【优化方案】2021高考数学总复习(湖北理科)课后达标检测：第6章-第3课时

[基础达标]一、选择题1．(2022·北京海淀高三期中测试)不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y－4≤0，,kx－y≤0))表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.画出平面区域如图所示：直线y＝kx确定垂直x＋y－4＝0，即k＝1，只有这样才可使围成的区域为直角三角形，且面积为1.2．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|≤|y|,|x|<1))的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的()解析：选C.|x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含y轴的两个区域；|x|<1表示x＝±1所夹含y轴的带状区域．3．(2022·广东省惠州市调研测试)已知x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋5≥0,x－y≤0，,y≤0))则z＝2x＋4y的最小值为()A．－14 B．－15C．－16 D．－17解析：选B.由图可知当目标函数z＝2x＋4y经过y＝x与x＋y＋5＝0的交点时取得最小值，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x,x＋y＋5＝0))，解得交点坐标为(－2.5，－2.5)，故zmin＝－15.4．(2022·安徽合肥市质量检测)点(x，y)满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0,x－y＋1≥0，,x≤a))若目标函数z＝x－2y的最大值为1，则实数a的值是()A．1 B．－1C．－3 D．3解析：选A.由题意可知，目标函数经过点(a,1－a)时达到最大值1，即a－2(1－a)＝1，解得a＝1.5．某所学校方案聘请男老师x名，女老师y名，x和y需满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥5,x－y≤2,x≤6,x∈N，y∈N))，则该校聘请的老师最多为()A．10名 B．11名C．12名 D．13名解析：选D.设z＝x＋y，作出可行域如图阴影中的整点部分，可知当直线z＝x＋y过A点时z最大，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6,2x－y＝5))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6,y＝7))，故z最大值为7＋6＝13.二、填空题6．在平面直角坐标系中，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0,x－y＋2≥0，,x≤2))表示的平面区域的面积为________．解析：作出可行域为△ABC(如图)，则S△ABC＝4.答案：47．(2022·云南昆明市调研测试)已知变量x，y满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≤0,x－y≤0，,x≥0))则2x－y的最大值为________．解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x－y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))时，相应直线在x轴上的截距达到最大，此时2x－y取得最大值，最大值是2x－y＝2×eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)8．(2022·黄冈市质检)设P是不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y≥0,x－y≥－1，,x＋y≤3))表示的平面区域内的任意一点，向量m＝(1,1)，n＝(2,1)，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝λm＋μn(λ，μ为实数)，则2λ＋μ的最大值为________．解析：由eq\o(OP,\s\up6(→))＝(λ＋2μ，λ＋μ)＝(x，y)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝λ＋2μ，,y＝λ＋μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－x＋2y，,μ＝x－y.))所以2λ＋μ＝－2x＋4y＋x－y＝－x＋3y，即求z＝－x＋3y的最大值．作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y≥0,x－y≥－1，,x＋y≤3))表示的平面区域如图中的阴影部分，目标函数的几何意义是直线y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(1,3)z在y轴上截距的3倍，结合图形在点A(1,2)处取得最大值，最大值为5.答案：5三、解答题9.已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D的不等式组；(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．解：(1)直线AB、AC、BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7x－5y－23≤0，,x＋7y－11≤0，,4x＋y＋10≥0.))(2)依据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0，即(14－a)(－18－a)<0，得a的取值范围是－18<a<14.故a的取值范围是(－18,14)．10．变量x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1，))(1)设z＝4x－3y，求z的最大值．(2)设z＝eq\f(y,x)，求z的最小值；解：(1)由约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1，))作出(x，y)的可行域如图所示．由z＝4x－3y，得y＝eq\f(4,3)x－eq\f(z,3).求z＝4x－3y的最大值，相当于求直线y＝eq\f(4,3)x－eq\f(z,3)在y轴上的截距－eq\f(z,3)的最小值．平移直线y＝eq\f(4,3)x知，当直线y＝eq\f(4,3)x－eq\f(z,3)过点B时，－eq\f(z,3)最小，z最大．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3＝0，,3x＋5y－25＝0，))解得B(5,2)．故zmax＝4×5－3×2＝14.(2)∵z＝eq\f(y,x)＝eq\f(y－0,x－0).∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率，观看图形可知zmin＝kOB＝eq\f(2,5).[力气提升]一、选择题1．(2022·辽宁六校联考)设变量x、y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤a,x＋y≥8，,x≥6))且不等式x＋2y≤14恒成立，则实数a的取值范围是()A．[8,10] B．[8,9]C．[6,9] D．[6,10]解析：选A.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，明显a≥8，否则可行域无意义．由图可知x＋2y在点(6，a－6)处取得最大值2a－6，由2a－6≤14得，a≤10.2．(2022·东北三校联考)已知二元一次不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4≥0,x－y－2≤0,x－3y＋4≥0))所表示的平面区域为M.若M与圆(x－4)2＋(y－1)2＝a(a>0)至少有两个公共点，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5)) B．(1,5)C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5)) D．(1,5]解析：选C.如图，若使以(4,1)为圆心的圆与阴影部分区域至少有两个交点，结合图形，当圆与直线x－y－2＝0相切时，恰有一个公共点，此时a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))2＝eq\f(1,2)，当圆的半径增大到恰好过点A(2,2)时，圆与阴影部分至少有两个公共点，此时a＝5，故a的取值范围是eq\f(1,2)<a≤5.二、填空题3．(2022·高考上海卷)满足约束条件|x|＋2|y|≤2的目标函数z＝y－x的最小值是__________．解析：作出可行域如图所示：由图可知，当目标函数线经过点(2,0)时，目标函数z＝y－x取得最小值，zmin＝0－2＝－2.答案：－24．已知x，y满足不等式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0,y≥0,x＋2y≤t,2x＋y≤4))，且目标函数z＝9x＋6y最大值的变化范围是[20,22]，则t的取值范围是________．解析：由约束条件确定的可行域如图，当目标函数过点A时取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝t,2x＋y＝4))，解得A(eq\f(8－t,3)，eq\f(2t－4,3))，所以20≤9×eq\f(8－t,3)＋6×eq\f(2t－4,3)≤22，解得4≤t≤6.答案：[4,6]三、解答题5．某玩具生产公司每天方案生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样支配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.(2)约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋7y＋4100－x－y≤600，,100－x－y≥0，,x≥0，y≥0，x，y∈N.))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y≤200，,x＋y≤100，,x≥0，y≥0，x，y∈N.))目标函数为w＝2x＋3y＋300.作出可行域，如图所示：初始直线l0：2x＋3y＝0，平移初始直线经过点A时，w有最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝200，,x＋y＝100，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝50，,y＝50.))最优解为A(50,50)，所以wmax＝550(元)．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大为550元．6．(选做题)若x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2，))(1)求目标函数z＝e