【名师一号】2020-2021学年北师大版高中数学必修4双基限时练25

双基限时练(二十五)同角三角函数的基本关系(二)一、选择题1.eq\r(1－sin260°)＝()A．±eq\f(\r(3),2) B．±eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D.eq\f(1,2)解析eq\r(1－sin260°)＝eq\r(cos260°)＝|cos60°|＝eq\f(1,2).答案D2．已知α为第三象限角，则eq\f(cosα,\r(1－sin2α))＋eq\f(2sinα,\r(1－cos2α))的值为()A．3 B．－3C．1 D．－1解析∵α为第三象限角，∴eq\f(cosα,\r(1－sin2α))＋eq\f(2sinα,\r(1－cos2α))＝eq\f(cosα,－cosα)＋eq\f(2sinα,－sinα)＝－3.答案B3．若tanα＝2，则eq\f(2sinα－cosα,sinα＋2cosα)的值为()A．0 B.eq\f(3,4)C．1 D.eq\f(5,4)解析原式＝eq\f(2tanα－1,tanα＋2)＝eq\f(3,4)，故选B.答案B4．计算sin4θ＋cos2θ＋sin2θcos2θ的结果为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,2) D．1解析原式＝sin2θ(sin2θ＋cos2θ)＋cos2θ＝sin2θ＋cos2θ＝1，故选D.答案D5.eq\f(sinA,1＋cosA)＋eq\f(1＋cosA,sinA)化简后的最简结果为()A.eq\f(sinA,2) B．sinAC.eq\f(2,sinA) D.eq\f(1,sinA)解析eq\f(sinA,1＋cosA)＋eq\f(1＋cosA,sinA)＝eq\f(1－cosA,sinA)＋eq\f(1＋cosA,sinA)＝eq\f(2,sinA).答案C6．已知sin(π－α)＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))，则sinα·cosα等于()A.eq\f(2,5) B．－eq\f(2,5)C.eq\f(2,5)或－eq\f(2,5) D．－eq\f(1,5)解析由sin(π－α)＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))得sinα＝－2cosα.∵sin2α＋cos2α＝1，∴(－2cosα)2＋cos2α＝1.∴cos2α＝eq\f(1,5).∴sinα·cosα＝(－2cosα)·cosα＝－2cos2α＝－2×eq\f(1,5)＝－eq\f(2,5).答案B7．若eq\f(sinα－2cosα,3sinα＋5cosα)＝－5，则tanα的值为()A．－2 B．2C.eq\f(23,16) D．－eq\f(23,16)解析由eq\f(sinα－2cosα,3sinα＋5cosα)＝－5，得eq\f(tanα－2,3tanα＋5)＝－5，得tanα＝－eq\f(23,16).答案D二、填空题8.eq\f(\r(1－2sin40°cos40°),sin40°－\r(1－sin240°))＝________.解析原式＝eq\f(\r(sin40°－cos40°2),sin40°－cos40°)＝eq\f(cos40°－sin40°,sin40°－cos40°)＝－1.答案－19．已知2sinα＝cosα，则eq\f(2cos2α＋2sinαcosα,cos2α)的值是________．解析eq\f(2cos2α＋2sinαcosα,cos2α)＝eq\f(2＋2tanα,1)＝2＋2×eq\f(1,2)＝3.答案310.eq\f(sinθ,1＋sinθ)－eq\f(sinθ,1－sinθ)的值为________．解析eq\f(sinθ,1＋sinθ)－eq\f(sinθ,1－sinθ)＝eq\f(sinθ1－sinθ－sinθ1＋sinθ,1－sin2θ)＝eq\f(－2sin2θ,cos2θ)＝－2tan2θ.答案－2tan2θ三、解答题11．化简下列各式．(1)eq\f(1－2sinα·cosα,cos2α－sin2α)·eq\f(1＋2sinα·cosα,1－2sin2α)；(2)eq\f(1,cos2α\r(1＋tan2α))－eq\r(\f(1＋sinα,1－sinα))(α为其次象限角)．解(1)原式＝eq\f(sinα－cosα2,cos2α－sin2α)·eq\f(sinα＋cosα2,cos2α－sin2α)＝eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)·eq\f(sinα＋cosα,cosα－sinα)＝1.(2)原式＝eq\f(1,cos2α\r(\f(sin2α＋cos2α,cos2α)))－eq\r(\f(1＋sinα2,1－sin2α))＝－eq\f(1,cosα)＋eq\f(1＋sinα,cosα)＝eq\f(sinα,cosα)＝tanα.12．已知eq\f(tanα,tanα－1)＝－1，求下列各式的值：(1)eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.解由已知，tanα＝eq\f(1,2)，所以，(1)eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)＝eq\f(tanα－3,tanα＋1)＝eq\f(\f(1,2)－3,\f(1,2)＋1)＝－eq\f(5,3)；(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝sin2α＋sinαcosα＋2(cos2α＋sin2α)＝eq\f(3sin2α＋sinαcosα＋2cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(3tan2α＋tanα＋2,tan2α＋1)＝eq\f(3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\f(1,2)＋2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))