2022届新高考版数学小题狂练（分专题专练12份+综合模拟12份）含解析

小题专练01

函数、导数与不等式（A）

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.（考点:函数的定义域,★）函数/（x）=^lg（2x+3）的定义域是（）.

A.（-1z3）B.（-8,3）C.（-p+oo）D（3,1）

2.（考点:导数的几何意义,★）若曲线y=f（x）=^x2+ax+b在点（4/（4））处的切线方程是2*沙+1=0,则（）.

A.a=10,b=lB.a=-2,b=-9C.a=-2,b=9D.a=2,b=-9

3.（考点:函数单调性与奇偶性的综合应用,★★）已知定义在R上的偶函数/（x）在区间［0,+8）上单调递减，则满

足f（3x-l）明8）的x的取值范围是（）.

A.（-3,9产a）C.（-；,3）D.（-8,-3）UG，+

4.（考点:函数的图象★★）函数的图象大致为（）.

5.（考点:函数的零点,★★汨知函数小）弋：：?4^20若函数g（M如）亦有三个不同的零点,则实数m的

取值范围为（）.

A.(3,4)B.(-4,-3)C[3,4]D.(3,6)

6.（考点:均值不等式,★★股。＞。力＞0,若9是3。与3。的等比中项，则牌的最小值为（）.

A.4B.214

7.（考点:利用导数研究函数的单调性,★★★）若函数f（x）=kx-sinx在区间上单调递增,则实数A的取值

范围是（）.

All*)B.K，+8)C.(l,+8)D.&+8)

8.(考点：导数的综合应用，★★★)已知奇函数/W的导函数为八x),当x>0时/(x)+第>0.若

。塌(T)力=#，)，c=/H)，则a，b£的大小关系为().

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对

的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:不等式的综合应用,★)已知则p成立的一个必要不充分条件可以是().

X-1

A.l<x<2B.-2<x<3C.-2<x<4D.-3<x<2

10.(考点:函数的基本性质,**)下列函数中，既是偶函数，又在(0,+8)上单调递增的是().

+432-2X)B./(x)=ex+e*C.f(x)=x2+5D./(x)=cosx

11.(考点:均值不等式,★★)已知正实数x,y满足x+2y=l,则军可能的值为(I.

xy

A.3B,6C.7D.9

12.(考点:导数的应用,★★★)设/(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数/(x),gk)分别为其导函数，当

x<0时/'(X)•g(x)tflx),g'(x)<0且g(-5)=0,则使得不等式/(x)•g(x)v0成立的x的值可以是().

A.-6B.-4C4D.6

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.(考点:函数的基本性质,★★)函数/(x)=lognx2.2x+3)的单调递增区间是值域是.

2

14.(考点:函数单调性的应用,★★)若函数/(X)=X2+4(°+2)X+3在(-8,4］上不是单调函数,则实数a的取值范围

是.

15.(考点:均值不等式,★★同数y=logo(x-3)+2(a>0且aWl)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-2=0上,

其中m,〃均大于0,则土J的最小值为____.

mn

16.(考点:利用导数研究函数的极值,★★★)已知函数HX)=33+2X2_5X+2的极大值为a,极小值为b,则

a+b=.

答案解析:

函数、导数与不等式(A)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.(考点:函数的定义域,★)函数/(x)—+lg(2x+3)的定义域是().

B.(-8,3)C.(W+8)D.(-3Z-1)

【解析】要使函数有意义，则。即{::,即**3,

所以函数的定义域为3).

故选A.

【答案】A

2.(考点:导数的几何意义,★)若曲线y=f(x)=^x2+ax+b在点(4/⑷)处的切线方程是2年户1=0,则().

A.a=10,b=lB.a=-2,b=-9C.a=-2,b=9D.a=2,b=-9

2

【解析】因为f［x}=^x+ax+btfJx以r(x)=x+。，由题可知八4)=2,所以a=-2.

又切点坐标(4/(4))满足切线方程2x-y+l=0,H4)=b,所以8-b+l=0,解得b=9.

故选C.

【答案】C

3.(考点:函数单调性与奇偶性的综合应用,★★)已知定义在R上的偶函数/(x)在区间［0,+叼上单调递减，则满

足f(3x-l)4(8)的x的取值范围是().

A.(・3,9B.(・OO「9U(3,+8)C.(q,3)D.(・8/3)UG，+8)

【解析】因为/(x)是定义在R上的偶函数；

所以f(3x-l)寸(8)等价于f(/3x-l/)与⑻.

又因为f(x)在［0,+8)上单调递减，

所以/3x・l/>8,

所以3x-l<-3或3x-l>8,

解得x<?或X>3,

故x的取值范围为(-8,1)U(3，+8).故选B.

【答案】B

4.(考点:函数的图象,★★)函数f(x)工的图象大致为().

【解析】由题意，函数段)=工的定义域为{x/x£R,x#2},排除A;乂加)<0,排除C;R1)〉O,排除D.故选B.

2*-4

【答案】B

5.(考点:函数的零点,★★)已知函数/(x)=《：2X+4~X^>0若函数g(x)手冈加有三个不同的零点,则实数m的

取值范围为().

A.(3,4)B.(-4,-3)C.[3,4]D.(3,6)

【解析】函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点等价于函数y=/(x)与y=m的图象有三个不同的交点，

作出函数/(x)的图象如图所示.

函数小m的图象为水平的直线，由图象可知，当m£(3,4)时，两函数的图象有三个不同的交点，即函数g(x)有三

个不同的零点.故选A.

【答案】A

6.(考点:均值不等式,★★股a>0,b>0,若9是3。与36的等比中项，则用的最小值为().

ab

A.4B.2C,-D.-

【解析】因为9是3。与3b的等比中项，

所以3。・36=3"。=92,即a+b=4t

所端中。碗+泥屋抬)士但，

当且仅当竺《，即。《力弓时，等号成立，

ab33

所以戋的最小值为X

Gb4

故选D.

【答案】D

7.(考点:利用导数研究函数的单调性,★★★)若函数f(x}=kx-slnx在区间(T，9上单调递增,则实数k的取值

范围是().

A.[l」8)B.[T，+8)C.(l,+8)D.&+8)

[解析】由题意可得f(x)=k-cosx,因为f(x)在G，。上单调递增，所以r(x)20在(q上恒成立，口叮

20,所以A21.故选A.

【答案】A

8.(考点：导数的综合应用，★★★)已知奇函数/W的导函数为八x),当x>0时/(x)+第〉0.若

。=义-》力寺0储寸(-1),则a,b,c的大小关系为().

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【解析】令g(x)=x2/(x),则g'(x)=2xf(x)+x2f'(x).

由题意可知当x>0时,2犷X)+*2/卜)>0,即当x>0时,g'(x)>0,所以函数g(x)在。+叼上单调递增.

又函数/(x)为奇函数，所以g(-x)=(-x)2-f{-x)=-x2・/(x)=-g(x),所以函数g(x)为奇函数,所以当x<0时，函数g(x)单调

递增.

因为所以(尚)>g(-i)，所以o>b>c.

【答案】B

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对

的得5分,部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.(考点:不等式的综合应用,★)已知则p成立的一个必要不充分条件可以是().

A.l<x<2B.-2<x<3C.-2<x<4D.-3<x<2

【解析】由/loW0o(x・l)(x-2)<0=lvxv2,所以选项A为p成立的充要条伟选项B、C、D为p成立的必

要不充分条件.

【答案】BCD

10.(考点:函数的基本性质,★★)下列函数中，既是偶函数，又在。+8)上单调递增的是().

A./(x)=ln(Vl4-4x2-2x)B./(x)=e*+exC./(x)=x2+5D./(x)=cosx

【解析】由题意，易知A,B,C,D四个选项中的函数的定义域均为R,

对于选项+4%2+2x)+ln(<l+4%2-2x)=0,则/(x)=ln(4l+4%2办)为奇函数,故选项A不符合题

意；

对于选项B/(-x)=e*+e*=/(x),即f(x)=ex+e"为偶函数，当x£(0,+3)时，设t=e*(t>l),则*t*由对勾函数的性质可

得，片用在tw(l,+8)时是增函数，又任e'单调递增，所以段)=眇+铲在。+叼上单调递增,故选项B符合题

意；

222

对于选项Ctf(-x)=(-x)+5=x+5=f(x),g|Jf(x)=x+5为偶函数，由二次函数的性质可知/(X)=X2+5在(0,+8)上单调递

增,故选项C符合题意；

对于选项D,由余弦函数的性质可知y=cosx是偶函数,但不在(0,+3)上单调递增,故选项D不符合题意.

综上,BC正确.

【答案】BC

11.(考点:均值不等式,★★)已知正实数x,V满足x+2片1,则岸可能的值为().

“y

A.3B.6C.7D.9

【解析】因为x.y都为正实数，所以工「=叶型#旦至=3#型/>3+2户W=3T2鱼(当且仅当肛=¥,即、=

xyxyxyyjxy\xy

6时取等号)，显然6>3+2企,7>3+2夜,9>3+2/,故选项B,C,D符合题意.

【答案】BCD

12.(考点:导数的应用,★★★股/(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数/(x),gW分别为其导函数，当

x<0时/'(X)・g(x)+/W・g〈x)<0且g(-5)=0,则使得不等式加)・g(x)<0成立的x的值可以是().

A.-6B.-4C4D.6

【解析】：7(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,・M-x)=-/(x),g(-x)=g(xj,

令h(x)=f(x)•g(x),则h(-x)=-h(x),

故帅)寸(x)•g(x)为定义在R上的奇函数.

:•当x<0时/(X)・g(x)+/(x)・g，(x)<0,

即当xvO时,/)'(xH'(x)・g(x)fflx)・g'(x)<。,

•:MMHx)•g(x)在区间(-8,0)上单调递减,

・：奇函数Mx)在区间叼上也单调递减，

如图，：？(-5)=0,

•:65)=0,

・"(-5)=6(5)=0,

•:当(-5,0)U(5,+8)时力(x)寸(x)・g(x)<0.

故选BD.

【答案】BD

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.(考点:函数的基本性质,★★)函数/W=log«x2_2x+3)的单调递增区间是值域是.

2

【解析】令t=・x2-2x+3,贝IJ由-x2-2x+3>0,可得

又因为y=log域为减函数,而函数t=-x2-2x+3在区间(-3,-1)上单调递增，在(-1,1)上单调递减.故f(x)=logK-x2_2x+3)

22

在区间(・3,・1)上单调递减，在(-1,1)上单调递增.

易知t=-x2-2x*3在区间(-3,1)上的值域为。4],故/(x)=logit的值域为卜2,+叼.

2

【答案】(；,1)[2+8)

14.(考点:函数单调性的应用,★★)若函数f(x)=x2+4(a+2)x+3在(-=,4]上不是单调函数,则实数a的取值范围

是.

【解析】由题意可得,Hx)图象的对称轴为直线x=-2(a+2),且满足-2(82)<4,解得。>-4.

故实数a的取值范围为(-4,+8).

【答案】(-4,+8)

15.(考点:均值不等式,函数y=logo(x-3)+2(a>0且的图象恒过定点A,若点、A在直线mx+ny-2=0上,

其中m,n均大于0,则工J的最小值为____.

mn

【解析】由题意可得点44,2),代入mx+ny-2=0得4m+2〃-2=0,即2mw=l.

所以”=U+r)(2m+〃)=3区江=3+2企,当且仅当之等即m=l^n=V2-l时等号成立.

mn\mn/mnyjmnmn2

【答案】3+2企

16.(考点:利用导数研究函数的极值.★★★)已知函数HX)=，3+2X2-5X+2的极大值为。，极小值为b,则

a+b=.

【解析】：HX)=#+2X2-5X+2,•：/(X)=X2+4X-5.令八刈=。,解得x=-5或x=l.

列表如下：

X(・8厂5)-5(51)1(148)

M+0-0+

fM/极大值极小值/

二a=f(-5)=答力41)=刍

・・.a+b,1=-0-6--2--10-4.

333

【答案】—

小题专练02

函数、导数与不等式(B)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.(考点:分段函数求值,★)设函数/(x)=(32r/X-°'则f(/(-2))=().

(5-log3x,x>0,

A.-1B1C.2D.3

2.(考点:函数的奇偶性,★W已知函数/(x)是定义域为R的奇函数，当x20时,/(x)=-x2+x+b,则当xvO时J(x)的解

析式为().

A.f(x)=x2+xB.f(x)=x2-x

C.f(x)=-x2+xO.f[x}=-x2-x

3.(考点:函数值比较大小,★★)已知a=G)力=3"c=logo.25,则a,b,c的大小关系是().

A.a«〈bB.c<b<a

C.b<c<aD.c<a<b

4.(考点:函数单调性的应用,★★)若函数/团/缶⑷无+2，x<'在定义域内单调递增，则实数0的取值范围是

(axl,x>2

().

A.[4,5)B.(4,5)

C.(3,5)D.(2,5)

5.(考点:均值不等式,★★)设cr>O,d>O,lg4是lg2。与lg8b的等差中项，则^^的最小值为().

A.2V2B."C.3D.9

22

6.(考点:利用导数研究函数的极值,★★★)若x=l是函数/)=(12+2ax-2)e*1的极值点，则/(x)的极小值为

().

A.2e3B.-2e3C.-D.-

44

3x+4x<0

{LX；~；若函数y=/(xk有三个零点,则实数。的取

值范围是().

A.[0,2]

B.O2)

C.(-8,o]U[2,+8)

D.(-8,O)U(2,+8)

8.(考点:导数的综合应用,★★★)已知定义在R上的奇函数/(刈满足f(・l)=l.若/(X)的导函数/仅满足/'(X)VX3+2X,

则不等式/(X),〈9+X2的解集为().

A.(0,+8)B.(0,1)

C.(l,+8)

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对

的得5分,部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.(考点:不等式的综合应用,★★)若a,b为正实数，则a>b的充要条件可以为().

AY：B.lna<\nb

ab

Calna<b\v\bD.a-b<e0-eb

10.(考点:函数的基本性质,★★)下列命题正确的是().

人若函数/(刈在(2020,2021)上有零点,则一定有/(2020)・/(2021)<0

B.函数y半h是偶函数

J16力

C.若函数/(x)=lg(ax2+5x+5)的值域为R,则实数。的取值范围是［o,：］

D.若函数/(x)满足条件#x)-4/G)=x,(x£R,xWO),则/W=.(x+今/。)

11.(考点:均值不等式,★★)下列说法正确的是().

A.若x,y>0,x+y=4,则T+V的最小值为8

B.若xv；,则函数y=2xtj的最大值为-2

ZZX-1

C.若x,y>0,x+y+xy=3,贝|Jxy的最/卜值为1

D.函数片焦的最小值为4

12.(考点:导数的综合应用,★★★)已知函数/年)=百等，则下列结论正确的是().

A.函数f(x)只有一个零点

B.函数/(X)只有极大值而无极小值

C.当-e<k<0时，方程Hx)=k有且只有两个实根

D.若当x£比+8)时/x)max=V，则t的最大值为2

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.(考点:不等式的解法,★)若关于x的不等式ax2+bx+4>0的解集为{讣2<%<1},则2a-b=

14.(考点:导数的几何意义★★错函数/(x)=ax+lnx的图象在点Q,f(3)处的切线与直线x-3y+l=0垂直，则实

数。=.

15.(考点:不等式的综合应用,★★★)已知x>0,y>0,且工J=2,若x+y2m2+/)恒成立，则实数m的取值范围

是.

16.(考点:导数的综合应用,★★为设函数/W=e,g(x)W，则函数g(x)W(x>0)的最大值为_____;若对任意

x铲

应为£(0,+8),不等式券12或蹩恒成立,则正数k的最小值是________.

KKT1

答案解析:

函数、导数与不等式(B)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.(考点:分段函数求值,★)设函数-°,则M-2))=().

(5-log3x,x>0,

A.-1B.lC.2D.3

【解析】州-2))寸(3242)月m)=5-log334=l.故选B.

【答案】B

2.(考点:函数的奇偶性.★★)已知函数"x)是定义域为R的奇函数，当x20时/(x)=・x2+x+b,则当xvO时,/(x)的解

析式为().

A./(x)=x2+xB.f(x)=x2-x

C.f(x)=-x2+xO.f(x)=-x2-x

【解析】由题意可得，当x=0时,/(0)=b=0,因为当xvO时,-x>0,所以#-X)=-(-M2-X=*2-X,

所以当x<0,f(x)=-f(-x)=-(-x2-x)=x2+x.

故选A.

【答案】A

3.(考点:函数值比较大小,★★旧知力=3；c=logo.25,则a,b,c的大小关系是().

A.a<c〈bB.c<b<a

C.b<c<aD.c<a<b

4

［解析］*l<b=32<e=a/c=logo.25<0,

,\c<t<a.

故选B.

【答案】B

4.(考点:函数单调性的应用,★★)若函数/(X)/(5-Q)X+2,”<2,在定义域内单调递增，则实数0的取值范围是

1ax」,x>2

().

A.［4,5)B.(4,5)

C.(3,5)D.(2,5)

5-a>0,

a>lf

{(5-a)x2+2<a,

解得4Wa<5,

所以实数a的取值范围是[4,5).

故选A.

【答案】A

5.(考点:均值不等式,★★)设力>0,他4是1g2。与lg8b的等差中项，则六的最小值为().

A.2V2B.竽D.9

【解析】：1g4是1g2。与lg8b的等差中项,

・：2lg4=lg2。+幅8)

即lg16=lg(20・8b)=lg2日

.*.a+3b=4.

•:死=C+》(a+3b)xi=14xQ+21号管，当且仅当茎哼即a=2存2,b=智时取等号.

・：T的最小值为卫篝

ab2

【答案】B

6.(考点:利用导数研究函数的极值,★★★匿x=l是函数/(x)=Qx2+2ax-2)e*1的极值点，则/(x)的极小值为

().

A2e-3B-2e3**

【解析】由题意可得_f(x)=(x+2a)e*-i+(*+2ax-2)exl=[1x2+(2a+l)x4-2a-2]ex'1,

因为「(1)=0,所以a1/(x)=(/2%-2)ex」,F(x)=G*2+^x-^exl.

令f(x)>0,解得x/或x>l;令F(x)v0,解得=<xvl.

所以f(x)在(-8,彳)(1，+8)上单调递增,在(彳,1)上单调递减，

所以f(x)的极小值为的)=G+.2卜】-1=,故选C.

【答案】C

3%+4x<0

皿2十；~；若函数y=f(xk有三个零点,则实数。的取

(|2zx-2|,x>0,

值范围是().

A.[0,2]

B.(0,2)

C.(-8,o]U[2,+8)

D.(-8,o)u(2,+8)

【解析】

画出/(x)的图象如图所示.要使函数y=f(x)-a有三个零点,则函数Hx)的图象与直线y=a有三个交点，结合图象

可知实数。的取值范围是。2).

【答案】B

8.(考点:导数的综合应用,★★★)已知定义在R上的奇函数/(x)满足.若/(x)的导函数八x)满足八刈</+2*,

则不等式/(X)4Z+X2的解集为().

A.(0,+8)B.(0,1)

C.(l,i)D.U)

【解析】设g(x)=：+x2./(x),则g,(x)=x3+2x-f(x).

因为,f'(x)<x3+2x,所以g'(x)>0,

所以g(x)在R上单调递增.

又#x)是定义在R上的奇函数，则/(l)=^(-l)=-lz

所以刈=%1+1=]

44

所以不等式f(x)*<*x2等价于不等式g(x)>g(l),解得x>l.

故选C.

【答案】C

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对

的得5分,部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.(考点:不等式的综合应用,★★)若a.b为正实数，则a>b的充要条件可以为().

A.^<rB.lna<lnb

Calna<blnbD.a-b<e0-eb

【解析】对于A选项，因为a,b为正实数,所以衿泡故A选项符合题意;

对于B选项，因为a,b为正实数，所以Ina<lnboavb,故B选项不符合题意；

对于C选项，取a=e2>b=e,则e2lne2=2e2,elre=e,即alna<b\nb不成立，故C选项不符合题意；

对于D选项，令y=ex-x,因为当x>0时,y'>0,所以y=ex-x在(0,+00)上单调递增，即

a>b^>ea-a>eb-b<^a-b<ea-eb,^D选项符合题意.故选AD.

【答案】AD

10.(考点:函数的基本性质,★★)下列命题正确的是().

从若函数段)在(2020,2021)上有零点,则一定有将2020)・/(2021)<0

B.函数是偶函数

2

C.若函数/(x)=lg(ax2+5x+5)的值域为R,则实数a的取值范围是［。图

D.若函数/x)满足条件纲-4尼)=x,(xwR,x#0),贝ijHx)弋(x十加#。)

【解析】对于选项A,函数/(x)在(2020,2021)上有零点，不一定有『(2020)・/(2021)<0,选项A错误；

对于选项B,函数y平4的定义域为(一4,4),且/):要生弓丝丝=4,满足Rx月(X)，所以段)是偶函数，选项

J16-X2/16-x2/16-x2116-x2

B正确;

对于选项C,函数/(x)=lg(ax2+5x+5)的值域为R,当a=0时，满足条件,

当心。时，由忆黑。心0,解得。,抬，

综上，实数a的取值范围是［。用，选项C正确;

对于选项D,函数/(x)满足条件/(X)-4/G)=X(XeR,X#0),

贝lJ/(9・4/(x)W，解得/(x)=・表(％+§)(x#0),选项D正确.

故选BCD.

【答案】BCD

11.(考点:均值不等式,★★)下列说法正确的是().

A.若x,y>0,x+y=4,贝I」2，+2,的最小值为8

B.若xv；,则函数y=2x七七■的最大值为-2

C.若x,y>0,x+y+xy=3,贝I」xy的最/卜值为1

D.函数尸条的最小值为4

【解析】对于选项A,x,y>0,x+y=4,则2乂+2。2恬万=8,当且仅当2*=2。即x=y时取等号，所以2"2丫的最小值为

8,故选项A正确；

对于选项B,当xv；时,函数片2乂代=-(1-2%+义)+lW-2/(I于幻•2+1=-1,当且仅当l-2x=S-,即x=0时取等

ZZX-1\1-ZXz-M1-ZX1-2X

号,故选项B错误；

对于选项C,若x,y>0,x+y+xy=3,则xy+2^^W3,即OvJ^Wl,故xy〈l,所以xy的最大值为1,故选项C错误；

对于选项D,函数丫=焉=4四**2JQTI•高=4,当且仅当7^11=熊，即x=±或时取等号,

故选项D正确.

故选AD.

【答案】AD

12.(考点:导数的综合应用,★★★)已知函数川0=学,则下列结论正确的是().

A.函数f(x)只有一个零点

B.函数/(X)只有极大值而无极小值

C.当-e<k<0时，方程Hx)=k有且只有两个实根

D.若当x£比+8)时/x)max=V，则t的最大值为2

［解析】对于选项A/(X)=O=X2+X-I=O,解得、=手，所以A选项错误；

对于选项B/(x)=2?=出警，

exe*

令r(x)〉。，得；<xv2;令r(x)<0,得x<-l或x>2,

所以函数f(x)的单调递减区间是(-8,川,(2,+8),函数f(x)的单调递增区间是H,2),所以/(-I)是函数的极小

值,/(2)是函数的极大值，所以B选项错误；

对于选项C,当X-+8时加)-0,根据选项B可知，函数/(x)的最小值是/(-l)=-e,再根据单调性可知，当-evkvO时,

方程f(x)=k有且只有两个实根,所以选C项正确；

对于选项D,因为/(2)=持,结合图象可知,t的最大值是2,所以D选项正确.

故选CD.

【答案】CD

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.(考点:不等式的解法,★)若关于x的不等式。、2+队+4>0的解集为{讣2<x<1},则2a-b=

【解析】由题意可知-2和1是方程62+%+4=0的两根，

±=-2_

所以Ri'解得［”2

Q

所以25b=2

【答案】-2

14.(考点:导数的几何意义,★★)若函数/(x)=Ox+lnx的图象在点处的切线与直线x-3y+l=0垂直，则实

数。=.

【解析】因为函数/(x)=ax+lnx的导数为/'(x)=a*,

所以/W的图象在xW处的切线斜率为a+2,

由该切线与直线x-3y+l=0垂直，

可得a+2=-3,

解得。=-5.

【答案】-5

2

15.(考点:不等式的综合应用,★★★)已知x>0,y>0,且二J=2,若x+y^m4m恒成立，则实数m的取值范围

yz

是.

【解析】由弱=2可得x+y=(x+y)-&+；)X/号©+引力/根唇今当且仅当然御x=1,y=3时等号

成立.

22

又x+y^m-4m恒成立，所以m-4m^(x+y)min/

故/7)2号团/,即2m2+3m-9W0,

解得-3Wm《李

【答案】卜3图

16.(考点:导数的综合应用,★★★成函数张)今,g(x)=》则函数g(x)或(x>0)的最大值为港对任意

出'2£(0,+8),不等式陪或鲁恒成立,则正数k的最小值是_______.

K/CT1

【解析】：加)右、>0),

e入

铲・x・e41-x

■-------—.

(ex)

由g'(x)>0可得0<x<l,此时函数g(x)单调递增,

由g'(x)<0可得x>l,此时函数g(刈单调递减,

•:g(x)的最大值为g(l)=-.

e

若对任意XIM£(0,+8),不等式陪W缜恒成立，则等价为料《士恒成立,

/(X)=年l=x222。工=2,当且仅当X3,即x=l时等号成立，

XX1^1XX

故朋的最小值为2,且g(x)的最大值为g⑴福则怒的最大值为!■吟

由广;2；,得k(2e-l)21,即所以k的最小值为1

K+12e2e-l2e-i

【答案W白

小题专练03

三角函数、平面向量与解三角形(A)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.(考点三角函数的定义,★)若角a的终边过点(-sin45°,cos30°),则sin。=().

A£B./C-巫DY

2552

2.(考点:三角恒等变换，★旧知tan。=-4,则cos(n-2a)=().

.3_3_15_3V10

A.-B-C.—D.------

5101710

3.(考点：平面向量与三角函数的综合，★★)已知向量a=(sina,3),b=(-l,cos。),且a±b,则

sin2a.、

"7~=()•

sinacosa+cos2a

A.-B-C.1D.-

322

4.(考点:三角函数的图象与性质,★★)若函数y=3sin(3x+。)的图象关于点管,0)中心对称，则/。/的最小值为

().

A.”C；D.三

36412

5.(考点:平面向量的数量积,★★股向量a.b满足/a+b/=3,/a-b/=2,则a•b=().

A.1B-C.-D.-

424

6.(考点:三角函数的图象变换,★★)函数/(x)=4sin(3X+0)(力>0,3>0,|如V当的部分图象如图所示，为了

得到y=sin卜的图象，只需将/(x)的图象上().

A.各点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移?个单位长度

6

B.各点的横坐标变为原来的条再向右平移g个单位长度

C.各点的横坐标变为原来的2倍,再向左平移!个单位长度

D.各点的横坐标变为原来的右再向左平移:个单位长度

7.(考点:正、余弦定理的综合应用,★★★)□,知在△43C中⑼b,c分别为内角AfBtC所对的边，且a=2,ccos

4+acosC=¥bcosBAABC的面积S=V5,则b=().

A.V13B.714C.2V7D.V21

8.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数/(x)=V5sin2(2n-3x)+sinQXCOSQX呼，且

fta)=6+1瓜8)=心若I司的最小值是五,则下列结论正确的是().

A.3=1,函数/(x)的最大值为1

B.3彳,函数f(x)的最大值为旧+1

C.3彳，函数/(X)的最大值为V5+1

D.函数#x)的最大值为1

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对

的得5分,部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.(考点:三角恒等变换,★★)下列各式中，值为:的有().

A.咨n30。cos30°

B.cos230°-sin230°

C.l-2cos230°

D.sin230°+cos230°

10.（考点:平面向量的坐标运算,★★）已知向量a+b=（5,3）,a-b=（-3,l）,c=（-2,l）,设a.b的夹角为，，则（）.

A./a/=/b/B.a_Lc

C.b//cD.cos8=^^

85

11.（考点:三角函数的基本性质,★★）已知函数/（x）=sinx”cosx/,则下列命题正确的是（）.

A.该函数为奇函数

B.该函数的最小正周期为2n

C.该函数的图象关于直线x三对称

D.该函数的单调递增区间为[《+2kir4+2kn],A£Z

12.（考点:解三角形,★★★）已知△48C的内角AB,C的对边分别为a,b,c,则下列四个命题中正确的是（）.

A.若02+52_.2<0,则△4”一定是钝角二角形

B.若3上」,则8c一定是等边三角形

cosAcosBcosC

C.若acosA=bcos8,则△ABC一定是等腰三角形

D.若bcosC=ccos8,则△A8c一定是等腰一:角形

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.（考点:向量共线的条件,★★）已知。=（3,2）力=化5）,若9+28）〃（4。-3切,则k=.

14.（考点:两角和与差的正、余弦公式,★★旧知£为锐角,cos。=1闾11（。+，）若,则85B=.

15.（考点:平面向量的数量积,★★旧知等边△48C的边长为6,平面内一点P满足而毛而,褊，则

PA-PB=.

单调递增区间为.

答案解析：

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.（考点:三角函数的定义,★）若角a的终边过点（-sin45°,cos30°）,则sin。=（）.

B./C-巫D

A£255Y2

【解析】由题意可知角。的终边过点（・4,当），

V3「

故sin=工=■二

二+倒

【答案】B

2.（考点:三角恒等变换,★）已知tan。=-4,则cos"-2。）=（）.

A.-B—D

510%-

u-RFTT*.,c\c?.■>-cos2a+sin2a-l+tan2a-1+1615

【解析】由题息得,cos(n-2a)=-cos2a=-cos2a+sm2a=—^-----=——；-----=-------=—.

'''sin2a+cos2atan2a+l16+117

【答案】C

3.（考点：平面向量与三角函数的综合，★★）己知向量a=（sina,3）力=（-l,cos。）,且a±b,则

sin2at\

sinacosa+cos2a"

235

A：B-C.1D.-

322

【解析】因为。_Lb,所以a•b=-sina+3cosa=0,即sina=3cosa,所以tana=3,

故sin2a_2tana_3

sinccosa+cos2atana+12,

【答案】B

4.（考点:三角函数的图象与性质,★★）若函数片3sin（3x+0）的图象关于点（乎,0）中心对称，则/0/的最小值为

（）.

A.-B-C.-D.—

36412

【解析】由题意可得3sin（3x9+@）=0,

故3X空+g=kR,kez,解得@=kn粤k£Z,

44

令k=4,可得的最小值为£

4

【答案】C

5.（考点:平面向量的数量积,★★）设向量a.b满足/a+b/=3,/a-b/=2,则a•b=（）.

A.1B-C.-D.-

424

【解析】由题意可得,向以。•b+b2=9,a2-2o,b+b2=4,

两式相减，得4a•b=9-4=5,

即a•b二.

4

【答案】B

6.（考点:三角函数的图象变换,★★）函数/（x）=4sin（3X+。）（4>0⑷>Ot\（p\<的部分图象如图所示，为了

得到y=sin（2%q）的图象，只需将加）的图象上（）.

A.各点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移T个单位长度

B.各点的横坐标变为原来的右再向右平移9个单位长度

C.各点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移?个单位长度

D.各点的横坐标变为原来的泉再向左平移:个单位长度

【解析】根据函数Hx）=4sin（3X+。）（4>0,a）>0,（p<的部分图象，可得A=l,

沪詈（T）年解得了=2口，

所以外丹=1.

T

再根据五点作图法可得。丹，则吟

故］x）=sin（x+g.

则将函数y=/（x）的图象上各点的横坐标变为原来的最得到片sin（2%+9的图象，再向右平移g个单位长度，得

到y=sin（2x《）的图象.

故选B

【答案】B

7.（考点:正、余弦定理的综合应用,★★★）已知在△4BC中⑼4c分别为内角A,BtC所对的边，且a=2,ccos

4+acosC=¥bcosBAABC的面积5=75，则b=().

A.V13B.V14C.2V7D.V21

【解析】由正弦定理可得sinCeosA+sin4cosC=』/sinBcos8,即sin(4+C)=«^sin8cosB,

所以sin8=-竽sinBcosB,

又sin8WO,所以cos8=m，则8=150°.

因为a=2,AABC的面积

所以S=/csinB=|X2XcX卜氏

解得c=2V5,所以b=Ja2+c2-2accosF=2W.

【答案】C

8.(考点：三角恒等变换及函数的性质)★★★)己知函数/(x)=V^sln2(2JI-3x)#sln^xcos孚，且

/(a)=6+1/£)=百,若/£/的最小值是n，则下列结论正确的是().

A.3=1,函数/(x)的最大值为1

B.3=；,函数/(x)的最大值为8+1

C.3=：,函数/（X）的最大值为遍+1

4

D.0彳,函数/（x）的最大值为1

【解析】/（x）=V3sin2（2n-3x）+sin^xcos=V3sin23x+：sin2=1sin2x-ycos23

x+V3=sin（23%-以+百，

由题意可得该函数的周期为nX4=4H，则崇4H，所以3总则加）=丽（打9+6，

故/W的最大值为V5+1.

【答案】C

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对

的得5分,部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.（考点:三角恒等变换,★★）下列各式中，值为:的有（）.

A苧in30。cos30°

B.cos230°-sin230°

C.1-2COS230°

D.sin230°+cos230°

【解析】A符合，苧sin30°cos30°=^sin60°

B符合,cos230°-siM30°=cos60c=}

C不符合,1-2COS230°=-COS60°=-1;

D不符合,sin230°*cos230°=1.

故选AB.

【答案】AB

10.(考点:平面向量的坐标运算,已知向量a+b=(5,3),a-b=(-3,l),c=(-2,l),设a.b的夹角为%则(

A./a/=/6/B.a±c

C.b//c