高 阶 导 数课件

高阶导数高阶导数

当x变化时，f(x)的导数f′(x)仍是一个关于x的函数，对于这个新的函数，如果可导，就可以将f′(x)继续对x进行求导，从而得到“导了再导”的函数，这就是高阶导数.一、高阶导数的定义引列求变速直线运动物体的瞬时加速度.

一、高阶导数的定义分析如果物体的运动方程为s=s(t)，则变速直线运动的瞬时速度v是路程s对时间t的导数，即而加速度a又是速度v对时间t的变化率，也就是速度v对时间t的导数，即

于是这种导数的导数

或(s′)′称为s对t的二阶导数，记为s″(t).所以，物体运动的加速度就是路程s对时间t的二阶导数.一、高阶导数的定义一般地，如果函数y=fx的导数y′=f′x仍是x的可导函数，就称y′=f′x的导数为函数y=fx的二阶导数，记为相应地，把y=fx的导数f′(x)称为函数y=fx的一阶导数.

类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,记为

三阶导数的导数称为四阶导数,记为

一般地，fx的n－1阶导数的导数称为fx的n阶导数，记为一、高阶导数的定义二阶或二阶以上的导数统称为高阶导数.

由高阶导数的定义知，求函数y=fx的高阶导数，只需连续多次求导数即可，因此仍可应用前面的求导方法进行计算.一、高阶导数的定义【例27】一、高阶导数的定义【例28】求指数函数y=ax(a>0,a≠1)的n阶导数.

解y′=axlna,y″=axln2a,y“=axln3a,…,y(n)=axlnna,即ax(n)

=axlnna.

特别地，ex(n)=ex.

一、高阶导数的定义【例29】求正弦函数y=sinx的n阶导数.一、高阶导数的定义【例30】求幂函数y=xα(α∈R)的n阶导数.解y′=αxα－1，y″=α(α－1)xα－2，y″=α(α－1)(α－2)xα－3，y(4)=α(α－1)(α－2)(α－3)xα－4.一般地，可得y(n)=α(α－1)(α－2)…(α－n+1)xα－n，即xα(n)=α(α－1)(α－2)…(α－n+1)xα－n.当α=n时，得xn(n)=n•(n－1)•(n－2)•…•3•2•1=n!,而xn(n+1)=0.一、高阶导数的定义【例31】设y=ln(1+x)，求y(n).一、高阶导数的定义【例32】一、高阶导数的定义【例33】设f(x)具有任意阶导数，且f′(x)=f2(x)，求证：f(x)的n阶导数f(n)

(x)=n!fn+1(x).

证由f′(x)=f2(x)，得f″(x)=2f(x)f′(x)=2!f3(x)，f

(x)=2!×3f

2(x)f′(x)=3!f4(x).

假设f(n－1)(x)=(n－1)!fn(x)，则f(n)(x)=(n－1)!·nfn－1(x)f′(x)=n!fn+1(x),

所以原命题成立.

二、莱布尼兹公式如果函数u=ux与v=vx都在点x处具有n阶导数，那么u(x)+v(x)与u(x)-v(x)在点x处都具有n阶导数，且u(x)±v(x)(n)=u(x)(n)±v(x)(n),

但乘积u(x)·v(x)的n阶导数却并不如此简单.由

［u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)

首先得出［u(x)v(x)］″=u″(x)v(x)+2u′(x)v′(x)+u(x)v″(x)，［u(x)v(x)］″=u″(x)v(x)+3u″(x)v′(x)+3u′(x)v″(x)+u(x)v″(x).二、莱布尼兹公式用数学归纳法可以证明上式称为莱布尼兹公式.

二、莱布尼兹公式【例34】设y=x2sinx,求y

(20).

解设u(x)=sinx,vx=x2,则由莱布尼兹公式知二、莱布尼兹公式【例35】年龄在0至36个月之间的男婴的平均体重可以表示成函数ω(t)=8.15+1.82t－0.0596t2+0.000758t3，其中t用月来度量，而ω用磅(1磅=0.454千克)来度量，求一个标准男婴体重增长的加速度.解对ω(t)=8.15+1.82t－0.0596t2+0.000758t3求