2025年沪科新版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科新版高一数学上册阶段测试试卷492考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、已知点在直线上，点在直线上，中点为且则的取值范围为（）.A.B.C.D.2、【题文】已知圆在曲线的内部，则半径的范围是（）A.0<<B.0<<2C.0<<2D.0<<43、如果等差数列中，那么()A.14B.21C.28D.354、圆柱底面圆的半径和圆柱的高都为2，则圆柱侧面展开图的面积为（）A.4πB.C.8πD.5、点（3，9）关于直线x+3y-10=0的对称点为（）A.（-13，1）B.（-2，-6）C.（-1，-3）D.（17，-9）评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)6、已知向量则与同向的单位向量的坐标为____________.7、【题文】已知a、b为非零向量，若当且仅当时，取得最小值，则向量a、b的夹角为___________.8、过点A（﹣1，0）且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为____9、已知奇函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的减函数，且f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0，则t的取值范围是____．10、△ABC中，cosA=cosB=则cosC=____．11、过点A（-2，1）且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为______．评卷人得分三、解答题(共6题，共12分)12、已知=-1；求下列各式的值：

（1）

（2）sin2α+sinαcosα+2．

13、【题文】已知二次函数的最小值为且关于的一元二次不等式的解集为

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）设其中求函数在时的最大值

（Ⅲ）若（为实数），对任意总存在使得成立，求实数的取值范围.14、随州市汽车配件厂，是生产某配件的专业厂家，每年投入生产的固定成本为40万元，每生产1万件该配件还需要再投入16万元，该厂信誉好，产品质量过硬，该产品投放市场后供应不求，若该厂每年生产该配件x万件，每万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=．

（1）写出年利润关于年产量x（万件）的函数解析式；

（2）当年产量为多少万件时，该厂获得的利润最大？并求出最大利润．15、已知在△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．16、在等差数列{an}中，a1=其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=4，q=b2S2．

（I）求an与bn；

（Ⅱ）设数列{cn}满足cn=an•bn，求{cn}的前n项和Tn．17、已知圆x2+y2=r2，点P（x0，y0）是圆上一点，自点P向圆作切线，P是切点，求切线的方程．评卷人得分四、证明题(共4题，共20分)18、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．19、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．20、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．21、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分五、计算题(共1题，共2分)22、已知：x=，y=，则+=____．评卷人得分六、作图题(共1题，共5分)23、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、C【分析】根据题意作图如下，因为PQ中点为M，则点M的坐标满足方程x+2y+1=0,又则点M在直线y=x+2的左上部，且由得则并且直线x+2y+1=0的斜率而可视为点M与原点O连线的斜率，故【解析】【答案】C2、B【分析】【解析】

试题分析：因为，圆及均关于原点、坐标轴对称，且圆在曲线的内部，且表示对角线长为的正方形；

所以，0<<2选B.

考点：圆的方程。

点评：简单题，注意利用图形的对称性，确定r受到的限制。【解析】【答案】B3、C【分析】【解答】根据题意由于等差数列中，而结合等差中项的性质可知，故答案为C.

【分析】主要是考查了等差数列的求和公式的运用，属于基础题。4、C【分析】解：圆柱的侧面积展开图的面积S=2π×2×2=8π；

故选C．

圆柱侧面积=底面周长×高．

本题考查圆柱的侧面积计算公式．【解析】【答案】C5、C【分析】解：设点（3，9）关于直线x+3y-10=0的对称点为（a，b），则由求得

故点（3；9）关于直线x+3y-10=0的对称点为（-1，-3）；

故选：C．

设点（3，9）关于直线x+3y-10=0的对称点为（a，b），则由求得a、b的值；可得点（3，9）关于直线x+3y-10=0的对称点的坐标．

本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂直、和中点在对称轴上这两个条件，属于基础题．【解析】【答案】C二、填空题(共6题，共12分)6、略

【分析】【解析】试题分析：与之同向的向量设为其中所求向量为考点：向量的坐标运算及单位向量共线向量【解析】【答案】7、略

【分析】【解析】

试题分析：设向量的夹角为则构造函数因为当且仅当时，取得最小值，所以当时，函数有最小值，即时，函数有最小值，又所以解得

考点：1.向量；2.二次函数.【解析】【答案】8、2x﹣y+2=0【分析】【解答】解：设与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为2x﹣y+c=0；

把点A（﹣1；0）代入，得﹣2﹣0+c=0；

解得c=2；

∴过点A（﹣1；0）且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为2x﹣y+2=0．

故答案为：2x﹣y+2=0．

【分析】设与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为2x﹣y+c=0，再把点A（﹣1，0）代入，求出c，从而得到结果．9、（0，1）【分析】【解答】解：∵函数f（x）是定义在（﹣1；1）上的减函数，且是奇函数；

故f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0可化为：

即f（1﹣t）＜﹣f（1﹣t2）；

即f（1﹣t）＜f（t2﹣1）；

即﹣1＜t2﹣1＜1﹣t＜1；

解得：t∈（0；1）；

故答案为：（0；1）．

【分析】由已知中奇函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的减函数，可将f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0转化为﹣1＜t2﹣1＜1﹣t＜1，解得t的取值范围．10、【分析】【解答】解：在△ABC中，由cosA=cosB=可知A，B均为锐角，则

sinB=

∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=．

故答案为：．

【分析】由已知求出sinA，sinB的值，由cosC=﹣cos（A+B），然后展开两角和的余弦求解．11、略

【分析】解：①直线过原点时，由两点式易得，直线方程为

②直线不过原点时；设截距为a

∴

∴a=-1

∴直线方程为：y=-x-1

故答案是或y=-x-1

分情况讨论；直线过原点和不过原点两种情况．

本题考查待定系数法求直线方程．【解析】y=-或y=-x-1三、解答题(共6题，共12分)12、略

【分析】

由已知得tanα=

（1）

（2）sin2α+sinαcosα+2

=sin2α+sinαcosα+2（cos2α+sin2α）

=

=

=

【解析】【答案】由已知得tanα=

（1）由于已知tanα，故考虑把所求的式子化为正切的形式，结合tanα=可知把所求的式子分子；分母同时除以。

cosα即可。

（2）同（1）的思路，但所求式子没有分母，从而先变形为分式的形式，分母添1，而1=sin2α+cos2α；以下同（1）

13、略

【分析】【解析】

试题分析：（Ⅰ）属于三个二次之间的关系，由一元二次不等式的解集为可知二次函数有两个零点分别为-2,0.求得a与b的关系，再根据的最小值为-1，得的值求出解析式,(Ⅱ)由（Ⅰ）得出解析式再利用二次函数动轴定区间思想求解,（Ⅲ）利用(Ⅱ)得出的解析式，再利用单调性求得k的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）0,2是方程的两根，又的最小值即

所以（4分）

（Ⅱ）

分以下情况讨论的最大值

（1）.当时，在上是减函数；

（6分）

（2）.当时，的图像关于直线对称；

故只需比较与的大小.

当时，即时，（8分）

当时，即时；

.（9分）

综上所得.（10分）

（Ⅲ）函数的值域为

在区间上单调递增，故值域为对任意总存在使得成立，则

（14分）

考点：解析式求法,二次函数求最值,恒成立问题.【解析】【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）14、略

【分析】

（1）利润=收入-成本。

（2）由分段函数；在各个段上讨论．利用基本不等式，可得最值．

本题考查分段函数与应用题问题．在各个段上分类来看．由基本不等式可得最大值．【解析】解：（1）设年利润为w万元；

则年利润=年收入-年成本。

∴w（x）=xR（x）-16x-40=

（2）∵利润与产量的函数为分段函数。

①0＜x≤40时，w（x）=-6x2+384x-40

x=32时；w（x）取最大，最大值为11634

②x＞40时，w（x）=-16x-+7360≤-1600+7360=6000

当且仅当x=50时；取等号．

由①，②得，当x=50时，即产量我50万件时，利润取得最大，最大利润为6000万元．15、略

【分析】

设则==（3-6λ，2-8λ）．由于AD为BC边上的高，可得．

=（1-6λ，3-8λ）．利用=0；向量模的计算公式即可得出．

本题考查了向量的坐标运算、向量垂直与数量积的关系、向量模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．【解析】解：设则==（3；2）+λ（-6，-3）=（3-6λ，2-3λ）．

∵AD为BC边上的高，∴．

=（1-6λ；3-3λ）．

∴=-6（1-6λ）-3（3-3λ）=0，解得λ=．

∴=（-1；2）．

∴=．

=（1，1）．16、略

【分析】

（I）根据b2=q，列方程组计算q与S2，从而得出{an}的公差，从而得出{an}，{bn}的通项公式；

（II）使用错位相减法求出Tn．

本题考查了等差数列，等比数列的通项公式，数列求和，属于中档题．【解析】解：（I）∵{bn}为等比数列，公比为q，b1=1；

∴b2=q，∴解得q=3，S2=1．

∵a1=∴a2=．∴{an}的公差为．

∴an==bn=3n-1．

（II）cn==n•3n-2．

∴Tn=1×3-1+2×30+3×31+4×32++n×3n-2；①

∴3Tn=1×30+2×31+3×32+4×33++（n-1）×3n-2+n×3n-1；②

①-②得：-2Tn=3-1+30+31+32++3n-2-n×3n-1=-n×3n-1=（）3n-1-．

∴Tn=+．17、略

【分析】

分两种情况考虑：当切线方程的斜率不存在时，显然切线方程为x=x0；当切线方程的斜率存在时；要求过P的切线方程，就要求直线的斜率，先根据O和P的坐标求出直线OP的斜率，根据直线与圆相切时切线垂直与经过切点的半径得到直线OP与切线垂直，即可求出切线的斜率，得到切线方程．

考查学生灵活运用圆切线的性质定理，掌握两直线垂直时所满足的条件，会根据一点坐标与斜率写出直线的方程．【解析】解：当切线方程的斜率不存在时，切线方程为：x=x0；

当切线方程的斜率存在时；

由x2+y2=r2，可知圆心为原点（0，0），所以直线OP的斜率k=

根据所求切线与直线OP垂直得到切线的斜率k′=-

则切线方程为y-y0=-（x-x0）；

即x0x+y0y-x02-y02=0；

综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2．四、证明题(共4题，共20分)18、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．19、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．20、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=21、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；