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文档简介

广义积分广义积分前面介绍的定积分有两个限制条件：积分区间有限和被积函数有界.实际问题中还需要某些函数在无穷区间上的积分以及某些无界函数在有限区间上的积分.因此要求将定积分概念加以推广，这就是广义积分.广义积分包括无穷区间的广义积分和无界函数的广义积分两类.一、无穷区间的广义积分定义2设f(x)在区间［a,+∞)内连续，任取b>a，若极限limb→+∞∫baf(x)dx存在，则称此极限为f(x)在区间［a,+∞)上的广义积分，记作∫+∞af(x)dx，即∫+∞af(x)dx=limb→+∞∫baf(x)dx，(6-9)

此时称广义积分∫+∞af(x)dx存在或收敛；否则称广义积分∫+∞af(x)dx没有意义或发散.

类似地，可定义f(x)在区间(－∞,b］上的广义积分∫b－∞f(x)dx=lima→－∞∫baf(x)dx，(6-10)

以及∫b－∞f(x)dx收敛和发散的概念.一、无穷区间的广义积分定义3f(x)在区间(-∞,+∞)上连续，如果广义积分定义为∫+∞－∞f(x)dx=∫a－∞f(x)dx+∫+∞af(x)dx，(6-11)

其中a为任意实数.当上式右端两个积分都收敛时，称广义积分∫+∞－∞f(x)dx存在或收敛；否则称广义积分∫+∞－∞f(x)dx没有意义或发散.

∫+∞－∞f(x)dx是否收敛和a的取值无关.

一、无穷区间的广义积分【例33】一、无穷区间的广义积分【例34】该题的结论一般要记住，可作为定理使用.注二、无界函数的广义积分定义4设f(x)在区间(a,b］上连续，而limx→a+f(x)=∞，取ε>0，若极限limε→0+∫ba+εf(x)dx存在，将其记作∫baf(x)dx，即∫baf(x)dx=limε→0+∫ba+εf(x)dx,(6-12)

此时称广义积分∫baf(x)dx存在或收敛；否则称广义积分∫baf(x)dx没有意义或发散.这种广义积分又称为瑕积分，a为瑕点.类似地，可定义f(x)在区间［a,b)上的广义积分∫baf(x)dx=limε→0+∫b－εaf(x)dx

(6-13)

以及∫baf(x)dx收敛和发散的概念.二、无界函数的广义积分定义5设f(x)在区间［a,b］上除点c(a<c<b)外连续，而limx→cf(x)=∞，如果两个广义积分∫caf(x)dx和∫bcf(x)dx都收敛，则称广义积分∫baf(x)dx收敛，且有∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx;(6-14)

否则，称其没有意义或发散.二、无界函数的广义积分【例35】二、无界函数的广义积分【例36】二、无界函数的广义积分【例37】二、无界函数的广义积分【例38】二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分由这个递推公式不难看出该积分收敛.特别地，对任何正整数n，有Γ(n+1)=n!，这是因为Γ(n+1)=nΓ(n)=n(n－1)Γ(n－1)=…=n!Γ(1)，而Γ(1)=∫+∞0e－xdx=1，所以Γ(n+1)=n!.

假

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