二阶线性微分方程解的结构

二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程的一般形式是其中P(x)，Q(x)及f(x)是自变量x的已知函数，函数f(x)称为方程(12-15)的自由项.当f(x)=0时，方程(12-15)变为这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程(12-15)称为二阶非齐次线性微分方程.(12-15)(12-16)二阶线性微分方程解的结构对于二阶齐次线性微分方程，有下述两个定理.定理1

如果函数y1(x)与y2(x)是方程(12-16)的两个解，则y=C1y1(x)+C2y2(x)(12-17)

也是方程(12-16)的解，其中C1，C2是任意常数.证

将式(12-17)代入方程(12-16)的左端，有(C1y1+C2y2)″+P(x)(C1y1+C2y2)′+Q(x)(C1y1+C2y2)=(C1y″1+C2y″2)+P(x)(C1y′1+C2y′2)+Q(x)(C1y1+C2y2)=C1［y″1+P(x)y′1+Q(x)y1］+C2［y″2+P(x)y′2+Q(x)y2］=0，所以式(12-17)是方程(12-16)的解.齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理.二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构设y1(x)，y2(x),…，yn(x)是定义在区间I上的n个函数，如果存在n个不全为零的常数k1，k2，…，kn,使得当x∈I时恒有k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn=0，则称这n个函数在区间I上线性相关；否则称为线性无关.根据定义可知，在区间I上两个函数是否线性相关，只要看它们的比是否为常数.如果比为常数，则它们线性相关，否则线性无关.定义6二阶线性微分方程解的结构例如，函数y1(x)=sin2x，y2(x)=6sinxcosx是两个线性相关的函数，因为而y1(x)=e4x，y2(x)=ex是两个线性无关的函数，因为有了函数线性无关的概念后，有下面的定理.二阶线性微分方程解的结构如果y1(x)与y2(x)是方程(12-16)的两个线性无关的特解，则y=C1y1(x)+C2y2(x)就是方程(12-16)的通解，其中C1，C2是任意常数.证由定理1知，y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程(12-16)的解，因为y1(x)与y2(x)线性无关，所以其中两个任意常数C1与C2不能合并，即它们是相互独立的，所以y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程(12-16)的通解.定理2二阶线性微分方程解的结构例如，对于方程y″－5y′+6y=0，容易验证y1=e2x与y2=e3x

是它的两个特解，又所以y=C1e2x+C2e3x就是该方程的通解.由一阶线性微分方程的讨论知，一阶非齐次线性微分方程的通解可以表示为对应齐次线性微分方程的通解与一个非齐次线性微分方程的特解的和.实际上，不仅一阶非齐次线性微分方程的通解具有这样的结构，而且二阶甚至更高阶的非齐次线性微分方程的通解也具有同样的结构.二阶线性微分方程解的结构定理3

设y*是方程(12-15)的一个特解，而Y是其对应的齐次方程(12-16)的通解，则y=Y+y*(12-18)就是二阶非齐次线性微分方程(12-15)的通解.证把式(12-18)代入方程(12-15)的左端，得(Y+y*)″+P(x)(Y+y*)′+Q(x)(Y+y*)

=(Y″+y*″)+P(x)(Y′+y*′)+Q(x)(Y+y*)

=［Y″+P(x)Y′+Q(x)Y］+［y*″+P(x)y*′+Q(x)y*］=0+f(x)=f(x),即y=Y+y*是方程(12-15)的解.由于对应齐次方程的通解Y=C1y1(x)+C2y2(x)二阶线性微分方程解的结构含有两个相互独立的任意常数C1，C2，所以y=Y+y*是方程(12-15)的通解.二阶线性微分方程解的结构(解的叠加原理)设y1*与y2*分别是方程y″+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)与y″+P(x)y′+Q(x)y=f2(x)

的特解，则y1*+y2*是方程y″+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)+f2(x)(12-19)

的特解.证

将y1*+y2*代入方程(12-19)左端，得(y1*+y2*)″+P(x)(y1*+y2*)′+Q(x)(y1*+y2*)=［y1*″+P