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文档简介
函数展开成幂级数函数展开成幂级数我们已经讨论了幂级数的收敛域及其和函数的性质.但是在许多应用中,我们经常会遇到一类相反的问题,即已知函数f(x),要考虑它是否能在某个区间内展开成幂级数,也就是说,是否能找到这样的一个幂级数,它在某区间内收敛,且其和恰好就是所给定的函数f(x).如果能找到这样的幂级数,我们说,函数f(x)在该区间内能展开成幂级数,或者简单地说,函数f(x)能展开成幂级数,而该级数在其收敛区间内表示函数f(x).我们先看n阶泰勒公式.若函数f(x)在x0的某一邻域内具有直到n+1阶导数,则在该邻域内函数f(x)的n阶泰勒公式为函数展开成幂级数来近似表示,并且其误差等于余项的绝对值Rn(x).显然,如果Rn(x)随着n的增大而减小,那么,我们就可以用增加多项式项数的办法来提高精度.如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f′(x0),f″(x0),…,f(n)(x0),…,这时我们可以设想多项式Pn(x)的项数趋向无穷而成为幂级数这个幂级数称为函数f(x)在x0处的泰勒级数.函数展开成幂级数(1)函数f(x)在x0的某邻域内具有任意阶导数;(2)当n→∞时,余项Rn(x)→0(在x0的邻域内).第一个条件保证我们能作出以f(n)(x0)n!为系数的幂级数,第二个条件是保证这个级数在x0的邻域内收敛于f(x),所以这两个条件是缺一不可的.现在存在这样一个问题.若函数f(x)能够表示为x的幂级数
f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn+…它与f(x)的麦克劳林级数是否一致?下面我们将证明,若函数f(x)能展开为x的幂级数,则它的展开式是唯一的,且这个唯一的展开式就是f(x)的麦克劳林级数.函数展开成幂级数事实上,若函数f(x)可以展开成x的幂级数函数展开成幂级数第三章中我们已给出了几个常用的初等函数的麦克劳林公式,在此不再赘述.根据上面的讨论,把函数f(x)展开成x的幂级数,可按下列步骤进行:(1)求出函数f(x)的各阶导数f′(x),f″(x),…,f(n)(x),…,且以x=0代入,得到f′(0),f″(0),…,f(n)(0),….如果发现某阶导数不存在,则该函数不能展开为x的幂级数;(2)写出幂级数函数展开成幂级数函数展开成幂级数【例33】函数展开成幂级数【例34】函数展开成幂级数以上两例是直接利用公式,将给定的函数展开为幂级数.这种方法称为直接展开法.用直接展开法把函数展开成幂级数,一方面需要计算高阶导数,另一方面要讨论余项Rn(x)是否趋于零.一般来说,这两方面做起来是不容易的.因此,我们常以一些函数的已知展开式为基础,利用幂级数的一些性质,将函数展开为幂级数,从而避免了高阶导数的计算和余项的讨论.这种方法称为间接展开法.由于函数的幂级数展开式具有唯一性,同一函数用直接展开法或用间接法求出的幂级数是一样的.函数展开成幂级数【例35】函数展开成幂级数【例36】函数展开成幂级数【例37】函数展开成幂级数【例38】函数展开成幂级数【例39】函数展开成幂级数【例
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