【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第8章-第1节-简单几何体及其三视图和直观图

第八章第一节一、选择题1．(2022·江西高考)一几何体的直观图如下图，下列给出的四个俯视图中正确的是()[答案]B[解析]本题考查三视图．由俯视图的概念可知选B．2.右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是()A．3 B．2C．1 D．0[答案]A[解析]本题主要考查三视图及空间想象力气．对于①，存在这样的三棱柱，如图三棱柱，对于②，存在这样的四棱柱，如长方体，对于③，存在这样的圆柱，如把圆柱横向放置即可，故选A．3．一个几何体的三视图外形都相同、大小均相等，那么这个几何体不行以是()A．球 B．三棱锥C．正方体 D．圆柱[答案]D[解析]本题考查了几何体的三视图，在这四个几何体中，圆柱的三视图必定是不同的，三视图的定义是三个方向上的正投影．4．下列命题中，成立的是()A．各个面都是三角形的多面体确定是棱锥B．四周体确定是三棱锥C．棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥确定是正棱锥D．底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥确定是正棱锥[分析]结合棱锥、正棱锥的概念逐一进行考查．[答案]B[解析]A是错误的，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥；B是正确的，三个面共顶点，另有三边围成三角形是四周体也必定是个三棱锥；对于C，如图所示，棱锥的侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正棱锥；D也是错误的，底面多边形既有内切圆又有外接圆，假如不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥．[点评]本题考查棱锥、正棱锥的概念以及四周体与三棱锥的等价性，当三棱锥的棱长都相等时，这样的三棱锥叫正四周体．推断一个命题为真命题要考虑全面，应特殊留意一些特殊状况．5．(2022·新课标Ⅰ)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥 B．三棱柱C．四棱锥 D．四棱柱[答案]B[解析]本题考查三视图由三视图学问几何体是三棱柱，留意是平放的三棱柱．6.右图为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．1 D．eq\r(2)[答案]B[解析]如图，在平面直观图中，B′C′＝1，∠B′C′D′＝45°，∴B′D′＝eq\f(\r(2),2).二、填空题7．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图确定是三角形；②正方形的直观图确定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图确定是菱形．以上结论正确的个数是________．[答案]1[解析]由斜二测画法的规章可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不行能是平行四边形；而菱形的直观图也不愿定是菱形，④也错误．8．如图所示，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________．(要求：把可能的图的序号都填上[答案]②③[解析]由正投影的定义，四边形BFD1E在面AA1D1D与面BB1C1C上的正投影是图③；其在面ABB1A1与面DCC1D1上的正投影是图②；其在面ABCD与面A1B1C1D1上的正投影也是9．如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影可能是________(填出全部可能的序号)．[答案]①②③[解析]空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′上的投影是①；在面BCC′B′上的投影是②；在面ABCD上的投影是③，故填①②③.三、解答题10．右图为一简洁组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2.(1)画出该几何体的三视图；(2)求四棱锥B－CEPD的体积．[解析](1)如图所示：(2)∵PD⊥平面ABCD，PD平面PDCE，∴平面PDCE⊥平面ABCD．∵BC⊥CD，∴BC⊥平面PDCE.∵S梯形PDCE＝eq\f(1,2)(PD＋EC)·DC＝eq\f(1,2)×3×2＝3，∴四棱锥B－CEPD的体积VB－CEPD＝eq\f(1,3)S梯形PDCE·BC＝eq\f(1,3)×3×2＝2.一、选择题1．将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为()[答案]B[解析]本题考查了依据几何体的直观图来推断其三视图．左视图为实线为AD1，虚线为B1C．在画几何体的三视图时，尤其要留意区分实线与虚线．2．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A．eq\f(\r(3),4)a2 B．eq\f(\r(3),8)a2C．eq\f(\r(6),8)a2 D．eq\f(\r(6),16)a2[分析]先依据题意画出直观图，然后依据直观图△A′B′C′的边长及夹角求解．[答案]D[解析]如图①、②所示的实际图形和直观图．由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)A．∴S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.二、填空题3.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2eq\r(3)，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．[答案]2eq\r(3)[解析]本小题考查内容为几何体的三视图．设边长为a，∴S底面＝eq\f(\r(3),4)a2，∴V＝eq\f(\r(3),4)a3＝2eq\r(3)，∴a＝2，∴俯视图的高为eq\r(3)，∴S矩形＝2eq\r(3).4．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．[答案]2eq\r(3)[解析]由主视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分(四棱锥C1－ABCD)，还原在正方体中，如图所示．多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，如图即AC1.由正方体棱长AB＝2知最长棱AC1的长为2eq\r(3).三、解答题5．已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝2AB＝4.(1)依据已经给出的此四棱锥的主视图，画出其俯视图和左视图．(2)证明：平面PAD⊥平面PCD．[解析](1)(2)∵PA⊥平面ABCD，PA平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD．又CD平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD．6．(文)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.[分析]由三视图的外形大小，还原成几何体；再利用体积公式和表面积公式求解．[解析](1)由该几何体的俯视图、主视图、左视图可知，该几何体是四棱锥．且四棱锥的底面ABCD是边长为6和8的矩形，高VO＝4，O点是AC与BD的交点．∴该几何体的体积V＝eq\f(1,3)×8×6×4＝64.(2)如图所示，OE⊥AB，OF⊥BC，侧面VAB中，VE＝eq\r(VO2＋OE2)＝eq\r(42＋32)＝5，∴S△VAB＝eq\f(1,2)×AB×VE＝eq\f(1,2)×8×5＝20，侧面VBC中，VF＝eq\r(VO2＋OF2)＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，∴S△VBC＝eq\f(1,2)×BC×VF＝eq\f(1,2)×6×4eq\r(2)＝12eq\r(2).∴该几何体的侧面积S＝2(S△VAB＋S△VBC)＝40＋24eq\r(2).[点评]由三视图还原成几何体，需要对常见的柱、锥、台、球的三视图格外生疏，有时还可依据三视图的状况，还原成由常见几何体组合而成的组合体．(理)已知正三棱