微积分基本定理

微积分基本定理微积分基本定理通过第一节的例子可知，如果按定义来计算定积分，那是十分困难的.本节将介绍一种计算定积分的简便有效的方法——微积分基本定理，它把定积分与不定积分两个不同的概念联系起来，把定积分的计算转化为求被积函数的原函数.这很好地解决了定积分的计算问题，从而使定积分得到了十分广泛的应用.一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为了讨论质点在变速直线运动中位置函数与速度函数间的联系，有必要沿质点的运动方向建立坐标轴.设时刻t时质点所在位置st，速度vtvt≥0.

已知质点在时间间隔T1,T2内经过的路程可以用速度函数vt在T1,T2上的定积分一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系来表示；另一方面，这段路程又可通过位置函数st在区间T1,T2上的增量sT2－sT1

来表示.由此可见，位置函数st与速度函数vt有如下关系：因为s′t=vt，所以上式表示，速度函数vt在区间T1,T2上的定积分等于vt的原函数st在区间T1,T2上的增量.

上述从变速直线运动这个特殊问题中得出来的关系，在一定条件下具有普遍性.请看下面的分析.

二、积分上限的函数及其导数设函数f(x)在区间［a,b］上连续，x是［a,b］上的一点，则由(6-1)

所定义的函数称为积分上限的函数(或变上限的函数).

式(6-1)中积分变量和积分上限有时都用x表示，但它们的含义并不相同，为了区别它们，常将积分变量改用t来表示，即

二、积分上限的函数及其导数Φ(x)的几何意义是：右侧直线可移动的曲边梯形的面积.如图6-6所示，曲边梯形的面积Φ(x)随x的位置的变动而改变，当x给定后，面积Φ(x)就随之确定.图6-6二、积分上限的函数及其导数定理3若函数f(x)在区间［a,b］上连续，则积分上限的函数

Φ(x)=∫xaf(t)dt

在［a,b］上可导，且(6-2)二、积分上限的函数及其导数又函数f(x)在点x处连续，而Δx→0时，ξ→x,所以若x为区间［a,b］的端点,则只需将上面证明中的x换成a或b,再分别限制Δx>0或Δx<0,即能证明Φ′+(a)=f(a),Φ′-(b)=f(b).

综上所述,即有这个定理指出了一个重要结论：连续函数f(x)取变上限x的定积分然后求导，其结果还原为f(x)本身.

二、积分上限的函数及其导数【例5】【例6】二、积分上限的函数及其导数【例7】二、积分上限的函数及其导数【例8】设f(x)在区间I上连续,且u(x),v(x)皆可导,证明三、牛顿-莱布尼兹公式

定理3是在被积函数连续的条件下证明的，因此有结论：连续函数必存在原函数，也可得如下定理.

三、牛顿-莱布尼兹公式定理4若函数f(x)在区间［a,b］上连续，则函数Φ(x)=∫xaf(t)dt就是f(x)在［a,b］上的一个原函数.

由定理4知，连续函数的原函数是存在的，并且可以通过原函数来计算定积分.三、牛顿-莱布尼兹公式定理5若函数F(x)是连续函数f(x)在区间［a,b］上的一个原函数，则

∫baf(x)dx=F(b)－F(a).(6-3)

式(6-3)称为牛顿-莱布尼兹公式.三、牛顿-莱布尼兹公式证已知函数F(x)是f(x)的一个原函数，又根据定理2知，

Φ(x)=∫xaf(t)dt

也是f(x)的一个原函数，所以F(x)－Φ(x)=C，x∈［a,b］，在上式中令x=a，得F(a)－Φ(a)=C，而

Φ(a)=∫aaf(t)dt=0，所以F(a)=C，故

∫xaf(t)dt=F(x)－F(a)，在上式中再令x=b，即得公式(6-3).该公式也常记为

∫baf(x)dx=F(x)ba=F(b)－F(a).三、牛顿-莱布尼兹公式当a>b时，牛顿-莱布尼兹公式仍成立.注由于f(x)的原函数F(x)一般可通过求不定积分求得，因此，牛顿-莱布尼兹公式巧妙地把定积分的计算问题与不定积分联系起来，转化为求被积函数的一个原函数在区间［a,b］上的增量问题