【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第4章-第7节-正弦定理、余弦定理的应用举例

第四章第七节一、选择题1．两座灯塔A和B与海岸观看站C的距离相等，灯塔A在观看站北偏东40°，灯塔B在观看站的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°[答案]B[解析]由图可知∠ACB＝180°－(40°＋60°)＝80°，∵AC＝BC，∴∠A＝∠CBA＝eq\f(1,2)(180°－80°)＝50°.∵CE∥BD，∠CBD＝∠BCE＝60°，∴∠ABD＝∠CBD－∠CBA＝60°－50°＝10°，∴灯塔A在灯塔B的北偏西10°.2．一船向正北航行，观看正西方向有相距10nmile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，连续航行半小时后，观看一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时()A．5nmile B．5eq\r(3)nmileC．10nmile D．10eq\r(3)nmile[答案]C[解析]依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是eq\f(5,0.5)＝10(nmile/h)．3．如图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据无法求出AB长度的是()A．α，a，b B．α，β，aC．a，b，γ D．α，β，γ[答案]D[解析]利用余弦定理，可由a，b，γ或α，a，b求出AB；利用正弦定理，可由a，α，β求出AB，当只知α，β，γ时，无法计算AB．4．一艘海轮从A处动身，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观看灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里 D．20eq\r(2)海里[答案]A[解析]如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依据正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)(海里)5．(文)已知A、B两地间的距离为10km，B、C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为()A．10km B．eq\r(3)kmC．10eq\r(5)km D．10eq\r(7)km[答案]D[解析]利用余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝102＋202－2×10×20×(－eq\f(1,2))＝700，∴AC＝10eq\r(7)(km)．(理)如图所示，D，C，B三点在地面同始终线上，DC＝a，从C、D两点测得A点的仰角分别是β、α(α<β)，则点A离地面的高度AB等于()A．eq\f(asinαsinβ,sinβ－α) B．eq\f(asinαsinβ,cosα－β)C．eq\f(acosαcosβ,sinβ－α) D．eq\f(acosαcosβ,cosα－β)[答案]A[解析]在△ADC中，∠DAC＝β－α，由正弦定理，eq\f(AC,sinα)＝eq\f(a,sinβ－α)，得AC＝eq\f(asinα,sinβ－α).在Rt△ABC中，AB＝AC·sinβ＝eq\f(asinαsinβ,sinβ－α).6．一个大型喷水池的中心有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，A．50mC．120m[答案]A[解析]设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，依据余弦定理得，(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.二、填空题7．(文)(2022·新课标Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.[答案]150[解析]本题考查解三角形中的应用举例．在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45°，∴AC＝100eq\r(2).在△AMC中，∠CAM＝75°，∠ACM＝60°，∴∠AMC＝45°.由正弦定理知eq\f(AM,sin60°)＝eq\f(100\r(2),sin45°)，∴AM＝100eq\r(3).在Rt△AMN中，∠NAM＝60°，∴MN＝AM·sin60°＝100eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝150(m)．(理)(2022·四川高考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，eq\r(3)≈1.73)[答案]60[解析]本题考查了运用正弦定理解三角形．由条件可得：AC＝92，AB＝eq\f(46,cos67°)，eq\f(AB,sin30°)＝eq\f(BC,sin37°)，∴BC＝eq\f(ABsin37°,sin30°)≈60.8．我舰在岛A南50°西12nmile的B处，发觉敌舰正从岛沿北10°西的方向以每小时10nmile的速度航行，若我舰要用2h追上敌舰，则速度为________．[答案]14nmile/h[解析]设我舰在C处追上敌舰，速度为v，则在△ABC中，AC＝20，AB＝12，∠BAC＝120°.∴BC2＝784，∴v＝14nmile/h.9．(文)如图，一艘船上午930在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它连续沿正北方向匀速航行，上午1000到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8eq\r(2)nmile.此船的航速是________nmile/h.[答案]32[解析]设航速长vnmile/h在△ABS中，AB＝eq\f(1,2)v，BS＝8eq\r(2)，∠BSA＝45°，由正弦定理得：eq\f(8\r(2),sin30°)＝eq\f(\f(1,2)v,sin45°)，∴v＝32.(理)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________m.[答案]15eq\r(6)[解析]由已知可得∠DBC＝135°，在△DBC中，由正弦定理可得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(CD,sin135°)，BC＝eq\f(CDsin30°,sin135°)＝eq\f(30×sin30°,sin135°)＝15eq\r(2)，∴AB＝BCtan60°＝15eq\r(2)×eq\r(3)＝15eq\r(6).三、解答题10．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲动身2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5).(1)求索道AB的长；(2)问乙动身多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？[解析](1)在△ABC中，由于cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5)，所以sinA＝eq\f(5,13)，sinC＝eq\f(4,5).从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(5,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(63,65).由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，得AB＝eq\f(AC,sinB)×sinC＝eq\f(1260,\f(63,65))×eq\f(4,5)＝1040(m)．所以索道AB的长为1040m.(2)假设乙动身tmin后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×eq\f(12,13)＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤eq\f(1040,130)，即0≤t≤8，故当t＝eq\f(35,37)(min)时，甲、乙两游客距离最短.一、选择题1．据新化社报道，强台风“珍宝”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严峻的灾难，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是()A．eq\f(20\r(6),3)米 B．10eq\r(6)米C．eq\f(10\r(6),3)米 D．20eq\r(2)米[答案]A[解析]如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.由正弦定理知，eq\f(AO,sin45°)＝eq\f(20,sin60°)，∴AO＝eq\f(20\r(6),3)(米)．2．(2022·贵阳模拟)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)()A．11.4 B．6.6C．6.5 D．5.6[答案]B[解析]AB＝1000×1000×eq\f(1,60)＝eq\f(50000,3)(m)，∴BC＝eq\f(AB,sin45°)·sin30°＝eq\f(50000,3\r(2))(m)．∴航线离山顶h＝eq\f(50000,3\r(2))×sin75°≈11.4(km)．∴山高为18－11.4＝6.6(km)．二、填空题3．在直径为30m的圆形广场中心上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为________m.[答案]5eq\r(3)[解析]轴截面如图，则光源高度h＝eq\f(15,tan60°)＝5eq\r(3)(m)．4．某校运动会开幕式上进行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最终一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最终一排的距离为10eq\r(6)m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50s，升旗手应以________m/s的速度匀速升旗？[答案]0.6[解析]在△BCD中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝10eq\r(6)(m)，由正弦定理，得BC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝20eq\r(3)(m)；在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°＝20eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝30(m)．所以升旗速度v＝eq\f(AB,t)＝eq\f(30,50)＝0.6(m/s)．三、解答题5．(文)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度．[解析]如图，设电视塔AB的高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BC＝eq\r(3)x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(eq\r(3)x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，∴电视塔高为40米．(理)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点仰角均为60°，AC＝0.1km.摸索究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01km，eq\r(2)≈1.414，eq\r(6)≈2.449)．[分析]eq\x(计算∠ADC)→eq\x(AC＝DC)→eq\x(AB＝BD)→eq\x(在△ABC中计算AB)→eq\x(求得BD)[解析]在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1，又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA．在△ABC中，eq\f(AB,sin∠BCA)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，所以AB＝eq\f(ACsin60°,sin15°)＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),20).同理，BD＝eq\f(3\r(2)＋\r