【复习参考】2021年高考数学(理)提升演练：二项分布及其应用

2021届高三数学（理）提升演练：二项分布及其应用一、选择题1．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,2)2．位于直角坐标原点的一个质点P按下列规章移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为eq\f(1,3)，向右移动的概率为eq\f(2,3)，则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是()A.eq\f(4,243) B.eq\f(8,243)C.eq\f(40,243) D.eq\f(80,243)3．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，大事A＝“取到的2个数之和为偶数”，大事B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)4．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝eq\f(5,9)，则P(η≥2)的值为()A.eq\f(32,81) B.eq\f(11,27)C.eq\f(65,81) D.eq\f(16,81)5．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为eq\f(1,3)，乙、丙去北京旅游的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,5).假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为()A.eq\f(59,60) B.eq\f(3,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,60)6．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，登记号码并放回，假如两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是()A.eq\f(16,625) B.eq\f(96,625)C.eq\f(624,625) D.eq\f(4,625)二、填空题7．某篮球运动员在三分线投球的命中率是eq\f(1,2)，他投球10次，恰好投进3个球的概率为________(用数值作答)．8．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________．9．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的大事；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的大事．则下列结论中正确的是________(写出全部正确结论的编号)．①P(B)＝eq\f(2,5)；②P(B|A1)＝eq\f(5,11)；③大事B与大事A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的大事．三、解答题10．某种植企业同时培育甲、乙两个品种的杉树幼苗，甲品种杉树幼苗培育成功则每株获利润80元，培育失败，则每株亏损20元；乙品种杉树幼苗培育成功则每株获利润150元，培育失败，则每株亏损50元．统计数据表明：甲品种杉树幼苗培育成功率为90%，乙品种杉树幼苗培育成功率为80%.假设每株幼苗是否培育成功相互独立．(1)求培育3株甲品种杉树幼苗成功2株的概率；(2)记X为培育1株甲品种杉树幼苗与1株乙品种杉树幼苗可获得的总利润，求X的分布列．11．一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片．(1)从盒中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数的概率；(2)若从盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为偶数的概率；(3)从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当抽到记有奇数的卡片即停止抽取，否则连续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望．12．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋竞赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘竞赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列．详解答案一、选择题1．解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝eq\f(1,2)；其次类，需竞赛2局，第一局甲负，其次局甲赢，其概率P2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝eq\f(3,4).答案：A2．解析：依题意得，质点P移动五次后位于点(1,0)，则这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动，因此所求的概率等于Ceq\o\al(2,5)·(eq\f(1,3))2·(eq\f(2,3))3＝eq\f(80,243).答案：D3．解析：P(A)＝eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(4,10)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10).由条件概率计算公式，得P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,10),\f(4,10))＝eq\f(1,4).答案：B4．解析：由于随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，又P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝eq\f(5,9)，解得p＝eq\f(1,3)，所以η～B(4，eq\f(1,3))，则P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－(1－eq\f(1,3))4－Ceq\o\al(1,4)(1－eq\f(1,3))3(eq\f(1,3))＝eq\f(11,27).答案：B5．解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5).因此，他们不去北京旅游的概率分别为eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P＝1－eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(3,5).答案：B6．解析：依题意得某人能够获奖的概率为eq\f(1＋5,C\o\al(2,6))＝eq\f(2,5)(注：当摸的两个球中有标号为4的球时，此时两球的号码之积是4的倍数，有5种状况；当摸的两个球中有标号均不是4的球时，此时要使两球的号码之积是4的倍数，只有1种状况)，因此所求概率等于Ceq\o\al(3,4)·(eq\f(2,5))3·(1－eq\f(2,5))＝eq\f(96,625).答案：B二、填空题7．解析：P＝Ceq\o\al(3,10)(eq\f(1,2))3(1－eq\f(1,2))7＝eq\f(15,128).答案：eq\f(15,128)8．解析：设大事A：甲实习生加工的零件为一等品；大事B：乙实习生加工的零件为一等品，则P(A)＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(3,4)，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为：P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝eq\f(2,3)×(1－eq\f(3,4))＋(1－eq\f(2,3))×eq\f(3,4)＝eq\f(5,12).答案：eq\f(5,12)9．解析：由题意知P(B)的值是由A1，A2，A3中某一个大事发生所打算的，故①③错误；∵P(B|A1)＝eq\f(PA1B,PA1)＝eq\f(\f(1,2)×\f(5,11),\f(1,2))＝eq\f(5,11)，故②正确；由互斥大事的定义知④正确，故正确结论的编号是②④.答案：②④三、解答题10．解：(1)P＝Ceq\o\al(2,3)×0.92×(1－0.9)＝0.243.(2)ξ的可能取值为230,130,30，－70.ξ的分布列为ξ23030130－70P0.9×0.80.9×0.20.1×0.80.1×0.2即：ξ23030130－70P0.720.180.080.0211．解：(1)由于1,3,5是奇数，2,4是偶数，设大事A为“两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数”P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)或P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5).(2)设B表示大事“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”，由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为eq\f(2,5)，则P(B)＝Ceq\o\al(2,3)·(eq\f(2,5))2·(1－eq\f(2,5))＝eq\f(36,125).(3)依题意，X的可能取值为1,2,3.P(X＝1)＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(2×3,5×4)＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(2×1×3,5×4×3)＝eq\f(1,10)，所以X的分布列为X123Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)E(X)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2).12．解：(1)设甲胜A的大事为D，乙胜B的大事为E，丙胜C的大事为F，则eq\o(D,\s\up6(－))，eq\o(E,\s\up6(－))，eq\o(F,\s\up6(－))分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的大事．由于P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立大事的概率公式知P(eq\o(D,\s\up6(－)))＝0.4，P(eq\o(E,\s\up6(－)))＝0.5，P(eq\o(F,\s\up6(－)))＝0.5.红队至少两人获胜的大事有：DEeq\o(F,\s\up6(－))，Deq\o(E,\s\up6(－))F，eq\o(D,\s\up6(－))EF，DEF.由于以上四个大事两两互斥且各盘竞赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DEeq\x\to(F))＋P(Deq\o(E,\s\up6(－))F)＋P(eq\o(D,\s\up6(－))EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知eq\o(D,\s\up6(－))eq\o(E,\s\up6(－))F、eq\o(D,\s\up6(－))Eeq\o(F,\s\up6(－))、Deq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－))是两两互斥大事，且各盘竞赛的结果相互独立，因此P(ξ＝0)＝P(eq\o(D,\s\up6(－))eq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－)))＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(eq\o(D,\s