x|)的定义域为A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．[－1，1]D．(－1，1)4．将函数y＝sin(x－)图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为A．y＝sin(x－)B．y＝sin(2x－)C．y＝sin(x－)D．y＝sin(2x－)5．已知cosα＝－，＜α＜π，则cos(＋α)的值为A．－B．－C．D．6．已知a＝log23，b＝sin，c＝3，则A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞b＞aD．c＞a＞b7．根据国际标准，室内二氧化碳浓度应不超过1000ppm，在这个范围内，室内空气质量良好，人体健康不受到影响．已知某室内二氧化碳浓度y(ppm)与开窗通风的时长t(分钟)之间的关系式为y＝500＋104λe－(λ∈R)．经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2000ppm，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为(参考数据：ln3≈1.099，ln5≈1.609)A．6分钟 B．8分钟 C．10分钟 D．12分钟8．若命题“x＞0，(ax－1)(x2－2ax－1)≥0”是真命题，则实数a的取值集合为A．{}B．{}C．{a|a≥}D．{a|0＜a≤}二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分．9．若a＞b＞0，则A．a3＞b3B．ab＜b2C．＋＞D．＋＜210．在平面直角坐标系xOy中，点A(－，)，角θ的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于点B(A，B不重合)，下列说法正确的是A．若cosθ＝－，则点A和点B关于x轴对称B．若cosθ＝，则点A和点B关于y轴对称C．若点A和点B关于直线y＝－x对称，则sinθ＝D．若OA和OB相互垂直，则tanθ＝11．函数f(x)满足：x∈R，f(x＋1)f(x)＝2．已知当x∈[0，1)时，f(x)＝2x，则A．f(1)＝1B．f(x)为周期函数C．f(x)为偶函数D．方程f(x)＝恰有3个解三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．12．已知函数f(x)＝loga(x＋2)(a＞0，a≠1)的图象经过定点P(m，n)，则m＋n＝．13．已知函数f(x)＝且f(2)＝，则α＝，使得f(x)＜成立的x的取值范围是．14．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)图象的一个对称中心是(－，0)，一条对称轴是直线x＝，且f(x)在区间(0，)上有且仅有两个零点，则ω＝．四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知6m＝2，6n＝5．（1）求62m－n的值；（2）用m，n表示log2015．16．（本小题满分15分）已知f(α)＝．（1）若sinα＋cosα＝，且0＜α＜π，求f(α)的值；（2）若f(α)＝，求sin2α－3sinαcosα的值．17．（本小题满分15分）已知函数f(x)的定义域为R，函数g(x)＝f(－x)－f(x)．（1）判断g(x)的奇偶性，并加以证明；（2）若f(x)＝3x．①用函数单调性的定义证明：g(x)在R上单调递减；②解关于x的不等式g(4x－9)＋g(6－2x＋1)＞0．18．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为(，2)，(，－2)．（1）求f(x)的解析式；（2）求f(x)在[0，π]上的单调增区间；（3）设m＞1，证明：函数g(x)＝f(mx)－mf(x)在(0，＋∞)上必有零点．19．(本小题满分17分)设函数f(x)在非空数集M上的取值集合为N．若NM，则称f(x)为M上的“T函数”．（1）判断f(x)＝sin2x是否为[，]上的“T函数”，并说明理由；（2）若f(x)＝log2(－1)为[a，b](a＜b)上的“T函数”，证明：a＋b＜2；（3）若存在实数b，使得f(x)＝(x－a)2＋b为[0，1]上的“T函数”，求实数a的取值范围．高一数学参考答案2025.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．B2．A3．D4．B5．D6．B7．C8．A二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分．9．AC10．ACD11．BCD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．12．－113．，(－∞，2)14．18四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）解：（1）62m－n＝＝； 5分（2）因为6m＝2，6n＝5，所以m＝log62，n＝log65． 7分从而log2015＝ 9分＝ 11分＝，因为log62＋log63＝1，所以log3615＝＝． 13分16.（本小题满分15分）（1）解法1：f(α)＝，因为sinα＋cosα＝，所以(sinα＋cosα)2＝，即2sinαcosα＝－， 2分从而(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝， 4分因为0＜α＜π，sinα＞0，又因为sinαcosα＜0，所以cosα＜0，因此sinα－cosα＞0，从而sinα－cosα＝， 6分故f(α)＝＝． 7分解法2：由sinα＋cosα＝及sin2α＋cos2α＝1， 2分解得sinα＝，cosα＝，或sinα＝，cosα＝， 4分因为＜α＜π，所以sinα＝，cosα＝，所以sinα－cosα＝， 6分因此f(α)＝＝＝． 7分（2）解法1：f(α)＝＝，所以2sinα＝－4cosα， 9分假设cosα＝0，则由上式知sinα＝0，与sin2α＋cos2α＝1矛盾，所以cosα≠0，从而tanα＝－2． 11分则sin2α－3sinαcosα＝＝ 14分＝＝2． 15分解法2：f(α)＝＝，所以sinα＝－2cosα，又sin2α＋cos2α＝1， 9分所以5cos2α＝1，即cos2α＝， 11分因此sin2α－3sinαcosα＝4cos2α＋6cos2α＝10cos2α 14分＝2． 15分17.（本小题满分15分）解：（1）g(x)是R上的奇函数．因为g(x)定义域为R，对于任意的x∈R，都有－x∈R，且g(－x)＝f(x)－f(－x)＝－g(x)， 3分所以g(x)是R上的奇函数． 4分（2）①g(x)＝－3x．任取x1，x2∈R，不妨设x1＜x2，g(x1)－g(x2)＝－3x1－＋3x2＝(3x2－3x1)(1＋)， 7分因为x1，x2∈R，x1＜x2，且函数y＝3x在R上单调递增，所以3x2－3x1＞0，1＋＞0，从而g(x1)－g(x2)＞0，即g(x1)＞g(x2)，因此g(x)在R上单调递减． 9分②因为g(4x－9)＋g(6－2x＋1)＞0，又g(x)是R上的奇函数，且单调递减，所以g(4x－9)＞g(2x＋1－6)，从而4x－9＜2x＋1－6， 12分解得－1＜2x＜3，所以不等式的解集为(－∞，log23)． 15分18．(本小题满分17分)解：（1）由题意，A＝2， 1分＝－＝，又ω＞0，所以＝，即ω＝2． 3分根据题意，当x＝时，sin(2×＋φ)＝1，从而＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，又－π＜φ＜0，故φ＝－． 5分所以f(x)＝2sin(2x－)． 6分（2）令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 8分则－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，即－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z． 10分故f(x)在[0，π]上的单调增区间为[0，]和[，π]． 12分（3）g(x)＝2sin(2mx－)－2msin(2x－)＝2[sin(2mx－)－msin(2x－)]，当m＞1时，则g(0)＝(m－1)＞0， 14分g()＝2[sin(－)－m]≤2(1－m)＜0， 16分又g(x)在(0，＋∞)上的图象是一条不间断的曲线，所以由零点存在性定理知，当m＞1时，函数g(x)＝f(mx)－mf(x)在(0，＋∞)上必有零点． 17分19．(本小题满分17分)解：（1）由x∈[，]，得2x∈[，]，所以sin2x∈[，1]，即f(x)的取值集合为[，1]， 2分因为[，1][，]，所以f(x)＝sin2x是为[，]上的“T函数”． 4分（2）因为f(x)＝log2(－1)为[a，b](a＜b)上的减函数，所以f(x)在[a，b]的取值集合为[f(b)，f(a)]， 5分因为f(x)为[a，b]上的“T函数”，所以[f(b)，f(a)][a，b]，因此f(b)≥a，f(a)≤b，即log2(－1)≥a，log2(－1)≤b， 7分所以(2a＋1)(2b＋1)≤9，(2a＋1)(2b＋1)≥9，从而(2a＋1)(2b＋1)＝9，即2a＋b＋2a＋2b－8＝0， 9分因为a＜b，所以0＝2a＋b＋2a＋2b－8＞2a＋b＋2×－8，解得＜2，即a＋b＜2． 11分（3）解法1：①若a≤0，则f(x