Polya计数法置换群于对称群课件

置换群与Polya计数法课程纲要1置换群概念置换群定义、性质及应用2对称群对称群的定义和性质3循环置换循环置换的定义和性质4Polya计数法Polya计数法的基本思想及应用对称群的结构对称群Sn是由集合{1,2,...,n}上的所有置换组成的群。每个置换都是一个将集合元素重新排列的映射，可以表示为一个二维数组，其中第一行表示原始元素，第二行表示元素被映射到的位置。对称群Sn的结构可以表示为一个Cayley图，图中的节点表示群中的元素，边表示群运算。由于对称群是一个非交换群，因此Cayley图通常是非对称的。置换群概念引入集合和映射置换群建立在集合和映射的基础上。首先定义一个集合，它包含了一组元素。然后定义一个映射，它将集合中的元素映射到集合本身中的其他元素。群的定义置换群是一种特殊的群，它由集合上的双射映射组成。这些映射必须满足群的定义，即封闭性、结合律、单位元和逆元。置换群的性质封闭性置换群中任意两个置换的乘积仍然是该群中的一个置换。单位元置换群中存在一个单位元，它与任何置换的乘积都等于该置换。逆元置换群中每个置换都存在一个逆元，它们相乘等于单位元。置换群的阶置换群的阶指的是群中元素的个数，也就是置换的总数。置换群的元素分类对换仅交换两个元素位置，其余元素保持不变的置换称为对换。循环置换将一组元素按照特定顺序循环排列，形成一个封闭的循环，称为循环置换。复合置换由多个对换或循环置换组合而成的置换，称为复合置换。循环置换定义在一个置换中，如果元素按照某个顺序排列，使得每个元素都映射到下一个元素，最后一个元素映射到第一个元素，则称该置换为循环置换。表示法循环置换通常用圆括号表示，例如(132)表示元素1映射到3，3映射到2，2映射到1。长度循环置换的长度是指循环中包含的元素数量，例如(132)的长度为3。循环置换的性质循环置换的阶一个循环置换的阶等于它的长度。循环置换的逆循环置换的逆等于将循环置换中的元素顺序反转。循环置换的乘积两个循环置换的乘积可以通过将它们连接起来得到。置换群的子群置换群的子群是其自身的一个非空子集，并且满足群的定义。子群必须包含群的单位元，并且对于子群中的任意两个元素，它们的乘积和逆元也属于子群。子群的概念帮助我们理解置换群的内部结构，以及其元素之间的关系。对称群的子群1定义对称群的子群是指对称群中满足群运算封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在的子集。2性质对称群的子群也是群，且其阶为对称群阶的因子。3重要性对称群的子群在研究对称群结构和计数问题中起着重要作用，可以帮助我们理解对称群的性质和应用。Polya计数法引入1对称群理解对称群结构，为Polya计数法奠定基础2置换群置换群概念是Polya计数法的核心3Polya计数法运用群论解决组合计数问题Polya计数法的基本思想等价类划分Polya计数法基于将所有可能的结果划分成等价类，即对称性相同的对象归为一类。Burnside引理利用Burnside引理计算每个等价类中元素的个数，进而求得所有等价类的个数。Polya定理公式表示Polya定理利用群论和组合数学理论，提供了一种计算不同着色方案的方法。应用场景该定理广泛应用于化学、物理、计算机科学等领域，解决着色、排列、组合等问题。应用Polya定理解决计数问题问题分析明确计数对象、着色方案和对称群。循环指标计算对称群中每个置换的循环指标。Polya定理利用Polya定理计算着色方案数。结果验证检验结果是否符合实际情况。Polya定理的证明思路1循环指标计算群作用下不动点的数量2置换群定义群作用，并分析不动点3Burnside引理将不动点与群元素联系简单应用举例例如，假设我们要对一个圆形进行染色，可以使用三种颜色：红色、蓝色和绿色。我们想知道有多少种不同的染色方式？我们可以用Polya定理来解决这个问题。首先，我们需要确定圆形的所有对称性。圆形有6种对称性：旋转0度、旋转60度、旋转120度、旋转180度、旋转240度和旋转300度。我们可以用置换群来表示圆形的所有对称性。例如，旋转60度的置换可以表示为(123456)，其中1被映射到2，2被映射到3，以此类推。复杂应用举例1例如，考虑一个六边形，我们想要用两种颜色对其六个面进行染色，那么有多少种不同的染色方案？我们可以使用Polya定理来解决这个问题。首先，我们需要找出所有可能的染色方案。由于有两种颜色，所以每个面有两种选择，总共有2^6=64种可能的染色方案。接下来，我们需要考虑对称群。对于六边形，它的对称群是D6，包含12个元素，包括旋转和翻转。复杂应用举例2例如，求解一个正六边形的所有不同的染色方案，每个顶点可以染上红、黄、蓝三种颜色，旋转或翻转后相同的方案算作同一种方案。复杂应用举例3马赛克图案使用Polya计数法，可以计算出有多少种不同的马赛克图案，这些图案由不同颜色的瓷砖组成，并且这些图案可以被旋转或翻转。几何图案Polya计数法也适用于计算几何图案的数量，例如可以计算出有多少种不同的三角形、正方形或五边形图案，这些图案可以使用不同的颜色进行绘制。复杂应用举例4利用Polya计数法，可以计算不同类型的项链的个数。例如，假设我们要用三种颜色的珠子串成一条项链，每条项链上共有5颗珠子，问有多少种不同的项链?复杂应用举例5考虑一个正六边形，每个顶点可以染成红色或蓝色，求有多少种不同的染色方案？我们可以使用Polya定理来解决这个问题。首先，我们需要确定对称群的元素，即六边形的所有对称变换。然后，我们可以计算每个对称变换下的染色方案数，并使用Polya定理求得总的染色方案数。课程总结置换群对称群是重要的数学结构，Polya计数法是解决对称物体计数问题的有力工具。Polya定理理解循环置换和等价类是掌握Polya定理的关键。利用Polya定理可以有效解决各种计数问题。典型习题演练1例题1求一个四面体的所有对称变换构成一个群。例题2求一个正方形的所有对称变换构成一个群。典型习题演练2题目1将一个正方形染色，用红、蓝、绿三种颜色，每个正方形的四个顶点都必须染成不同的颜色。求有多少种不同的染色方案。题目2用三种颜色给六个点染颜色，每个点的颜色都可以相同或不同。求有多少种不同的染色方案？典型习题演练3问题描述请描述一个具体的应用场景，并解释如何使用Polya计数法解决该问题。解答思路首先明确问题中需要计数的对象，然后确定对称群的结构，最后利用Polya定理计算计数结果。解题步骤详细列出解题步骤，包括确定对称群、计算循环指标、应用Polya定理等。典型习题演练4习题内容计算将10个相同的球放入3个不同的盒子里，要求每个盒子至少有一个球的方案数。解题步骤首先将10个球放入3个盒子，不考虑每个盒子至少有一个球的限制，共有C(10+3-1,3-1)=66种方案。然后考虑每个盒子都为空的方案，共有C(10+3-1,3-1)=66种方案。最终，将10个球放入3个盒子，要求每个盒子至少有一个球的方案数为66-66=0。典型习题演练5将一个正方体染成三种颜色，每面一种颜色，问有多少种不同的染色方案？利用Polya计数法，我们首先分析正方体的对称性。正方体的对称群有48个元素，包括旋转和反射。我们可以将对称群分成若干个循环置换类，每个循环置换类对应一种染色方案。例如，将正方体旋转90度，每个面都会旋转到另一个面，这对应一个4个元素的循环置换。同样地，将正方体绕着一个面中心旋转180度，对应一个2个元素的循环置换。根据Polya定理，不同的染色方案数等于对称群中所有循环置换类中，颜色分配方案数的平均值。我们计算每个循环置换类中，颜色分配方案数，并将结果加起来，最后除以48，就可以得到最终答案。课后思考题如何将Polya