【全程复习方略】2020-2021学年高中数学(人教A版选修2-2)课时作业-2.3-数学归纳法

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十九)数学归纳法一、选择题(每小题3分，共18分)1.某同学回答“用数学归纳法证明n(n+1)<n+1(n∈N*)”的过程如下证明：①当n=1时，明显命题是正确的；②假设当n=k(k≥1，k∈N*)时，有k(k+1)<k+1，那么当n=k+1时，(k+1)2+(k+1)=k2+3k+2<k2+4k+4=(k+1)+1，所以当n=k+1时命题是正确的.由①②A.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设B.假设的写法不正确C.从k到k+1的推理不严密D.当n=1时，验证过程不具体【解析】选A.分析证明过程中的②可知，从k到k+1的推理过程中没有使用归纳假设，故该证法不能叫做数学归纳法.2.(2022·广州高二检测)用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步验证()A.n=1 B.n=2C.n=3 D.n=4【解析】选C.由题意知n≥3，n∈N*，第一步应验证n=3.3.某个命题与正整数n有关，若n=k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n=k+1时，该命题也成立.现在已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得()A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立【解析】选C.原命题正确，则逆否命题正确.故应选C.4.(2021·洋浦高二检测)已知f(n)=1n-1+1n+1n+1+1n+2+…+A.f(n)中共有n项，当n=2时，f(2)=12+B.f(n)中共有n+1项，当n=2时，f(2)=1+12+13C.f(n)中共有n2-n+2项，当n=2时，f(2)=1+12+13D.f(n)中共有n2-n+1项，当n=2时，f(2)=1+12+13【解析】选C.由条件可知，f(n)共有项数为n2-(n-1)+1=n2-n+2项，且n=2时，f(2)=11+12+135.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，其次步归纳假设应写成()A.假设n=2k+1(k∈N*)时正确，再推n=2k+3时正确B.假设n=2k-1(k∈N*)时正确，再推n=2k+1时正确C.假设n=k(k∈N*)时正确，再推n=k+1时正确D.假设n=k(k∈N*)时正确，再推n=k+2时正确【解析】选B.要留意n为正奇数.6.用数学归纳法证明“凸n(n≥3，n∈N)边形的内角和公式”时，由n=k到n=k+1时增加的是()A.π2 B.π C.3π2 【解析】选B.由n=k到n=k+1时，凸n边形的内角和增加的是∠1+∠2+∠3=π.二、填空题(每小题4分，共12分)7.用数学归纳法证明|n2-5n+5|≠1时，需证明的第一个n值是________.【解析】验证可知.n=1，2，3，4时，|n2-5n+5|=1，n=5时，|52-5×5+5|≠1，n=6时，|62-5×6+5|≠1，所以需验证的第一个n值应为5.答案：58.(2022·宁波高二检测)用数学归纳法证明：122+132+…+1(n+1)2>12-1n+2【解析】从不等式结构看，左边n=k+1时，最终一项为1(k+2)2，前面的分母的底数是连续的整数.右边n=k+1时，式子12-1(k+1)+2.即不等式为122+132答案：122+132+…+1(k+1)9.(2022·武汉高二检测)用数学归纳法证明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=n(2n2+1)3时，【解析】依据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于n=k，左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12，n=k+1时，左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12，比较两式，从而等式左边应添加的式子是(k+1)2+k2.答案：(k+1)2+k2三、解答题(每小题10分，共20分)10.用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(其中n∈N*).【证明】(1)当n=1时，左边=1×4=4，右边=1×22=4，左边=右边，等式成立.(2)假设当n=k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2，那么，当n=k+1时，1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)·[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)·(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2，即当n=k+1时等式也成立.依据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N*都成立.11.(2022·莆田高二检测)设函数y=f(x)对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.(1)求f(0)的值.(2)若f(1)=1，求f(2)，f(3)，f(4)的值.(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N*)的表达式，并用数学归纳法加以证明.【解析】(1)令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0×0⇒f(0)=0.(2)f(1)=1，f(2)=f(1+1)=1+1+2=4，f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9，f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16.(3)猜想f(n)=n2，下面用数学归纳法证明.当n=1时，f(1)=1满足条件.假设当n=k(k∈N*)时成立，即f(k)=k2，则当n=k+1时，f(k+1)=f(k)+f(1)+2k=k2+1+2k=(k+1)2，从而可得当n=k+1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)=n2.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2022·长春高二检测)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N*)时，第一步验证n=1时，A.1 B.1+2C.1+2+3 D.1+2+3+4【解析】选D.在等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N2.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=n4+n22A.k2+1B.(k+1)2C.(D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2【解析】选D.当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2，增加了2k+1项.3.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-12+13-14+…+1n-1-1n=21n+2+1n+4()A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立【解析】选B.由于k为偶数，所以利用归纳假设证明时需证n=k+2时等式成立.4.(2022·吉林高二检测)已知f(n)=(2n+7)·3n+9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则m的最大值为()A.30 B.26 C.36 【解析】选C.由于f(1)=36，f(2)=108=3×36，f(3)=360=10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)都能被36整除，推想最大的m的值为36，再由数学归纳法可证得，对任意n∈N*，都能使36整除f(n).二、填空题(每小题5分，共10分)5.设数列的通项公式为an=n(n+1)!，前n项和为Sn，则S1=__________，S2=__________，S3=__________，S4=__________，并由此猜想出Sn=__________【解析】由于an=n(n+1)!，所以S1=a1=12，S2=a1+a2=12+13=56，S3=a1+a2+a3=12+13+18=2324，S4=a1+a2+a3+a4=12+13答案：125623246.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*成立，那么a=________，b=________，c=________.【解题指南】利用n=1，2，3，分别建立三个等式，通过解方程组可求得.【解析】把n=1，2，3代入1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c，可得1整理并解得a答案：1214【变式训练】设an=1+12+13+…+1n(n∈N*)，猜想关于n的整式g(n)=________时，使得等式a1+a2+…+an-1【解析】假设g(n)存在，探究g(n).当n=2时，有a1=g(2)(a2-1)，即1=g(2)(1+12当n=3时，有a1+a2=g(3)(a3-1)，即1+1+12=g(3)(1+12+当n=4时，同样可解得g(4)=4.由此猜想g(n)=n(n∈N*，且n≥2).答案：n三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2022·南昌高二检测)用数学归纳法证明tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(n-1)α·tannα=tannαtanα-n(n≥2，n∈N【证明】①当n=2时，左边=tanα·tan2α.右边=tan2αtanα-2=2tanα=21-ta=2tan2α1-tan2所以左边=右边，等式成立.②假设n=k(k≥2，k∈N*)时等式成立，即有tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·tankα=tankα当n=k+1时，利用归纳假设有，tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·tankα+tankα·tan(k+1)α=tankαtanα-k+tankα·=tankα[1+tanα·tan(k+1)α]=1tanα[tan(k+1)α-tanα=tan(k+1)α所以n=k+1时，等式也成立，故由①和②知，n≥2，n∈N*时等式恒成立.【变式训练】用数学归纳法证明12+32+52+…+(2n-1)2=13n(4n2-1)(n∈N*【证明】(1)当n=1时，左边=12，右边=13×1×(4×左边=右边，等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，即12+32+52+…+(2k-1)2=13k(4k2则当n=k+1时，12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2=13k(4k2-1)+(2k+1)=13k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)=13=13(2k+1)(2k2=13=13(k+1)(4k2=13(k+1)[4(k+1)2即当n=k+1时，等式成立.由(1)，(2)可知，对一切n∈N*等式成立.8.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值.(2)当b=2时，记bn=2(log2an+1)(n∈N*)，证明：对任意的n∈N*，不等式b1+1b1·b2【解析】(1)由题意，Sn=bn+r，当n≥2时，Sn-1=bn-1+r，所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1).由于b>0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列.又a1=b+r，a2=b(b-1)，a2即b(b-1)(2)由(1)知an=2n-1，因此bn=2n(n∈N*).所证不等式为2+12·4+14·…·①当n=1时，左边=32，右边=2②假设n=k(k∈N*)时结论成立，即2+12·4+14·…·2k+12k>k+1，则当n=k+1时，2+12·4+14要证当n=k+1时结论成立，只需证2k+32k+1≥k+2，即证由均值不等式知2k+32=(k+1)+(k+2)故2k+32k+1由①②可知，n∈N*时，不等式b1+1b1