2024年沪科版高二数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪科版高二数学下册阶段测试试卷69考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、【题文】以下四个命题：其中真命题为()

①从匀速传递的产品生产流水线上；质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

②两个随机变量相关性越强；则相关系数的绝对值越接近于1；

③在回归直线方程＝0.2x＋12中；当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；

④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．A.①④B.②④C.①③D.②③2、【题文】如果对于函数定义域内任意的都有（为常数），称为的下界，下界中的最大值叫做的下确界.下列函数中；有下确界的函数是().).

①②③④A.①②B.①③C.②③④D.①③④3、【题文】从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（）A.B.C.D.4、在等差数列中，其前n项和是若则在，中最大的是()A.B.C.D.5、已知点是的重心，若则的最小值是（）A.B.C.D.6、椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是（）A.x-2y=0B.2x+y-10=0C.2x-y-2=0D.x+2y-8=07、已知123（k）＜38，则k的值为（）A.2B.3C.4D.5评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)8、已知△ABC的斜二测直观图是边长为2的等边△A1B1C1，那么原△ABC的面积为____．9、若为的各位数字之和，如则记，则＝____.10、【题文】下图是某公司10个销售店某月销售某品牌电脑数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[19，30)内的频率为____．

11、【题文】已知向量与的夹角为且则____．12、在平面直角坐标系xOy中已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AB，记线段AB的中点为M．若OA=OM，则直线AB的斜率为____．13、已知命题p

方程x2+mx+1=0

有两个不相等的负根；命题q

方程4x2+4(m鈭�2)x+1=0

无实根.

若p隆脜q

为真，(p隆脛q)

为假，则m

的取值范围为______．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）16、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共2题，共14分)21、如图：一个圆锥的底面半径为2；高为6，在其中有一个半径为x的内接圆柱．

（1）试用x表示圆柱的体积；

（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大值是多少．22、如图；已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：

（1）

（2）．评卷人得分五、计算题(共4题，共20分)23、1.（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；(3)证明：(参考数据：ln2≈0.6931).24、1.（本小题满分12分）分别是椭圆的左右焦点,直线与C相交于A,B两点（1）直线斜率为1且过点若成等差数列，求值（2）若直线且求值.25、已知a为实数，求导数26、已知f（x）=∫1x（4t3﹣）dt，求f（1﹣i）•f（i）．评卷人得分六、综合题(共4题，共28分)27、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．28、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．29、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为30、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、D【分析】【解析】

试题分析：①为系统抽样；④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说；k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大．

考点：1.随机抽样；2.相关关系；3.回归直线方程；4.独立性检验.【解析】【答案】D2、D【分析】【解析】

试题分析：解：对≥-1在R上恒成立；所以此函数有下确界；

对∈R在（0；+∞）上恒成立，所以此函数无下确界；

对∈（0；+∞）在R上恒成立，所以此函数有下确界；

对∈{-1；0，1}在（0，+∞）上恒成立，所以此函数有下确界；

综上可知①③④对应的函数都有下确界．故选D．

考点：函数的最值。

点评：本题考查的是函数的最值和新定义相联系的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了新定义问题的特点、问题转化的思想以及函数求最值的方法．值得同学们体会反思【解析】【答案】D3、D【分析】【解析】

试题分析：（直接法）至少1个白球含恰有1个白球、恰有2个白球两种情况，概率为（间接法）对立事件是3个都是红球的概率为则至少1个白球的概率为答案选D.

考点：概率的性质与计算【解析】【答案】D4、B【分析】【解答】

数列为递减数列，并且

最大．5、C【分析】【解答】在中，延长交于∵点是的重心，∴是边上的中线，且∵∴∵∴∴

∴∴∴的最小值是故选C.6、D【分析】【解答】设直线为与椭圆联立整理得关于x的二次方程直线为

【分析】本题还可用点差法求解7、C【分析】解：由k进制数123可判断k＜5；若k=4；

38（10）=212（4）不成立．

若k=5，38（10）=123（5）成立．

∴k＜5．

故选：C．

不同进制的两个数相等，必须化成同一进制数后才可比较．所以本题的两个不同进制的数，先化成同一进制的数后再进行比较，又因为k进制数123（k）出现数字3，它至少是4进制数，而k进制数123（k）与十进制数38（10）相等；故知k值是唯一确定的，据此，从k=4开始一一代入计算，即可求得答案．

对于十进制整数转换为k进制的方法，要会换算，本题属于基本知识的考查．【解析】【答案】C二、填空题(共6题，共12分)8、略

【分析】

如图：在△A1D1C1中；

由正弦定理得：

∴

∴s=

故答案为：2．

【解析】【答案】根据三角形中应用正弦定理；做出要用的a的值，根据三角形的面积公式，做出三角形的面积．

9、略

【分析】【解析】

由82+1=65⇒f（8）=5+6=11，112+1=122⇒f（11）=1+2+2=5，52+1=26⇒f（5）=2+6=8⇒fn（8）是以3为周期的循环数列，2013除以3的余数为0，=f3（8）=11．【解析】【答案】1110、略

【分析】【解析】

试题分析：根据茎叶图可知；这十个数据从小到大依次是：18，19，21，22，22，27，29，30，30，33.这10个数据中，落在区间内的有19，21，22，22，27，29共六个，所以数据落在区间内的频率为。

故答案应填：

考点：茎叶图、频数、频率.【解析】【答案】0.611、略

【分析】【解析】

试题分析：因为==4，所以=2.

考点:平面向量数量积；向量的模【解析】【答案】212、2【分析】【解答】解：因为圆的半径为所以A（﹣2，0），连接CM，

显然CM⊥AB；

因此，四点C，M，A，O共圆，且AC就是该圆的直径，2R=AC=

在三角形OCM中，利用正弦定理得2R=

根据题意；OA=OM=2；

所以，=

所以sin∠OCM=tan∠OCM=﹣2（∠OCM为钝角）；

而∠OCM与∠OAM互补；

所以tan∠OAM=2；即直线AB的斜率为2．

故答案为：2．

【分析】因为圆的半径为所以A（﹣2，0），连接CM，显然CM⊥AB，求出圆的直径，在三角形OCM中，利用正弦定理求出sin∠OCM，利用∠OCM与∠OAM互补，即可得出结论．13、略

【分析】解：命题p

为真时，实数m

满足鈻�=m2鈭�4>0

且鈭�m<0

解得m>2

命题q

为真时，实数m

满足鈻�=16(m鈭�2)2鈭�16<0

解得1<m<3

p隆脜q

为真命题；p隆脛q

为假命题；隆脿pq

一真一假；

垄脵

若q

真且p

假，则实数m

满足1<m<3

且m鈮�2

解得1<m鈮�2

垄脷

若q

假且p

真，则实数m

满足m鈮�1

或m鈮�3

且m>2

解得m鈮�3

综上可知实数m

的取值范围是(1,2]隆脠[3,+隆脼)

．

根据鈻�>0鈭�m<0

即可求出命题p

为真时m

的取值范围，根据鈻�<0

即可求出命题q

为真时m

的取值范围；由p隆脜q

为真，p隆脛q

为假，便得到p

真q

假或p

假q

真，分别求出这两种情况下m

的取值范围再并集即可得出实数m

的取值范围．

考查一元二次不等式的解的情况和鈻�

取值的关系，解一元二次不等式，以及p隆脜qp隆脛q

真假和pq

真假的关系．【解析】(1,2]隆脠[3,+隆脼)

三、作图题(共9题，共18分)14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共2题，共14分)21、略

【分析】

（1）根据圆锥的底面半径为2；高为6；可得内接圆柱的半径为x时，它的高h=6-3x，由此结合圆柱体积公式即可列出用x表示圆柱的体积的式子；

（2）由（1）可得圆柱的侧面积S侧=6π（2x-x2）；结合二次函数的单调性与最值，可得当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．

本题给出特殊圆锥，求它的内接圆锥的侧面积的最大值，着重考查了圆柱的体积、侧面积公式和旋转体的内接外切等知识点，属于基础题．【解析】解：（1）∵圆锥的底面半径为2，高为6，

∴内接圆柱的底面半径为x时；它的上底面截圆锥得小圆锥的高为3x

因此；内接圆柱的高h=6-3x；

∴圆柱的体积V=πx2（6-3x）（0＜x＜2）（6分）

（2）由（1）得；圆柱的侧面积为。

S侧=2πx（6-3x）=6π（2x-x2）（0＜x＜2）

令t=2x-x2，当x=1时tmax=1．可得当x=1时，（S侧）max=6π

∴当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．（7分）22、略

【分析】

（1）连AC；交BD于O，连接OM，证明OM∥AP，即可证明AP∥平面BDM；

（2）由线面平行的性质定理得AP∥GH．

本题考查线面平行的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【解析】证明：（1）如图连AC；交BD于O，连接OM；

因为四边形ABCD是平行四边形；

所以O是AC的中点．

又M是PC的中点；

所以OM∥AP

又OM⊂平面BDM；AP⊄平面BDM；

所以AP∥平面BDM

（2）因为经过AP与点G的平面交平面BDM于GH；

所以由线面平行的性质定理得AP∥GH五、计算题(共4题，共20分)23、略

【分析】【解析】

(1)f'(x)＝1＋，由题意，得f'(1)＝0Þa＝02分(2)由(1)知f(x)＝x－lnx∴f(x)＋2x＝x2＋bóx－lnx＋2x＝x2＋bóx2－3x＋lnx＋b＝0设g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0)则g'(x)＝2x－3＋＝4分当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下表。x(0，)(，1)1(1，2)2g'(x)＋0－0＋G(x)↗极大值↘极小值↗b－2＋ln2当x＝1时，g(x)最小值＝g(1)＝b－2，g()＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有两个不相等的实数根高考+资-源-网由ÞÞ＋ln2≤b≤28分(3)∵k－f(k)＝lnk∴nk＝2ó(n∈N，n≥2)设Φ(x)＝lnx－(x2－1)则Φ'(x)＝－＝当x≥2时，Φ'(x)＜0Þ函数Φ(x)在[2，＋∞)上是减函数，∴Φ(x)≤Φ(2)＝ln2－＜0Þlnx＜(x2－1)∴当x≥2时，∴＞2[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋()]＝2(1＋－)＝.∴原不等式成立.12分'【解析】【答案】(1)a＝0(2)＋ln2≤b≤2(3)原不等式成立.24、略

【分析】【解析】

（1）设椭圆半焦距为c，则方程为设成等差数列由得高考+资-源-网解得6分（2）联立直线与椭圆方程：带入得12分【解析】【答案】（1）（2）25、解：【分析】【分析】由原式得∴26、解：f（x）=（t4+）|1x=x4+﹣2f（1﹣i）=（1﹣i）4+﹣2=+

f（i）=i4+﹣2=﹣1﹣i

f（1﹣i）f（i）=6+5i【分析】【分析】先根据定积分求出函数f（x）的解析式，然后分别求出f（1﹣i）与f（i）即可求出所求．六、综合题(共4题，共28分)27、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）28、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=