湖南省长沙市雅礼教育集团2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷(解析)

高中数学精编资源2/2雅礼教育集团2024年上学期期末考试试卷高一数学时量：120分钟分值：150分命题人：邹佳乐审题人：张鎏彭熹一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简求解不等式，再由交集运算可得.【详解】由解得，，由解得，，则，故选：C.2.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法计算可化简复数，进而可得.【详解】由，所以，故选：B.3.某同学掷骰子5次，记录了每次骰子出现的点数，则从以下情况中可以判断出这组数据一定没有出现点数6的是（）A.平均数为3，中位数为2 B.中位数为3，众数为2C.中位数为3，方差为2.8 D.平均数为2，方差为2.4【答案】D【解析】【分析】举特例可说明的A、B、C正误，利用方差的计算公式可判断D.【详解】五次点数分别为2，2，2，3，6时，满足平均数为3，中位数为2，故A中可出现点数6;五次点数分别为2，2，3，5，6时，满足中位数为3，众数为2，故中可出现点数6;五次点数分别2，3，3，6，6时，满足中位数为3，方差为2.8，故中可出现点数6;若平均数为2，出现了6，那么方差至少为，故中不可能出现点数6，故选：.4.已知，为第三象限角，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数的商数与平方关系求解，再根据所在象限求解即,代入可得.【详解】由，得，所以，联立，解得，因为为第三象限角，所以，故故选：C.5.函数有两个零点的充分不必要条件是（）A. B.C.或 D.【答案】A【解析】【分析】由题意求出a的取值范围，结合选项判断哪个选项对应集合为其真子集，即可确定答案.【详解】函数有两个零点，则有2个不等实数根，即或，由于，故为函数有两个零点的充分不必要条件，显然，均不能推出或，不符合题意；或是函数有两个零点的充分必要条件，故选：A6.设点、，若直线与线段相交，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可知为直线在轴上的截距，数形结合求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围.【详解】如下图所示：化直线方程为，则为直线在轴上的截距，观察图象可知，当直线过点时，取最小值，此时，可得；当直线过点时，取最大值，此时，可得.综上所述，的取值范围是.故选：C.7.已知正数，满足，则当取得最小值时，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件，利用基本不等式及取等号的条件，可得，，即可求出结果.【详解】由题意可得，平方得，当且仅当，即，时取得等号，故取得最小值时，.故选：A.8.已知四面体ABCD的各顶点均在球的球面上，平面平面，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先找和的外接圆的圆心，过圆心分别作两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点就是球心.【详解】如图，取BC的中点为E，BD的中点为，所以为的外心，连接AE，EF，设的外心为，因为，即为等边三角形，所以点在AE上，且设球心为，连接OG，OF，则平面平面BCD，因为平面平面BCD，所以，因为为等边三角形，为BC的中点，所以，因为平面平面BCD，平面平面，面，所以平面BCD，则，又平面BCD，所以，同理平面ABC，所以，故四边形OGEF矩形.由，可得，故，又，设球的半径为，则，所以球的表面积.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”.则下列说法正确的是（）A.A与相互独立 B.A与互为对立C.与互斥 D.与相互独立【答案】ABD【解析】【分析】依次列出样本空间，事件A、B、C、D包含的基本事件，由事件的基本关系及概率公式一一判定选项即可.【详解】依题意可设2个红球为，2个白球为，则样本空间为：，共12个基本事件.事件A，共4个基本事件.事件B，共6个基本事件.事件C，共6个基本事件.事件D，共8个基本事件.对于A选项，因，则，故A与相互独立，故A正确；对于B选项，注意到，得A与互为对立事件，故B正确；对于C选项，注意到，则与不互斥，故C错误；对于D选项，因，，，则，故D与相互独立，故D正确.故选：ABD10.已知函数，则下列命题正确的是（）A.的最小正周期为；B.函数的图象关于对称；C.在区间上单调递减；D.将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象与函数的图象重合．【答案】AB【解析】【分析】根据二倍角的正弦公式和辅助角公式可得，结合余弦函数的图象与性质依次判断选项即可求解.【详解】.A：函数的最小正周期为，故A正确；B：，为的最小值，故B正确；C：由，得，所以函数在上单调递增，故C错误；D：将函数图象向左平移个单位长度，得图象，与函数的图象不重合，故D错误；故选：AB11.如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点．则下列结论正确的是（）A.存在点．使得B.存在点，使得平面C.三棱锥的体积不是定值D.存在点．使得【答案】BCD【解析】【分析】对于A，由、即可判断；对于B，若为中点，根据正方体、线面性质及判定即可判断；对于C，只需求证与面是否平行；对于D，证明平面即可判断.【详解】对于A，在正方体中，，，则四边形为平行四边形，所以，，而为线段的中点，四边形为正方形，所以为的中点，所以，若存在点，使得，且、不重合，又，所以，这与矛盾，假设不成立，A错误；对于B，若为中点，则，而，故，又面，面，则，故，因为，、平面，则平面，所以存在使得平面，B正确；对于C，正方体中，，，所以，四边形为平行四边形，则，而面，故与面不平行，所以Q在线段上运动时，到面的距离不是定值，又的面积为定值，故三棱锥的体积不是定值，C正确；对于D，因为，平面，，所以平面，又平面，所以，所以若点与点重合，则，D正确，故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知向量，若共线，则____________．【答案】【解析】【分析】根据向量共线即可确定的取值．【详解】向量，，若，共线，则有，则有，．故答案为：．13.底面半径为4的圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为1，母线长为3的圆锥，则所得圆台的侧面积为__________.【答案】【解析】【分析】根据相似可得母线，进而利用圆锥的侧面积公式即可求解.【详解】如图，设原圆锥的母线为，则，则，所以圆台的侧面积为：.故答案为：14.已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且，则的周长为______.【答案】9【解析】【分析】由题知，进而结合题意得，，再根据余弦定理解方程即可得答案.【详解】解因为，所以，又因为，所以，又为锐角，所以，由余弦定理得，解得或，因为当时，，此时一定不是钝角，故舍去.所以，所以的周长为.故答案为：9四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，，分别为的三个内角，，的对边，且.（1）求角；（2）若，的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知根据余弦定理求解，然后根据特殊角的函数值求解即可；（2）结合完全平方和公式利用余弦定理求得，然后代入三角形面积公式求解即可.【小问1详解】由余弦定理，所以，又，所以.【小问2详解】因为，所以，因为，由已知得，故，故，所以.16.已知四边形为直角梯形，为等腰直角三角形，平面平面，为的中点，．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理可得答案；（2）根据可得答案．【小问1详解】因为．所以，可得，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，四边形为直角梯形，为等腰直角三角形，所以，因为，平面，所以平面；【小问2详解】因为，为等腰直角三角形，所以，因为为的中点，所以到平面的距离为，，，所以.17.亚运聚欢潮，璀璨共此时.2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛．为更好地了解该校学生对本届亚运会有关赛事和知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查的结果绘制的学生成绩频率分布直方图如图所示，（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计这600名学生成绩的中位数；（3）根据频率分布直方图，按分层抽样的方法从成绩在的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率．【答案】（1）（2）80（3）【解析】【分析】（1）根据各矩形面积之和为1，列式计算，即可求得a的值；（2）根据频率分布直方图，结合中位数的求解方法，即可求得答案；（3）求出内的人数之比，根据分层抽样可求得两组各抽取的人数，列举出从这5人中任意选取2人的所有可能情况，再列举出这2人中至少有1人成绩不低于90分的情况，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【小问1详解】由频率分布直方图，得，解得；【小问2详解】由频率分布直方图，得，，则估计这600名学生成绩的中位数为80；【小问3详解】由题意得，成绩在的频率为，成绩在的频率为，频率之比为，所以按分层抽样的方法从中选取5人，成绩在的学生有2人，分别记为，成绩在的学生有3人，分别记为，从这5人中任意选取2人，有，共10种选法，其中至少有1人成绩不低于90分的选法有，，共9种，所以这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率.18.如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明；（2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明；（3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解.【小问1详解】因为且，所以四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面；【小问2详解】由平面，平面，得，连接，由且，所以四边形为平行四边形，又，所以平行四边形为正方形，所以，又，所以，又平面，所以平面，由平面，所以平面平面；【小问3详解】由平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故为二面角的平面角，即，在中，，作，垂足为M，由（2）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，则为直线在平面上的投影，所以为直线与平面所成的角，在中，，所以，在中，，即直线与平面所成角的正弦值为.19.若函数满足且，则称函数为“M函数”．（1）试判断是否为“M函数”，并说明理由；（2）函数为“M函数”，其在的图象落在直线上，在函数图象上任取一点P，对于定点，求线段AP的最小值；（3）函数为“M函数”，且当时，，求的解析式；若当，关于x的方程（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S．【答案】（1）不是“M函数”，理由见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由“函数”的定义，即可判断；（2）结合函数的周期性和对称性，画出函数的图象，利用数形结合转化为点到直线的距离，即可求解；（3）首先结合“函数”的定义，利用周期性和对称性求函数的解析式，再画出函数的图象，讨论得到取值，利用对称性求和.【小问1详解】的周期为，满足，，，，所以函数不是“函数”；【小问2详解】若为“M函数”，满足且，所以函数的周期为，且函数关于对称，根据，函数的图象落在直线上，利用对称性和周期性画出函数的图象，设，，所以，根据周期可知，的图象，如上图所示，线段的最小值就是如图点到直线的距离，根据