电通量 静电场的高斯定理

电通量静电场的高斯定理电场线一、为了形象地描述电场分布，引入了电场线.图8-10所示为两种电场线实验图.其中，图8-10(a)为一对等量正电荷的电场线，图8-10(b)为一对电偶极子的电场线.通过观察，发现利用电场线完全可以对电场中各点的场强分布情况给出一个比较直观的图像.图8-10两种静止电荷的电场线实验图电场线为电场中假想的一组有方向的曲线.如图8-11所示，规定曲线上每点的切线方向表示该点场强E的方向.曲线的疏密程度表示该点场强E的大小，即通过该点附近垂直于场强方向的单位面积的电场线条数满足(8-9)式中，dΦe表示通过dS⊥的电场线条数；dS⊥表示垂直于场强的面元.通过观察图8-11所示的电场线图：（1）电场线起始于正电荷（或无穷远），终止于负电荷（或无穷远），电场线是不闭合的.（2）在没有电荷的空间中，任意两条电场线不会相交.图8-11电场线与场强的关系电场强度通量二、通量是一个描述场的物质性的重要物理量.在任意电场中，取一个假想的面.即使是在带电体上，也可以按照需要在电场中的场点上任取一个曲面.定义电场中通过任意给定曲面的电场线条数为通过该曲面的电场强度通量，简称电通量，用Φe表示.电通量是标量.假设在均匀电场中，有一与场强E垂直的平面S，如图8-12(a)所示，则由式（8-9）可知，通过该平面的电通量为

Φe=ES图8-12匀强电场中穿过平面的电通量假设均匀电场中有一平面S，其法线方向en与场强E的夹角为θ，平面[WTBX]S在垂直于E的方向上的投影为S⊥=Scosθ，如图8-12(b)所示前面定义电通量是标量，这里又定义面元矢量.其实，这个有向面元矢量描述该场点的场强与面元之间的关系，面元矢量的方向性表现为因此，图8-13所示面元矢量的电通量dΦe>0.实际上，也可以规定图8-13中法线的反向作为面元矢量的方向.图8-13非均匀电场中通过图8-14通过闭合曲面的电通量高斯定理三、高斯定理是一条描述场的物质性的非常重要的基本规律.下面首先讨论一种最简单的情况，即点电荷电场中的电通量.包围点电荷的任意球面1.以点电荷q为中心，以任意长度r为半径作一闭合球面S，如图8-15(a)所示.曲面上电通量的计算，需要分割面元，并定义图8-15(a)所示的面元矢量.点电荷的电场具有球对称性，即半径r的球面上每点场强E的大小相等，方向沿每点的空间径向.所以，通过球面上任一面元dS的电通量为

dΦe=E·dS=EdScos0°=EdS图8-15包围点电荷的闭合曲面包围点电荷的任意闭合曲面2.若在点电荷的电场中，S′是任意闭合曲面，如图8-15(b)所示.由于在没有电荷的空间中，电场线是连续的，因此通过球面S的电场线也必然通过曲面S′，即它们的电通量相同，于是有

电通量与闭合曲面的形状无关，只与包围的电荷有关.这个电荷就是电场的源.当q为正电荷时，Φe>0，电荷q就是电场线的源头；当q为负电荷时，Φe<0，电荷q就是电场线的尾.不包围点电荷的任意闭合曲面3.若在点电荷的电场中，有任一闭合曲面S″不包围点电荷，如图8-16所示，由电场线的连续性可知，穿入曲面的电场线条数等于穿出曲面的电场线条数，电场线穿入时电通量为负，电场线穿出时电通量为正，正负恰好抵消，则通过该曲面的电通量为

闭合曲面不包围电荷，也就是说不包围电场的源，因此该闭合曲面的电通量为零.图8-16不包围点电荷的任意闭合曲面点电荷系的电场4.在点电荷系的电场中，有任一闭合曲面S，其内包含电荷q内1，q内2，…，q内n，其外包含电荷q外1，q外2，…，q外m，由场强叠加原理可得通过闭合曲面S的电通量为式中，闭合曲面S称为高斯面，闭合曲面的电通量只与面内所包围的电荷有关.当闭合曲面内q为正时，Φe>0，表示电场线以正电荷为起点穿出闭合曲面；当q为负时，Φe<0，表示电场线穿入闭合曲面终止于负电荷.因此，高斯定理说明了电场线起于正电荷，止于负电荷，即静电场是有源场.借助于电场线的图像，高斯定理揭示了静电场的有源性.对于高斯定理的理解有以下两点需要说明：（1）式(8-14)中的场强[WTHX]E[WTBX]是指曲面上任一点的场强，它是由空间所有电荷共同产生的，并非只由闭合曲面内的电荷激发.（2）高斯定理揭示了静电场的有源性.因此，通过闭合曲面的电通量只决定于它所包围的电荷，闭合曲面外的电荷对电通量无贡献.高斯定理的应用四、如果仅已知带电体的电荷分布，根据高斯定理只能很容易地求出通过任一闭合曲面的电通量，而不能确定电场的具体分布.但是，如果知道电荷的分布具有高度的对称性(轴对称、球对称、面对称)，就能够直接运用高斯定理求出场强.用高斯定理计算场强分布，关键在于对称性的分析和高斯面的选取.在应用高斯定理求解场强时，带电体的场强分布必须具有一定的对称性，以便能够找到合适的高斯面.下面列出利用高斯定理计算场强的步骤：（1）对称性分析.（2）高斯面的选取是应用高斯定理求解场强的关键.第一，高斯面应通过所研究的场点；第二，高斯面可以由若干面组合而成；第三，至少有一个面应满足在该面上场强大小处处相等，方向与该面处处垂直的条件；第四，对无法满足第三条要求的面，应满足场强方向与该面处处平行的条件，从而通过该面的电通量为零.（3）计算电通量.（4）根据高斯定理求出场强.需要指出的是，若带电体不具有高度对称性，一般不能用高斯定理求解场强分布，但高斯定理却是普遍成立的.下面举例说明利用高斯定理计算场强的过程.求无限长均匀带电圆柱体内、外的场强分布.已知带电圆柱体单位长度上的带电量为λ.解：前面讨论过无限长均匀带电直线的电场，式（8-8）告诉人们该带电体的电场分布具有轴对称性，其场强大小都相等，直线外每点的场强均沿与带电直线相垂直的方向.①对称性分析.无限长均匀带电圆柱体的电荷分布与无限长均匀带电直线有区别，具有轴对称性，即在与圆柱轴线距离相等的同轴圆柱面上各点的场强大小相等，方