【北京特级教师】2020-2021学年人教A版数学必修4课后练习：三角部分综合问题-一

学科：数学专题：三角部分综合问题题1：题面：已知函数f(x)＝cos2x＋sinx，那么下列命题中是假命题的是()A．f(x)既不是奇函数也不是偶函数B．f(x)在[－π，0]上恰有一个零点C．f(x)是周期函数D．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5,6)π))上是增函数题2：题面：已知sin(π－α)＝log8eq\f(1,4)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则tan(2π－α)的值为()A．－eq\f(2\r(5),5) B.eq\f(2\r(5),5)C．±eq\f(2\r(5),5) D.eq\f(\r(5),2)题3：题面：已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，且α∈[0,2π]，则α的取值范围是________．题4：题面：已知函数f(x)＝x3＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线的斜率为4，则函数g(x)＝eq\r(3)sin2x＋bcos2x的最大值和最小正周期为()A．1，π B．2，πC.eq\r(2)，2π D.eq\r(3)，2π题5：题面：已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的图象与y轴交于点(0，eq\r(3))，在y轴右边到y轴最近的最高点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，2))，则不等式f(x)>1的解集是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(5,6)π))，k∈ZB.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5,6)π))，k∈ZC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,4)))，k∈ZD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z题6：题面：将函数y＝cos2x的图象向右平移eq\f(π,4)个单位，得到函数y＝f(x)·sinx的图象，则f(x)的表达式可以是()A．f(x)＝－2cosxB．f(x)＝2cosxC．f(x)＝eq\f(\r(2),2)sin2xD．f(x)＝eq\f(\r(2),2)(sin2x＋cos2x)题7：题面：已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋eq\f(π,6))－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－eq\f(π,6)，eq\f(π,4)]上的最大值和最小值．题8：题面：函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位后，得到的图象的解析式为()A．y＝sin2x B．y＝cos2xC．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3))) D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))课后练习详解题1：答案：B.详解：∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝－1，即f(－x)≠f(x)，∴f(x)不是偶函数．∵x∈R，f(0)＝1≠0，∴f(x)不是奇函数，故A为真命题；令f(x)＝cos2x＋sinx＝1－sin2x＋sinx＝0，则sin2x－sinx－1＝0，解得sinx＝eq\f(1±\r(5),2)，当x∈[－π，0]时，sinx＝eq\f(1－\r(5),2)，由正弦函数图象可知函数f(x)在[－π，0]上有两个零点，故B为假命题；∵f(x)＝f(x＋2π)，∴T＝2π，故函数f(x)为周期函数，C为真命题；∵f′(x)＝2cosx·(－sinx)＋cosx＝cosx·(1－2sinx)，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6)))时，cosx<0，eq\f(1,2)<sinx<1，∴f′(x)＝cosx·(1－2sinx)>0，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5,6)π))上是增函数，D为真命题．故选B.题2：答案：B.详解：sin(π－α)＝sinα＝log8eq\f(1,4)＝－eq\f(2,3)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，得cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(\r(5),3)，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(2\r(5),5).题3：答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,4))).详解：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα>cosα，,tanα>0，))∴eq\f(π,4)＋2kπ<α<eq\f(π,2)＋2kπ或π＋2kπ<α<eq\f(5π,4)＋2kπ，k∈Z.∵0≤α≤2π，∴eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)或π<α<eq\f(5π,4).题4：答案：B.详解：由题意得f′(x)＝3x2＋b，f′(1)＝3＋b＝4，b＝1.所以g(x)＝eq\r(3)sin2x＋bcos2x＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，故函数的最大值为2，最小正周期为π.题5：答案：D.详解：依题意A＝2,2sinφ＝eq\r(3)且|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3).由2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πω,12)＋\f(π,3)))＝2得eq\f(πω,12)＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，∴ω＝2，由f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))>1，得2kπ＋eq\f(π,6)<2x＋eq\f(π,3)<2kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)，∴kπ－eq\f(π,12)<x<kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)．题6：答案：B.详解：平移后的函数解析式是y＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝sin2x＝2sinxcosx，故函数f(x)的表达式可以是f(x)＝2cosx.题7：答案：(1)最小正周期为π.(2)最大值2；最小值－1.详解：(1)由于f(x)＝4cosxsin(x＋eq\f(π,6))－1＝4cosx(eq\f(\r(3),2)sinx＋eq\f(1,2)cosx)－1＝eq\r(3)sin2x＋2cos2x－1＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋eq\f(π,6))，所以f(x)的最小正周期为π.(2)由于－eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,4)，所以－eq\f(π,6)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(2π,3).于是，当2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,6)时，f(x)取得最大值2；当2x＋eq\f(π,6)＝－eq\f(π,6)，即x＝－eq\f(π,6)时，f(x)取得最小值－1.题8：答案：D.详解：由图象知A＝1，eq\f(3,4)T＝eq\f(11π,2)－eq\f(π,6)＝eq\f(3π,4)，T＝π⇒ω＝2，由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)＋φ))＝1，|φ|<eq\f(π,2)得eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(π,2)⇒φ＝eq\f(π,6)⇒f(x)＝sineq\b\lc\(\r