2025年外研版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版高一数学上册月考试卷151考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（）A.B.C.D.2、【题文】已知若是的充分不必要条件,则实数的取值范围为()A.(-∞,3]B.[2,3]C.(2,3]D.(2,3)3、【题文】已知函数（a>0且）在〔1,2〕上的最大值与最小值之差为则a的值为A.B.2C.D.4、已知函数直线是函数图像的一条对称轴，则（）A.B.C.D.5、设f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上的平均值是（）A.B.f（x）dxC.f（x）dxD.f（x）dx6、函数f（x）=sinxcosx的最小值是（）A.﹣1B.﹣C.D.17、已知集合A={1，2}，B={2，4}，则A∪B=（）A.{2}B.{1，2，2，4}C.∅D.{1，2，4}8、在等比数列{an}中，若a4=1，a7=8，则公比q=（）A.B.C.3D.29、给出下面四个命题（其中m；n，l为空间中不同的三条直线，α，β为空间中不同的两个平面）：

①m∥n；n∥α⇒m∥α

②α⊥β；α∩β=m，l⊥m⇒l⊥β；

③l⊥m；l⊥n，m⊂α，n⊂α⇒l⊥α

④m∩n=A；m∥α，m∥β，n∥α，n∥β⇒α∥β．

其中错误的命题个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)10、下面四个命题中，其中正确命题的序号为____．

①函数f（x）=|tanx|是周期为π的偶函数；

②若α；β是第一象限的角；且α＞β，则sinα＞sinβ；

③是函数的一条对称轴方程；

④在内方程tanx=sinx有3个解．11、如图，设且．当时，定义平面坐标系为–仿射坐标系，在–仿射坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：分别为与轴、轴正向相同的单位向量，若则记为那么在以下的结论中，正确的序号有．①设则②若则③若的夹角为则④若则．12、若四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，且侧棱垂直于底面，若AB1与底面ABCD成60°角，则二面角C-B1D1-C1的平面角的正切值为____．13、如图，在△ABC中，ADAB，则_________．14、【题文】棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱的中点，点分别是线段（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面则。

（1）直线被球截得的线段长为。

（2）四面体的体积的最大值是15、【题文】已知方程有两个相异的正实数解，则实数的取值范围是__________16、【题文】已知函数在［0，1］上是减函数，则a的取值范围是____．17、【题文】一个几何体的正视图为一个三角形；则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入所有可能的几何体前的编号)

①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱18、函数y=2x2﹣2x﹣3有以下4个结论：①定义域为R；

②递增区间为[1；+∞）

③是非奇非偶函数；

④值域是[∞）．

其中正确的结论是____．评卷人得分三、解答题(共9题，共18分)19、已知：（a+2）（+1）=1，求1+-的值．20、圆x2+y2=8内一点P（-1；2）．过点P的直线的倾斜角为α，直线l交圆于A；B两点．

（Ⅰ）当α=135°时；求AB的长；（tan135°=-1）

（Ⅱ）当弦AB被点P平分时；求直线l的方程．

21、如图所示；已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为△SAB上的高，D；E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．

22、一物体沿直线以速度v（t）=2t-3（t的单位为：秒；v的单位为：米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程？

23、某地区有三座工厂分别位于△ABC的三个顶点，已知．为了处理三个工厂的污水；现要在△ABC区域内（不包括边界）且与B；C等距的一点O处建立一个污水处理厂，并铺设排污管道OA、OB、OC．

（1）设OA=xkm；若要使排污管道总长不超过11km，求x的取值范围；

（2）设∠OBC=θ；当排污管道总长取最小值时，求θ的值．

24、函数满足：①定义域是②当时，③对任意总有（1）求出的值；（2）判断函数的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）写出一个满足上述条件的具体函数。25、【题文】假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.

(1)求p0的值；(参考数据：若X～N(μ，σ2)；有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974)

(2)某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？26、等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2，=2．

（1）求||；

（2）线段AB上是否存在点E，使得CE⊥BD？若不存在，说明理由；若存在，指出E点的位置．27、求经过点P(6,鈭�4)

且被定圆Ox2+y2=20

截得的弦长为62

的直线AB

的方程．评卷人得分四、证明题(共3题，共21分)28、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．29、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．30、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．评卷人得分五、作图题(共4题，共20分)31、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．32、作出函数y=的图象．33、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．34、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、B【分析】试题分析：因为正方形沿对角线折起，成为一个四棱锥，在折的过程中以面为底面，所以底面积是没有改变的，只有高在变化，当面垂直于底面时，以四点为顶点的三棱锥体积最大.如图点是的中点，所以又因为面面且面面所以面又因为所以直线和平面所成的角的为故选B.

考点：1.三棱锥的体积公式；2.二面的概念；3.直线与平面所成的角.【解析】【答案】B2、C【分析】【解析】

试题分析：由所以2＜x≤3，又a-1＜x＜a+1，因为p是q的充分不必要条件，所以解得a∈（2，3]．故选C．.

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【解析】【答案】C3、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B4、C【分析】【解答】若是函数图像的一条对称轴，则是函数的极值点，求导得故所以故选C.5、D【分析】【解答】由积分的定义可知，f（x）dx是x和f（x）围成的面积（或相反数）

而该值除以b﹣a就是平均值了。

故f（x）在[a，b]上的平均值是f（x）dx

故选D。

【分析】对f（x）积分是x=a，x=b和f（x）围成的面积（或相反数）在除以b﹣a就是平均的高了也就是平均值6、B【分析】【解答】解：∵f（x）=sinxcosx=sin2x．

∴当x=kπ﹣k∈Z时，f（x）min=﹣．

答案B

【分析】利用倍角公式可把已知转化为f（x）=sin2x的形式，结合三角函数中正弦函数最小值取得的条件，求解该函数的最小值7、D【分析】解：∵集合A={1；2}，B={2，4}；

∴A∪B={1；2，4}．

故选：D．

利用并集性质求解．

本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．【解析】【答案】D8、D【分析】解：在等比数列中，q3=

∴q=2；

故选：D

根据等比数列的通项公式进行求解即可．

本题主要考查等比数列公比的求解，根据等比数列的性质是解决本题的关键．【解析】【答案】D9、C【分析】解：①m∥n；n∥α，则m∥α或m⊂α，故①错误；

②α⊥β；α∩β=m，l⊥m，则l⊥β或l∥β或l⊂β或l与β相交；故②错误；

③l⊥m；l⊥n，m⊂α，n⊂α，若m与n相交，则l⊥α，否则不成立，故③错误；

④若m∩n=A；设过m，n的平面为γ，若m∥α，n∥α，则α∥γ；

若m∥β；n∥β，则γ∥β，则α∥β成立．故④正确；

故错误是①②③；

故选：C．

①根据线面平行的判定定理进行判断．

②根据线面垂直的性质定理进行判断．

③根据线面垂直的定义进行判断．

④根据面面平行的判定定理进行判断．

本题主要考查命题的真假判断，根据空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定定理以及性质定理是解决本题的关键．【解析】【答案】C二、填空题(共9题，共18分)10、略

【分析】

∵f（-x）=|tan（-x）|=|-tanx|=|tanx|=f（x）；又π是f（x）=tanx的周期，故①√；

∵而sinα=＜sinβ=故②×；

∵y=sinx对称轴方程是x=kπ+k∈z，当x=时，2x+==．∴③√；

∵x∈（0，），0＜cosx＜1，∴tanx=＞sinx，根据对称性，∴y=tanx与y=sinx的图象在（-）内只有一个交点（0；0），故④×；

故答案是①③

【解析】【答案】利用三角函数的性质判断；③可用整体代入求对称轴方程，可通过比较tanx与sinx的大小来判断方程的解的个数．

11、略

【分析】试题分析：对于①，①错误；对于②，由故②正确；对于③，的夹角为根据夹角公式得故即则③正确对于④，∴④错误；所以正确的是②、③．考点：命题真假的判断及应用和向量坐标运算.【解析】【答案】②、③12、略

【分析】

因为B1B⊥底面ABCD，所以AB1与底面ABCD成的角为∠B1AB，由∠B1AB=60°得B1B=

因为C1C⊥底面A1B1C1D1，连接A1C1，交B1D1与O，则C1O⊥B1D1；

连接CO，则∠C1OC即为二面角C-B1D1-C1的平面角；

在△C1OC中，C1C=B1B=C1O=

所以tan∠C1OC=

故答案为：．

【解析】【答案】因为四棱柱侧棱垂直于底面，故AB1与底面ABCD所成的角可直接找出，从而求出棱柱的高，再由三垂线定理法作出二面角C-B1D1-C1的平面角；解直角三角形即可．

13、略

【分析】【解析】

因为【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）因为点在圆上，为中点，所以直线被球截得的线段长为正方形的外接圆直径，等于（2）过做与点，连接∵

平面∥平面为平面与两平行平面的交线；

又平面

设正方体的棱长为1，则

当时，最大值为．

考点：组合体【解析】【答案】(1)(2)15、略

【分析】【解析】

试题分析：先将方程转化为一元二次方程；再结合根与系数的关系式及判别式求解。

解：令则原方程化为

根据题意，方程有两个大于1的相异实根.

令则

考点：指数函数；根的判别式；根与系数的关系．

点评：总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

此题不仅考查了根的判别式的应用，还应用了根与系数的关系以及配方法的运用，增根的判断．【解析】【答案】16、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】(1，2)17、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】①②③⑤18、①③【分析】【解答】解：函数y=2x2﹣2x﹣3的图象是开口朝上，且顶点为（）的抛物线；函数的定义域为R，故①正确；

函数递增区间为[+∞），故②错误；

函数是非奇非偶函数；故③正确；

函数的值域是[∞），故④错误．

故答案为：①③

【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一分析各个结论的真假，可得答案．三、解答题(共9题，共18分)19、略

【分析】【分析】首先将所求的代数式化简，然后再将的值整体代入求解．【解析】【解答】解：由题意，知：=+1；

原式=1+（-）

=1+

=1-

=1-（+1）

=-．20、略

【分析】

（Ⅰ）当α=135°时，kAB=-1；得直线AB的方程为y-2=-（x+1），（2分）

∴直线AB方程为x+y-1=0．

故圆心（0，0）到AB的距离d=（4分）

从而得到弦长|AB|=2．（6分）

（Ⅱ）∵圆x2+y2=8的圆心为O（0；0），P（-1，2）

∴由直线的斜率公式算出OP的斜率kop=-2；

又∵弦AB被点P平分；可得OP与AB互相垂直。

∴直线AB的斜率（9分）

因此，直线l的方程为y-2=（x+1）；化简得x-2y+5=0．（12分）

【解析】【答案】（I）根据题意；直线AB的方程为x+y-1=0，由点到直线的距离公式算出圆心（0，0）到AB的距离，再由垂径定理即可求出弦AB的长；

（II）由圆的几何性质；得弦AB被点P平分时OP与AB互相垂直．因此先算出OP斜率，从而得到AB的斜率，利用直线的点斜式方程列式，即可求出直线l的方程．

21、略

【分析】

根据题意；可得SG与平面DEF的位置关系是SG∥平面DEF；

证明如下：

如图所示；连接CG交DE于点H；

∵DE是△ABC的中位线；∴DE∥AB．

又∵在△ACG中；D是AC的中点，且DH∥AG．

∴H为CG的中点；可得FH是△SCG的中位线；

∴FH∥SG．

又∵SG⊄平面DEF；FH⊂平面DEF；

∴SG∥平面DEF．

【解析】【答案】如图所示；连接CG交DE于点H．在△ABC利用中位线定理证出DH∥AG，再由平行线的性质得到H为CG的中点，从而得到△SGC中FH∥SG，最后根据直线与平面平行的判定的判定定理，可证出SG∥平面DEF，得到本题答案．

22、略

【分析】

∵当时，

当时，．

∴物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程。

=（米）

【解析】【答案】先求出v（t）=2t-3在t∈（0；5）的符号，然后分别求出每一段的定积分，最后相加即可求出所求．

23、略

【分析】

（1）设BC中点为D；由AB=AC及OB=OC知，O点在线段AD上。

km

设AO=x，则0＜x＜3（2分）

由OA+OB+OB≤11知（3分）

即

平方化简有：3x2-2x-1≤0（5分）又0＜x＜3

故0＜x≤1（6分）

（2）设∠OBC=θ，则

∴

则（8分）

令得

故k2≥3，又k＞0，故（10分）

则

此时有：即得

又故

故（12分）

（若由（1）知得平方化为x的二次方程△≥0得Lmin亦可．）

【解析】【答案】（1）设BC中点为D；由AB=AC及OB=OC知，O点在线段AD上，设OA=xkm，求出AD，若要使排污管道总长不超过11km，即OA+OB+OB≤11，解不等式即可求x的取值范围；

（2）设∠OBC=θ；求出排污管道总长的表达式，求出取最小值时的θ值即可．

24、略

【分析】

（1）令有（2）在单调递减事实上，设且则在上单调递减（3）其中可以取内的任意一个实数【解析】略【解析】【答案】25、略

【分析】【解析】解：(1)由于随机变量X服从正态分布N(800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700由正态分布的对称性；可得。

p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800＋P(700(2)设A型；B型车辆的数量分别为x；y辆，则相应的营运成本为1600x＋2400y.

依题意；x，y还需满足x＋y≤21，y≤x＋7；

P(X≤36x＋60y)≥p0.

由(1)知，p0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p0等价于36x＋60y≥900.

于是原问题等价于求满足约束条件

且使目标函数z＝1600x＋2400y达到最小的x；y.

作可行域如图所示；可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．

由图可知，当直线z＝1600x＋2400y经过可行域的点P时，直线z＝1600x＋2400y在y轴上截距最小；即z取得最小值．

故应配备A型车5辆、B型车12辆．【解析】【答案】(1)0.9772(2)配备A型车5辆、B型车12辆26、略

【分析】

（1）||=利用向量的运算法则即可求得；

（2）假设存在=t时，使得CE⊥BD，则=0，即（-）（+）=0；进行向量运算即可求得t．

本题主要考查向量的运算知识，解题时注意向量的夹角别弄错了．【解析】解：（1）∵AB=BC=2，=2．

∴==

∴||====．

（2）假设当=t时；使得CE⊥BD；

∵=-=+

∴=0，即（-）（+）=0；

+--=0

2t×-4-2××（-）=0；

解得t=．

E点满足=时，使得CE⊥BD．27、略

【分析】

直线AB

的斜率存在，且|AB|=62OA=25

作OC隆脥AB

于C

设直线的方程为kx鈭�y鈭�6k鈭�4=0

由圆心到直线的距离为2

得17k2+24k+7=0

由此能求出直线方程．

本题考查直线方程式的求法，考查圆、直线方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．【解析】解：由题意知，直线AB

的斜率存在，且|AB|=62OA=25

作OC隆脥AB

于C

．

在Rt鈻�OAC

中，|OC|=20鈭�(32)2=2

．

设所求直线的斜率为k

则直线的方程为y+4=k(x鈭�6)

即kx鈭�y鈭�6k鈭�4=0

．

隆脽

圆心到直线的距离为2

隆脿|6k+4|1+k2=2

即17k2+24k+7=0

隆脿k=鈭�1

或k=鈭�717

．

故所求直线的方程为x+y鈭�2=0

或7x+17y+26=0

．四、证明题(共3题，共21分)28、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．29、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠