第5章 刚体力学

刚体力学◆本章学习目标了解刚体的基本运动形式，在此基础上掌握质心运动定理、转动定律、刚体定轴转动的动能定理及动量矩守恒定律。◆本章教学内容刚体的基本运动（平动、定轴转动）、质心运动定理、刚体的转动惯量及转动定律、刚体定轴转动的动能定理、动量矩守恒定律。◆本章教学重点1．刚体运动的描述（角速度、角加速度）。2．质心运动定理。3．刚体的转动惯量及转动定理。4．刚体定轴转动的动能定理。5．动量矩定理及动量矩守恒定律。◆本章教学难点1．质心概念。2．转动惯量。3．转动定律。◆本章学习方法建议及参考资料1．本章内容是新学内容注意学生对难点的理解；2．采用多种教学方法加强对知识点的教学。参考教材东南大学等七所工科院校编，《物理学》，高等教育出版，1999年11月第4版

§5.1刚体的基本运动刚体：是受力时不改变形状和体积的物体。它是物体的理想化模型。刚体的组成：刚体可以看成有许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点是，在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。刚体的基本运动形式有：一、平动概念：刚体在运动中，连接体内两点的直线在空间的指向总保持平行的运动。如图5.1所示，刚体做平动运动，但是刚体内各点的轨迹可能是曲线。刚体做平动时，其上各质元的运动情况都是相同的，了解了某一质元的运动就掌握了整个刚体的运动情况，故平动刚体的运动可以简化为质点。二、定轴转动在此运动中，各质元均做圆周运动，且各圆图5-1刚体的平动的圆心都在一条固定不动的直线上，这条直线叫转轴，这种运动为定轴转动。图5-1刚体的平动用角量来描述刚体的定轴转动：1．角速度为刚体在时间内转过的角位移。的方向用右手螺旋法则确定：四指弯向质点的运动方向，大拇指所指方向就是角速度的方向。角加速度线量和角量之间的关系刚体上某质元距转轴的距离为,则质元的线速度和角速度的关系为：而其加速度与角加速度的关系分别为刚体定轴转动时，若角加速度保持不变，则刚体做匀变速转动。=0和时刻的角速度，用表示0到时刻这一段时间内的角位移。匀变速转动的相应公式为：例题5.1P83

§5.2质心运动定理一、质心设质点系有N个质点组成，以分别表示各质点的质量，以分别表示各质点对某一坐标原点的位矢，则此质点系质心的位矢为(5-9)在直角坐标系各坐标轴上的分量为(5-10)质心位矢可用积分法求得(5-11)它在直角坐标系中的分量式分别为(5-12)二、质心运动定理对（5－9）式对时间求导，得质心运动速度为(5-13)由此得故质心动量为(5-14)质心动量的变化率(5-15)质点系所受外力和质心加速度的关系(5-16)此即质心运动定理。它表明质心的运动如同整个质点系的质量集中在质心的一个质点的运动。

§5.3刚体的转动惯量质点运动中，质量是质点惯性的量度。而在刚体运动中，转动惯量是角速度变化的量度。一、刚体的转动惯量设在转动刚体上有一质量为质元，距转动轴的垂直距离为，则刚体转动惯量定义为:（5-17）对于连续分布的刚体，上述求和应以积分代替，即（5-18）表示刚体密度，表示的体积元，＝，得（5-19）如果刚体是均匀的，密度是常量，上式又可改写为（5-20）讨论：刚体的转动惯量与下列因素有关（1）与物体的质量有关。（2）与转轴的位置有关。（3）与转轴的位置有关。在SI中，转动惯量的量纲为,单位是。二、平行轴定理设有两平行的轴和，两轴之间的距离，其中通过刚体的质心（图5-6），现在来讨论刚体对两根平行轴的转动惯量之间的关系。zz’xx’yy’图5-6平行轴定理质元与轴和的距离分别为和，在两坐标系中的坐标分别为（zz’xx’yy’图5-6平行轴定理因将其代入的表达式，得因，于是（5-21）三、垂直轴定理设有一薄板，建坐标系，轴垂直于板面，轴和轴在板面内图5-7垂直轴定理

图5-7垂直轴定理

,显然，

§5.4转动定律图5-8力矩图5-8力矩一、力矩如图，刚体所受外力F在垂直于转动轴的转动平面内，作用点P在转动平面内相对于转轴的位置矢量为，作用力F相对于转轴的力矩M定义为的大小的方向：与成右手螺旋系SI单位制中：单位和量纲分别是和二、转动定律如图5-8所示，在刚体上任取一质元，位矢为，所受的外力和内力，均在所在的平面内，它们与的夹角分别为和，由牛顿第二定律得将上式投影至圆周轨道的法向和切向将第二式两边分别乘以得上式左边第一项和第二项分别为外力和内里的力矩，对刚体中的所有质元求和得根据牛顿第三定律，所有内力距之和为0，于是有等式左边是作用在刚体上所有外力的力矩总和M，故得即这就是刚体定轴转动的转动定律。

§5.5刚体定轴转动的动能定理一、刚体的动能所有质点的动能之和即为该时刻整个刚体转动的动能。即：二、力矩的功设以表示作用在刚体上P点的外力，当刚体绕固定轴有一角位移设以表示作用在刚体上P点的外力，当刚体绕固定轴有一角位移时，力做的元功为就是力对转轴的力矩M。因而有对于有限的角位移，力矩所做的功如果力矩是恒量功率P图5-11力矩的功三、刚体绕定轴转动的动能定理在刚体的转动定律中，对作如下变换有设刚体在力矩M作用下，角速度由变化到，角位置由变化到，则即刚体动能增量等于刚体所受外力距做的功，这就是刚体动能定理。

§5.6动量距守恒定律图5-12yz图5-12yzx先讨论单个质点绕故定轴转动的情况如图5-12，质量为的质点具有线动量，如图5-12，质量为的质点具有线动量，为质点的位矢，定义质点绕轴转动的动量距为：（5-6-1）大小：方向：遵从右手螺旋法则，即在轴上。如图5-13，对定轴转轴刚体来说，其中任一质元的动量距为整个刚体对轴的动量距为 方向在轴上，且与角速度方向一致，所以用矢量式表示为（5-6-2）此即刚体绕定轴转动的动量矩，单位：图5-13刚体定轴转动的角动量图5-13刚体定轴转动的角动量 2.动量矩定理引入动量矩概念后，很容易由转动定律推出刚体定轴转动的动量矩定理，由可得（5-6-3）故（5-6-4）即刚体对