变化率问题举例

变化率问题举例一、求非恒定电流的电流强度由电学知识可知，恒定电流的电流强度是单位时间内通过导体横截面的电量Q，即i=Q/t,而非恒定电流的电流强度就不能按上述公式计算.设非恒定电流通过导体横截面积的电量Q是时间t的函数，即Q=Q(t),当时间由t0变到t0+Δt时，通过导体的电量由Q（t0）变到Q（t0+Δt）,此时的平均电流强度为在时刻t0的电流强度为

（1）设电量的函数Q=2t2+2t－1（单位C）求t=2s时的电流强度i(2)（单位A）.

解

因为Q′(t)=4t+2′tln2,所以i(2)=Q′(2)=8－4ln2（A）,即t=2s时的电流强度为8－4ln2（A）.（2）设电量函数Q=2t2+3cost+2t－1(单位为C)，求t=3s时的电流强度i(单位为A).

解

因为Q′(t)=4t－3sint+2tln2,则当t=3s时的电流强度为i=Q′(t)t=3=4·3-3sin3+23·ln2≈17.122(A).【例1】一、求非恒定电流的电流强度二、求物体的比热由物理学知识可知，比热是衡量物体吸收（或释放）热量能力的一个物理量.设有单位质量的物体从0℃加热到T℃所吸收的热量Q是温度T的函数：Q=Q(T).给温度T以增量ΔT，则可求得物体在ΔT这段温度内的平均比热为从而物体在T℃时的比热为

已知1kg铁由0℃加热到T℃所吸收的热量Q由下式确定，即Q=0.1053T+0.000071T2(0≤T≤200),求T℃时的比热.解T℃时的比热为c=Q′T=0.1053+0.000142T．【例2】二、求物体的比热三、进行边际分析在经济活动中，常常会遇到边际分析的问题.例如，边际成本分析、边际需求分析、边际价格分析等.从数学角度看，经济活动中的边际问题，就是相应的经济函数的变化率问题.设总成本函数c=c(q)是可导的，其中q表示产量，c表示总成本，则产量为q的边际成本为设定某种产品的单位售价为P(P不变)，则总收入函数R(q)=P·q,总利润函数L(q)为L(q)=R(q)-c(q)=P·q-c(q),上式两边对q求导，有L′(q)=R′(q)－c(q)=P－c′(q).关于边际有如下结论：(1)当c′(q0)＜P时，生产者应继续增加生产.(2)当c′(q0)＞P时，生产者应停止增加生产，采取提高产品的质量和档次来提高产品的价格，或降低生产成本或减少产量的办法来增加利润.(3)当c′(q0)=P时，此时边际成本等于边际收入，增加产量的生产支出与销售所增产量的收入大致相等.在产量q0处可获得最大利润.(4)当c′(q0)＜(q0)(平均成本)时，边际成本小于平均成本，生产者可通过增加产量的方式来降低平均成本.三、进行边际分析

某厂生产某种产品，总成本c是产量x的函数c(x)=200+4x+0.05x2,求产量x=200时的边际成本.解因为c′(x)=(200+4x+0.05x2)′=4+0.1x,所以，当产量x=200时的边际成本为c′(x)|x=200=4+0.1×200=24.【例3】三、进行边际分析

设某种产品的需求量函数为q=(50－3P)2,其中P为产品价格，求P=5时的总收入与边际收入.解由q=(50－3P)2可知则总收入函数R(q)为则P=5时，q=1225,【例4】三、进行边际分析

这表明，需求量在1225附近时，收入是减少的.三、进行边际分析四、进行弹性分析函数的弹性1.设函数y=fx在点x=x0处可导，函数的相对增量与自然变量的相对增量

当Δx→0时的极限称为f(x)在点x=x0处的弹性（或弹性系数），也称为函数f(x)在点x0处的相对变化率（或相对导数），记为

四、进行弹性分析弹性分析2.

一般地说，利用函数的弹性去讨论函数的变化状态，要比利用导数去讨论函数的变化状态复杂些.但对于经济函数f(x)来说，由于x和f(x)都非负（除利润函数外），因此，用函数的弹性去讨论经济函数的变化状态，不仅容易，同时还能对函数的变化情况与自然量的变化情况进行比较.四、进行弹性分析设经济函数为f(x)(f(x)>0,x>0），其相应的弹性函数为η(x)=xf′(x)/f(x)，一般有以下结论：（1）当η(x)>0(或η(x)<0)时，则f(x)是增加（或减少）的;（2）当0<η(x)<1或（－1<η(x)<0）时，则f(x)增加（或减少）的幅度小于x增加的幅度；（3）当η(x)>1(或η(x)<－1)时，则f(x)增加（或减少）的幅度大于x增加（或减少）的幅度；（4）当η(x)=1（或η(x)=－1）时，则f(x)增加（或减少）的幅度与x增加（或减少）的幅度相同．四、进行弹性分析

设某商品的需求函数为Q=e－p5（其中P是商品的价格，Q是商品的需求量），求：（1)需求弹性函数；（2)当P=3，P=5，P=6时的需求弹性，并说明其经济意义.【例5】四、进行弹性分析

四、进行弹性分析函数的微分第六节一、引例引例1求自由落体运动中，物体由时刻t到t+Δt所经过路程的近似值.分析自由落体的路程s与时间t的函数关系是s=1/2gt2，当时间从t到t+Δt时，路程s有相应的增量Δs=1/2g(t+Δt)2－1/2gt2=gtΔt+1/2g(Δt)2.上式中，gtΔt是Δt的线性函数，1/2g(Δt)2是当Δt→0时比Δt高阶的无穷小，因此，当|Δt|很小时，可以把1/2g(Δt)2忽略，而得到路程增量的近似值Δs≈gtΔt.一、引例引例2一块正方形均匀铁板(见图2-6)，受热膨胀后边长由x0变到x0+Δx，问面积y改变了多少？图2-6一、引例分析分析设此铁板的边长为x,则面积y是x的函数：y=x2.铁板受温度变化影响时，面积的增量可以看成是当自变量x自x0取得增量Δx时,函数y相应的增量Δy,即Δy=(x0+Δx)2-x02=2x0Δx+(Δx)2.上式中，2x0Δx是Δx的线性函数，它是Δy的主要部分；Δy的另一部分是(Δx)2，它是Δy的次要部分，当|Δx|很小时，(Δx)2比2x0Δx要小得多，也就是说，当Δx很小时，面积增量Δy可以近似地用2x0Δx表示，即Δy≈2x0Δx,由此式作为Δy的近似值，略去的部分(Δx)2是比Δx高阶的无穷小.一、引例

这两个问题的实际意义虽然不同，但在数量关系上却具有相同的特点：函数的增量可以表示成两部分，一部分为自变量增量的线性函数，另一部分是当自变量增量趋于零时，比自变量增量高阶的无穷小，据此特点，便形成了微分的概念.一、引例二、微分的定义设函数y=f(x)在某区间内有定义,x0及x0+Δx在这区间内,如果函数的增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)可表示为Δy=A·Δx+o(Δx),其中A是与Δx无关的常数,则称函数y=f(x)在点x0可微,并且称A·Δx为函数y=f(x)在点x0处相应于自变量增量Δx的微分,记为dy|x=x0,即dy|x=x0=A·Δx.下面讨论可微与可导之间的关系.定理函数y=f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数y=f(x)在点x0处可导，且当f(x)在点x0可微时，其微分dy|x=x0=f′(x0)Δx.证明必要性.函数y=f(x)在点x0处可微,即Δy=A·Δx+o(Δx)，有即A=f′(x0).二、微分的定义

求函数y=1+3x2在x=1,Δx=0.01时的增量及微分.解Δy=3(x+Δx)2－3x2=3×1.012－3=0.0603，函数y=f(x)在任意点x的微分，称为函数的微分，记为dy或df(x)，即dy=f′(x)Δx.为了统一记号，通常把自变量x的增量称为自变量的微分，记为dx，即dx=Δx，于是函数y=f(x)的微分又可记为dy=f′(x)dx.所以有dy/dx=f′(x)，即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商.因此，导数又称为“微商”.【例1】二、微分的定义

求函数y=sinx/x的微分.【例2】二、微分的定义三、微分的几何意义如图2-7所示，过曲线y=fx上一点M(x0,y0)作切线MT,倾角为α，则tanα=f′(x0).当自变量x有微小增量Δx时,得到曲线上另一点M′x0+Δx,y0+Δy,于是MN=Δx,NM′=Δy,则NP=MN·tanα=Δx·f′x0,即dy=NP.由此可见,对可微函数y=fx而言，当Δy是曲线y=fx上点的纵坐标的增量时，dy就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量.当|Δx|很小时,|Δy－dy|比|Δx|小很多,因此在点M附近,可用切线段近似代替曲线段.三、微分的几何意义四、微分公式与法则常数和基本初等函数的微分公式1.

函数和、差、积、商的微分运算法则2.

四、微分公式与法则复合函数的微分法则3.

与复合函数的求导法则相对应的复合函数的微分法则可推导如下.若u=φ(x)在点x处可导，y=f(u)在点u处可导，则dy=f′(u)φ′(x)dx=f′(u)dφ(x)=f′(u)du.由此可见，对于y=f(u)来说，不论u是自变量还是中间变量，函数y=f(u)的微分总保持同一形式dy=f′(u)du，这一性质称为微分形式不变性．有时，利用微分形式不变性求复合函数的微分比较方便．四、微分公式与法则

求函数y=cos(3x2－2)的微分.解把3x2－2看成中间变量u，则dy=d(cosu)=－sinudu=－sin(3x2－2)d(3x2－2)=－sin(3x2－2)·6xdx=－6xsin(3x2－2)dx.在熟练求复合函数的微分后，可不必写出中间变量.【例3】四、微分公式与法则

求函数y=eaxcosbx的微分.解dy=cosbxdeax+eaxdcosbx=aeaxcosbxdx－beaxsinbxdx=eax(acosbx－bsinbx)dx.【例4】

设y=f(lnx),且f(x)可导，求dy.解

【例5】四、微分公式与法则

求由方程ex+y－ysinx=0所确定的隐函数的微分.解法1先求y′，再用dy=y′dx.方程两边同时对x求导，得【例6】四、微分公式与法则

解法2方程两边同时取微分，得dex+y－d(ysinx)=0,于是ex+yd(x+y)－sinxdy+ydsinx=0，有ex+y(dx+dy)－sinxdy－ycosxdx=0，则四、微分公式与法则五、微分在近似计算中的应用五、微分在近似计算中的应用由前面的讨论知，当Δx很小时,函数y=f(x)在点x0处的增量Δy可用函数的微分dy来代替，即Δy=fx0+Δx－fx0≈dy=f′x0Δx,（2-1）移项可得fx0+Δx≈fx0+f′x0Δx.（2-2）公式（2-1）常用来计算函数增量的近似值，公式（2-2）常用来计算函数y=f(x)在点x0附近的近似值.

求arctan1.02的近似值