2021年中考复习数学考点专题训练-专题三：一次函数

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯

备战2021中考数学考点专题训练一专题三：一次函数

1.在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数y=

kix+也和y=kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B,两直线交于点C.已知点A(-l,0),

B(2,0),观察图象并回答下列问题：

(1)关于x的方程k1x+bi=0的解是；关于x的不等式kx+bVO的解集是；

kx+b>0

(2)直接写出关于x的不等式组，,的解集；

(3)若点C(l,3),求关于x的不等式kix+b】>kx+b的解集和△ABC的面积.

2.为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m3,该游泳池有甲、

乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变.同时打开甲、乙两个进水口

注水，游泳池的蓄水量y(m3)与注水时间t<h)之间满足一次函数关系，其图象如图所示.

(1)根据图象求游泳池的蓄水量y(m3)与注水时间t(h)之间的函数关系式，并写出同

时打开甲、乙两个进水口的注水速度；

(2)现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水.巳知单独打开甲进水口注满游

泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的告倍.求单独打开甲进水口注满

游泳池需多少小时？

3.规定：若直线1与图形M有公共点，则称直线1是图形M的关联宜线.已知：矩形ABCD

的其中三个顶点的坐标为A(t,0),B(t+2,0),C(t+2,3)

(1)当t=l时，如图以下三个一次函数y1=x+4,y?=-x+2,y3=x+2中，是矩形

ABCD的关联直线；

(2)已知直线Ly=x+2,若直线1是矩形ABCD的关联直线，求t的取值范围；

(3)如果直线m：y=tx+2(t>0)是矩形ABCD的关联直线，请直接写出t的取值范围.

2,

1)

-•-----------•----•-------►

-1OA2Bx

-1,

4.如图，直线y=-与x轴相交于点A,与直线用交于点B.

(1)求点A,点B的坐标；

(2)动点C从原点0出发，以每秒1个单位的速度在线段0A上向点A做匀速运动，连接

BC,设运动时间为t秒，4BCA的面积为S,求出S关于t的函数关系式；

(3)若点P是坐标平面内任意一点，以0,A,B,P为顶点的四边形是平行四边形，请直

5.巳知：在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线AB与x轴的正半轴交于点A,与y

轴的负半轴交于点B,0A=0B,过点A作x轴的垂线与过点0的直线相交于点C,直线0C

的解析式为y=?,过点C作CMJLy轴，垂足为M,0M=9.

(1)如图1,求直线AB的解析式；

(2)如图2,点N在线段MC上，连接ON,点P在线段ON上，过点P作PD_Lx轴，垂足为

D,交0C于点E,若NC=OM,求常的值；

(3)如图3,在(2)的条件下，点F为线段AB上一点，连接0F,过点F作OF的垂线交

线段AC于点Q,连接BQ,过点F作x轴的平行线交BQ于点G,连接PF交x轴于点H,<

接EH,若NDHE=NDPH,GQ-FG=JM，求点P的坐标.

6.如图：在平面直角坐标系xOy中，过点A(-2,0)的直线L和直线b：y=2x相交于

点B(2,m).

(1)求直线L的表达式；

(2)过动点P(n,0)(n<0)且垂直于x轴的直线与L、k的交点分别为C,D.横、纵

坐标都是整数的点叫做整点.

①当n=-l时，直接写出aBCD内部(不含边上)的整点个数；

②若△BCD的内部(不含边上)恰有3个整点，直接写出n的取值范围.

7.如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线1分别交x轴、y轴于A.B两点,

OA<OB,且0A、0B的长分别是一元二次方程x?-14x+48=0的两根.

(1)求直线AB的解析式；

(2)点C从点A出发沿射线AB方向运动，运动的速度为每秒2个单位，设△OBC的面积为

S,点C运动的时间为t,写出S与t的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；

(3)点P是y轴上的点，点Q是笫一象限内的点，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱

形请求出点Q的坐标.

8.团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同

一路线赶往绥芬河.齐齐哈尔距绥芬河的路程为800km,在行驶过程中乙车速度始终保持

80km/h,甲车先以一定速度行驶了500km,用时5h,然后再以乙车的速度行驶，直至到达

绥芬河(加油、休息时间忽略不计).甲、乙两车离齐齐哈尔的路程y(km)与所用时间x

(h)的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

<1)甲车改变速度前的速度是km/h,乙车行驶h到达绥芬河；

(2)求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y(km)与所用时间x(h)之间的函数解析式，

不用写出自变量x的取值范围；

(3)甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程还有km；出发h时,甲、乙

两车第一次相距40km.

9.如图，巳知直线y=kx+b与直线y=平行，且y=kx+b还过点(2,3),与y

轴交于A点.

(1)求A点坐标；

(2)若点P是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M,PN垂直y轴于点N,

在四边形PMON上分别截取：PC=%P,MB=g)M,OE=^ON,ND=^NP,试证：四边形BCDE

是平行四边形；

(3)在(2)的条件下，在直线y=kx+b上是否存在这样的点P,使四边形BCDE为正方形？

若存在，直接写出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

10.小硝向某校食堂王经理建议食堂就餐情况，经调查发现就餐时，有520人排队吃饭就

餐，就餐开始后仍有学生继续前来排队进食堂.设学生按固定的速度增加，食堂打饭窗口

打饭菜的速度也是固定的,若每分钟该食堂新增排队学生数12人，每个打饭窗口1每分钟

打饭菜10人.已知食堂的前a分钟只开放了两个打饭窗口；某一天食堂排队等候的学生数

y(人)与打饭菜时间x(分钟)的关系如图所示.

(1)求a的值；

(2)求排队到第16分钟时，食堂排队等候打饭菜的学生人数；

(3)若要在开始打饭菜后8分钟内让所有排队的学生都能进食堂后来到食堂窗口的学生随

到随吃，那么小硝应该建议食堂王经理一开始就需要至少同时开放几个打饭窗口？

11.如图，在平面直角坐标系中，直线yi=kx+b与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B

(0,3)，点C是直线丫2=-争+5上的一个动点，连接BC,过点C作CD_LAB于点D.

(1)求直线y1=kx+b的函数表达式；

(2)当BC〃x轴时，求BD的长；

(3)点E在线段0A上，0E="|<)A,当点D在笫一象限，且△BCD中有一个角等于N0EB时，

请直接写出点C的横坐标.

12.在平面直角坐标系xOy中，京A(t-1,1)与点B关于过点(t,0)且垂直于x轴的

直线对称.

(1)以AB为底边作等腰三角形ABC,

①当t=2时，点B的坐标为;

②当t=0.5且直线AC经过原点。时，点C与x轴的距离为;

③若AABC上所有点到y轴的距离都不小于1,则t的取值范围是.

(2)以AB为斜边作等腰直角三角形ABD,直线m过点(0,b)且与x轴平行，若直线m上

存在点P,AABD上存在点K,满足PK=L直接写出b的取值范围.

13.笛卡尔是法国数学家、科学家和哲学家，他的哲学与数学思想对历史的影响是深远

的.1637年，笛卡尔发表了《几何学》，创立了直角坐标系.其中笛卡尔的思想核心是：

把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数的方法进行计算、证明，从而达到最终解

决几何问题的目的.

某学习小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线丫=1«+6(kWO)

Yi-y9Yi-yq

上的任意三点A(xi,yi),B(x2,y2),C(x3,ya)(X1WX1WX3),满足-------=-------

xi-x2x「X3

y9-yq

=—―-=k,经学习小组查阅资料得知，以上发现是成立的，即直线y=kx+b(kWO)上

x2-x3

yi-y?

任意两点的坐标M(x.,yi)N(x5,y2)(x】Xx2),都有二一々的值为k,其中k叫直线

xrx2

2-4

y=kx+b的斜率.如，P(1,3),Q(2,4)为直线y=x+2上两点，则=1,即

直线y=x+2的斜率为1.

(1)请你直接写出过E(2,3)、F(4,-2)两点的直线的斜率够=.

(2)学习小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到如下正确结论：不与坐标轴平行的

任意两条直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值.

如图1,直线GH_LGI于点G,G(1,3),H(-2,1),I(-1,6).请求出直线GH与

直线GI的斜率之积.

(3)如图2,已知正方形OKRS的顶点S的坐标为(6,8),点K,R在第二象限，OR为正

方形的对角线.过顶点R作RTJ_0R于点R.求直线RT的解析式.

14.定义：在平面直角坐标系中，0为坐标原点，对于任意两点P(m,y)、Q(x,y0),m

y-l(x>in)

为任意实数，若yn=^1则称点Q是点P的变换点，例如：若点P(m,y)

0-^-y+l(x<m)

'xT(x〉m)

在直线y=x上，则点P的变换点Q在函数1,、的图象上，设点P(m,y)

乙

在函数y=x?-2x的图象上，点P的变换点Q所在的图象记为G.

(1)直接写出图象G对应的函数关系式.

(2)当m=3,且-2WxW3时，求图象G的最高点与最低点的坐标.

(3)设点A、B的坐标分别为(小-1,-2)、(2m+2,-2),连结AB,若图象G与线段

AB有交点，直接写出m的取值范围.

(4)若图象G上的点Q的纵坐标yo的取值范围是yo》k或yoWn,其中k>n,令$=1;-11,

求s与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围.

15.如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xOy中，使OA、0C分别落在x、y轴的正半轴

上，对角线AC所在直线解析式为y=-*+15,将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边

0C上的点D处.

(1)求点E的坐标；

(2)在y轴上是否存在点P,使APBE为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；

若不存在，请说明理由.

16.如图，直线yngx+3与x、y轴交于点A、B,过点B作x轴的平行线交直线y=x+b于

点D,直线y=x+b交x、y轴于点E、K,且DK=

(1)如图1,求直线DE的解析式；

(2)如图2,点P为AB延长线上一点，把线段BP绕着点B顺时针旋转90°得到线段BF,

若点F刚好落在直线DE上，求点P的坐标；

(3)如图3,在(2)的条件下，点M为ED延长线上一点，连接PM和AM,AM交线段BD

于点N,若PM+MN=AN,求线段PM的长.

yt

B/

图1图2图3

17.在平面上，对于给定的线段AB和点C,若平面上的点P(可以与点C重合)满足，N

APB=ZACB.则称点P为点C关三直线AB的联络点.

在平面直角坐标系xOy中，巳知点A(2,0),B(0,2),C(-2,0).

(1)在R(2,2),P(1,0),R(1+V2»1)三个点中，是点0关于线段AB的联络点

的是.

(2)若点P既是点0关于线段AB的联络点,同时又是点B关于线段0A的联络点，求点P

的横坐标m的取值范围；

(3)直线y=x+b(b>0)与x轴，y轴分交于点M,N,若在线段BC上存在点N关于线段

0M的联络点，直接写出b的取值范围.

18.已知直线y=x+b与x轴交于点A,与y轴交于点B,

(1)如图1,求NBA0的度数；

(2)如图2,点D在第三象限，连接BD,将线段BD以B为旋转中心逆时针旋转90。得到

BE且点E在笫四象限，连接DE、0E,若DE=20E,求证：Sm=2S△碗；

(3)如图3,点C为点A关于y轴的对称点，点D在第二象限，连接BD,将线段BD以B

为旋转中心逆时针旋转90°得到BE,点E在第四象限，连接0E且OE〃BC,过点A作AP_L

BE交BC于点P,点Q在AB上，BQ=BP,过点Q作QG_LAP交x轴于点G.若0F=£,CG=

7,求SAAOE.

19.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与y=kx+4分别交x轴于点A、B,两直

A

线交于y轴上同一点C,点D的坐标为(-£,0),点E是AC的中点，连接0E交CD于点

(1)求点F的坐标；

(2)若N0CB=NACD,求k的值；

(3)在(2)的条件下，过点F作x轴的垂线1,点M是直线BC上的动点，点N是x轴上

的动点，点P是直线1上的动点，使得以B,P,M、N为顶点的四边形是菱形，求点P的坐

标.

20.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，直线y=*+4分别交y轴和x轴于点A、B两点,

备用图1备用图2

(1)如图1,求直线AC的解析式；

(2)如图2,点P在线段AB上，点Q在BC的延长线上，满足：AP=CQ,连接PQ交AC于

点D,过点P作PEJ_AC于点E,设点P的横坐标为t,的面积为S,求S与t的函数

关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；

(3)如图3,在(2)的条件下，PQ交y轴于点M,过点A作AN_LAC交QP的延长线于点N,

过点Q作QF〃AC交PE的延长线于点F,若MN-DQ,求点F的坐标.

备战2021中考数学考点专题训练一专题三：一次函数参考答案

1.在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数y=

卜工+5和y=kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B,两直线交于点C.已知点A(-l,0),

B(2,0),观察图象并回答下列问题：

(1)关于x的方程klX+b.=0的解是;关于x的不等式kx+b<0的解集是;

‘kx+b>0

(2)直接写出关于x的不等式组，,的解集；

k[X+b[>0

(3)若点C(l,3),求关于x的不等式kix+，>kx+b的解集和aABC的面积.

【答案】解：(1)•；一次函数y=k1x+b】和y=kx+b的图象，分别与x轴交于点A(-1,0)、

B(2,0),

，关于x的方程k1x+bi=0的解是x=-l,关于x的不等式kx+bVO的解集，为x>2,

故答案为x=-1,x>2;

kx+b〉O

(2)根据图象可以得到关于x的不等式组'、的解集-1VXV2；

k[X+b]>0

(3)VAB=3,

119=_

•'•SAABC=—AB*yc=-X3X3z-«

乙乙乙

2.为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m3,该游泳池有甲、

乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变.同时打开甲、乙两个进水口

注水，游泳池的蓄水量y(m3)与注水时间t<h)之间满足一次函数关系，其图象如图所示.

(1)根据图象求游泳池的蓄水量y(m3)与注水时间t(h)之间的函数关系式，并写出同

时打开甲、乙两个进水口的注水速度；

(2)现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水.巳知单独打开甲进水口注满游

泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的告倍.求单独打开甲进水口注满

游泳池需多少小时？

【答案】解：(D设y与t的函数解析式为丫=履+1),

fb=100

12k+b=380，

k=140

解得,

b=100,

即y与t的函数关系式是y=140t+100,

同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是：(380-100)4-2=140(m3/h)；

<2)•・•单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的

券

・•・甲进水口进水的速度是乙进水口进水速度的三，

•・・同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m3加，

・,・甲进水口的进水速度为：1404-<-|d-l)X-1=60(m3/h),

4804-60=8(h),

即单独打开甲进水口注满游泳池需8h.

3.规定：若直线1与图形M有公共点，则称直线1是图形M的关联直线.巳知：矩形ABCD

的其中三个顶点的坐标为A(t,0),B(t+2,0),C(t+2,3)

(1)当t=l时，如图以下三个一次函数yi=x+4,y2=-x+2,y3=x+2中，是矩形

ABCD的关联直线；

(2)已知直线1；y-x+2,若直设1是矩形ABCD的关联直线，求t的取值范围；

(3)如果直线m：y=tx+2(t>0)是矩形ABCD的关联直线，请直接写出t的取值范围.

21

1)

-1OA2Bx

-1-

【答案】解：(1)当t=l时，A(1,0),B(3,0),C(3,3),D(1,3),

则三个一次函数yi=x+4,y2=-x+2,y3=x+2中，y2=-x+2,y3=x+2是矩形ABCD的关联

直线；

故答案为：y2=-x+2,y3=x+2；

(2)由矩形的性质得D(t,3),

当y=3时，t+2=3,解得t=l;

当y=0时t+2+2=0,解得t=-4.

故t的取值范围为-4WtWl；

(3)由矩形的性质得D(t,3),

当y=3时，t2+2=3,解得t=±l(负值舍去).

故t的取值范围为OVtWl.

4.如图，直线y=-与x轴相交于点A,与直线y=J正用交于点B.

(1)求点A,点B的坐标；

(2)动点C从原点0出发，以每秒1个单位的速度在线段0A上向点A做匀速运动，连接

BC,设运动时间为t秒，4BCA的面积为S,求出S关于t的函数关系式；

(3)若点P是坐标平面内任意一点，以0,A,B,P为顶点的四边形是平行四边形，请直

解得x=4;

则A(4,0)；

y=_V3x+4>/3

联立两直线的解析式得

y=V3»

x=2

解得

则B(2,2V3)；

(2)VA(4,0),

A0A=4,

AS=^-(OA-t)X2V3=4(4-t)X273=473-7^(0WtV4)；

(3)如图，当OA为平行四边形的边时，

V0A=4,

APi(6,2V3)，P2(-2,V3)：

当OA为对角线时，

P3(2,-2V3).

综上所示，点P的坐标为：Pi(6,2“)，P2(-2,2V3)，P3(-2,2V3).

5.巳知：在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线AB与x轴的正半轴交于点A,与y

轴的负半轴交于点B,OA=OB,过点A作x轴的垂线与过点0的直线相交于点C,直线0C

的解析式为y=?x,过点C作CM_Ly轴，垂足为M,0M=9.

4

(1)如图1,求直线AB的解析式；

(2)如图2,点N在线段MC上，连接ON,点P在线段ON上，过点P作PD_Lx轴，垂足为

D,交0C于点E,若NC=OM,求器的值；

(3)如图3,在(2)的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF,过点F作OF的垂线交

线段AC于点Q,连接BQ,过点F作x轴的平行线交BQ于点G,连接PF交x轴于点H,连

接EH,若NDHE=NDPH,GQ-FG=J^F,求点P的坐标.

【答案】解：(1)・・・CM_Ly轴，0M=9,

・・・y=9时，9=?,解得x=12,

AC(12,9),

♦.♦AC_Lx轴，

AA(12,0),

V0A=0B,

AB(0,-12),

fb=-12

设直线的解析式为则有

ABy=kx+b,112k+b=0,

(k=l

解得

lb=-12

・•・直线AB的解析式为y=x-12.

VZCMO=ZMOA=Z0AC=90°,

・・・四边形OACM是矩形，

/•AO=CM=12,

VNC=0M=9,

AMN=CM-NC=12-9=3,

AN(3,9),

・•・直线ON的解析式为y=3x,设点E的横坐标为4a,D(4a,0),

/.0D=4a,

把x=4a,代入y=?中，得到y=3a,

AE(4a,3a),

DE=3a,

把x=4a代入，y=3x中，得到y=12a,

AP(4a,12a),

/.PD=12a,

・・・PE=PD-DE=12a-3a=9a,

.PE_2

**OD-T

(3)如图3中，设直线FG交CA的延长线于R,交y轴于S,过点F作FTJLOA于T.

•・・GF〃x轴，

.*.Z0SR=ZM0A=90o,NCA0=NR=90°,ZB0A=ZBSG=90°,ZOAB=ZAFR,

/.ZOFR=ZR=ZAOS=ZBSG=90°,

・•・四边形OSRA是矩形，

•\OS=AR,

AR=OA=12,

V0A=0B,

.*.Z0BA=Z0AB=45°,

・・・NFAR=90°-45°=45°,

AZFAR=ZAFR,

AFR=AR=OS,

VOF±FQ,

・・・N0SR=NR=N0FQ=90°,

・・・NOFS+NQFR=90°,

VZQFR+ZFQR=90°,

・・・NOFS=NFQR,

/.△OFS^AFQR(AAS),

ASF=QR,

VZSFB=ZAFR=45°,

.*.ZSBF=ZSFB=45O,

ASF=SB=QR,

VZSGB=ZQGR,ZBSG=ZR,

AABSG^AQRG(AAS),

/•SG=GR=6,

设FR=m,则AR=m,AF=J^n,QR=SF=12-m,

•・・GQ-FG=/^F,

，GQ=-m=m+6,

VGQ2=GR2+QR2,

:.(m+6)2=62+(12-m)2,

解得m=4,

/.FS=8,AR=4,

VZOAB=ZFAR,FTXOA,FR±AR,

/.FT=FR=AR=4,ZOTF=90ft,

・・・四边形OSFT是矩形，

A0T=SF=8,

VZDHE=ZDPH,

；・tanZDHE=tanZDPH,

.DE=DH

••丽―而

由（2）可知DE=3a,PD=12a,

.3a_PH

••丽一石’

.\DH=6a,

.\tanZPHD=-^-=^^=2,

DH6a

VZPHD=ZFHT,

TF

.•.tanZFHT=-^r=2,

HT

AHT=2,

VOT=OD+DH+HT,

:.4a+6a+2=8,

._3

••a=—,

b

AOD=W，PD=12X-|=^

DDD

1236、

：.P可T）.

6.如图：在平面直角坐标系xOy中，过点A(-2,0)的直线L和直线k:y=2x相交于

点B(2,m).

(1)求直线L的表达式；

<2)过动点P(n,0)(n<0)且垂直于x轴的直线与L、L的交点分别为C,D.横、纵

坐标都是整数的点叫做整点.

①当n=-l时，直接写出内部(不含边上)的整点个数；

②若△BCD的内部(不含边上)恰有3个整点，直接写出n的取值范围.

VA

【答案】解：⑴将点B的坐标代入y=2x得，m=2X2=4,故点B(2,4),

设直线L的表达式为y=kx+b,将点A、B的坐标代入上式并解得：(4=2k+b,解得

lO=-2k+bIb=2

故直线L的表达式为：y=x+2；

从图中可以看出，整点个数为1,即点(0,1);

②如上图，当n=-2时，△BCD的内部(不含边上)恰有3个整点，

故-2WnV-1.

7.如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线1分别交x轴、y轴于A.B两点，

0A<0B,且0A、0B的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两根.

(1)求直线AB的解析式；

(2)点C从点A出发沿射线AB方向运动，运动的速度为每秒2个单位，设△0BC的面积为

S,点C运动的时间为t,写出S与t的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；

(3)点P是y轴上的点，点Q是第一象限内的点，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱

形请求出点Q的坐标.

【答案】解：(1)X2-14X+48=0,则x=6或8,故点A、B的坐标分别为(6,0)、(0,

8),则AB=10；

4

6k+b=0

设直线AB的表达式为：y=kx+b,则

b=8

故直线AB的表达式为：y=

o

CM=-^-|10-2t|,

5

iioio

S=AXB0XCM=-^X8X^-|10-2t|=^-|10-2t|,

2255

OA

-V-t+24(0<t<6)

D

故S=,

整t-24(t>6)

5

(3)点A、B的坐标分别为(6,0)、(0,8),

设点P、Q的坐标分别为(0,s)、(m,n),

①当AB是菱形的边时，

点A向上平移8个单位向左平移6个单位得到点B,同样点Q向上平移8个单位向左平移6

个单位得到点p,

即0-8=m,s+6=n且BP=BA=10,

解得：m=-8,n=24,

故点Q的坐标为(-8,24);

②当AB是菱形的对角线时，

由中点公式得：6+0=m+0,8+0=s+n且BP=BQ,即(s-8)2=m2+(n-8)2,

解得：m=6,

故点Q的坐标为(6,;

综上，点Q的坐标为(-8,24)或(6,争.

8.团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同

一路线赶往绥芬河.齐齐哈尔距缓芬河的路程为800km,在行驶过程中乙车速度始终保持

80km/h,甲车先以一定速度行驶了500km,用时5h,然后再以乙车的速度行驶，直至到达

绥芬河(加油、休息时间忽略不计).甲、乙两车离齐齐哈尔的路程y(km)与所用时间x

<h)的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

(1)甲车改变速度前的速度是km/h,乙车行驶h到达绥芬河；

(2)求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y(km)与所用时间x(h)之间的函数解析式，

不用写出自变量x的取值范围；

(3)甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程还有km；出发h时，甲、乙

两车第一次相距40km.

【答案】解:(D甲车改变速度前的速度为：500出5=100(km/h),乙车达绥芬河是时

间为：8004-80=10(h),

故答案为：100;10;

(2)•・•乙车速度为80km/h,

・•・甲车到达绥芬河的时间为：5华吁°°=斗(h)，

804

甲车改变速度后，到达绥芬河前，设所求函数解析式为：y=kx+b(kHO),

―5k+b=500

将(5,500)和(斗

•।,800)代入得：35，

4lTk+b=800

k=80

解得

b=100,

/.y=80x+100,

答：甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y(km)与所用时间x(h)之间的函数解析式为y

=80x+100(5<x4-»

(3)甲车到达绥芬河时，乙车距缓芬河的路程为：800-80X^-=100(km),

4

404-(100-80)=2(h),

即出发2h时，甲、乙两车第一次相距40km.

故答案为：100；2.

9.如图，已知直线丫=丘+1)与直线y=-,x-9平行，且丫=丘+1)还过点(2,3),与y

轴交于A点.

(1)求A点坐标；

(2)若点P是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M,PN垂直y轴于点N,

在四边形PMON上分别截取：PC=[MP,OE=-|ON,ND=-1W,试证：四边形BCDE

是平行四边形；

(3)在(2)的条件下，在直线y=kx+b上是否存在这样的点P,使四边形BCDE为正方形？

若存在，直接写出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

且过点A(2,3),

，一次函数解析式为y=-点+4,

当x=0时，y=4,

，A点坐标是（0,4）;

(2)证明：・・・PM_Lx轴，PN_Ly轴，

・・・NM=NN=N0=90°,

・•・四边形PM0N是矩形，

APM=0N,0M=PN,ZM=Z0=ZN=ZP=90o.

VPC=-|MP,MB=-|OM,OE=-|ON,ND=-1NP,

APC=0E,CM=NE,ND=BM,PD=0B,

在aOBE和APDC中，OB=PD,Z0=ZCPD,OE=PC,

AAOBE^APDC(SAS),

/.DC=BE,

同理可证△MBCgZiNDE(SAS),

/.DE=BC.

・・・四边形BCDE是平行四边形；

（3）存在这样的点P,理由:

设点P（m,--1in+4）,

当四边形BCDE为正方形时，则NDCB=90。,DC=BC,

而NCBM+NMCB=90°,ZMCB+ZDCP=90°,

.,.ZCBM=ZDCP,

而NDPC=NCMB=90°,

/.△DPC^ACMB(AAS),

・・・CM=PD,

6666

故P点坐标是（条日）或（-8,8）.

10.小韬向某校食堂王经理建议食堂就餐情况，经调查发现就餐时，有520人排队吃饭就

餐，就餐开始后仍有学生继续前来排队进食堂.设学生按固定的速度增加，食堂打饭窗口

打饭菜的速度也是固定的.若每分钟该食堂新增排队学生数12人，每个打饭窗口1每分钟

打饭菜10人,已知食堂的前a分钟只开放了两个打饭窗口；某一天食堂排队等候的学生数

y（人）与打饭菜时间x（分钟）内关系如图所示.

（1）求a的值；

（2）求排队到第16分钟时，食堂排队等候打饭菜的学生人数；

（3）若要在开始打饭菜后8分钟内让所有排队的学生都能进食堂后来到食堂窗口的学生随

到随吃，那么小陪应该建议食堂王经理一开始就需要至少同时开放几个打饭窗口？

【答案】解：(1)由图象知，520+12a-2X10a=424,

Aa=12；

(2)设当12WxW20时，y与x之间的函数关系式为y=kx+b,

12k+b=424

由题意，得，

20k+b=0'

fk=-53

解得:ib=1060‘

.*.y=-53x+1060,

当x=16时，y=212,

即排队到第16分钟时，食堂排队等候打饭菜的学生有212人.

(3)设需同时开放n个打饭窗口，

由题意知10nX82520+12X8

解得：n>7.7,

・・・n为整数，

••n款小8♦

答：至少需要同时开放8个打饭窗口.

11.如图，在平面直角坐标系中，直线yi=kx+b与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B

(0,3)，点C是直线y2=->|x+5上的一个动点，连接BC,过点C作CD_LAB于点D.

(1)求直线y1=kx+b的函数表达式；

(2)当BC〃x轴时，求BD的长；

(3)点E在线段0A上，0E=*)A,当点D在笫一象限，且△取》中有一个角等于N0EB时，

请直接写出点C的横坐标.

【答案】解：(1)把A(4,0),B(0,3)代入y1=kx+b,

解得：片口,

b=3

•*.yi=--1x+3.

(2),.・BC〃x轴，

・••点C的纵坐标为3,

当y=3时，3=-

解得x=《，

b

・・・C(1,3),

VCD1AB,

・・・直线CD的解析式为y=

3128

y=/x+3x=125

由,,解得

_279’

y

『25

-(酱鬻)，

；・BD可黑巴(3-黑"H

(3)如图，当NBCD=NBE0时，过点A作AMJLBC交BC的延长线于M,点M作MN_Lx轴于

N.

VCD1AB,AM±AB,

/.CD/7AM,

JZAMB=ZBCD=ZBEO,

AR

・・・tanNAMB=f^=2,

AM

VAB=7OB2OA2=732+42=5，

AAM=2AB=2，

VZAOB=ZANM=ZBAM=90°,

.\ZBA0+ZAB0=90o,ZBA0+ZMAN=90°,

・•・ZMAN=ZABO,

AAABO^AMAN,

.AB_QB_QA

•・而一而一而

3

AAN=AMN=2,

乙

.'.M2),

，直线BM的解析式为y=-3x+3,

・••点C的横坐标为擀

当NCBD=NBEO时，同法可得点C的横坐标为登■.

47

12.在平面直角坐标系xOy中，A(t-1,1)与点B关于过点(t,0)且垂直于x轴的

直线对称.

(1)以AB为底边作等腰三角形ABC,

①当t=2时，点B的坐标为;

②当t=0.5且直线AC经过原点。时，点C与x轴的距离为;

③若AABC上所有点到y轴的距离都不小于1,则t的取值范围是.

(2)以AB为斜边作等腰直角三角形ABD,直线m过点(0,b)且与x轴平行，若直线m上

存在点P,aABD上存在点K,满足PK=1,直接写出b的取值范围.

【答案】解：(1)①如图1中，

图1

由题意A(1,1),A,B关于直线x=2对称,

AB(3,1).

故答案为(3,1).

②如图2中,

由题意A(-0.5,1),直线1：x=0.5,

•・•直线AC的解析式为y=-2x,

AC(0.5,-1),

・••点C到x轴的距离为1,

故答案为1.

③由题意A(t-1,0),B(t+1,0),

VAABC上所有点到y轴的距离都不小于1,

At-1^1或t+lW-1,

解得t，2或tW-2.

故答案为t22或tW-2.

(2)如图3中,

图3

VA(t-1,0),B(t+1,0),

/.AB=t+l-(t-1)=2,

VAABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，

・••点D到AB的距离为1,

,・•・当点D在AB上方时，若直线m上存在点P,AABD上存在点K,满足PK=1,则OWb

W3.

当点D在AB下方时，若直线m上存在点P,AABD上存在点K,满足PK=1,则-l〈bW2.

13.笛卡尔是法国数学家、科学家和哲学家，他的哲学与数学思想对历史的影响是深远

的.1637年，笛卡尔发表了《几何学》，创立了直角坐标系.其中管卡尔的思想核心是：

把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数的方法进行计算、证明，从而达到最终解

决几何问题的目的.

某学习小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线丫=1«+6(k#0)

yi-y?Yi-yq

上的任意三点A(xi,yi),B(xz,yz),C(x3,y»)(xirxi#x3),满足-------=-------

xl-x2xl~x3

yo-y3

=——-=k,经学习小组查阅费料得知，以上发现是成立的，即直线y=kx+b(kWO)上

x2-x3

yi-y?

任意两点的坐标M(X1,yi)N(xz,y2)(x】Wx2),都有‘一的值为k,其中k叫直线

xl-x2

Q-4

y=kx+b的斜率.如，P(1,3),Q(2,4)为直线y=x+2上两点，则即

直线y=x+2的斜率为1.

(1)请你直接写出过E(2,3)、F(4,-2)两点的直线的斜率媪=.

(2)学习小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到如下正确结论：不与坐标轴平行的

任意两条直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值.

如图1,直线GH_LGI于点G,G(1,3),H(-2,1),I(-1,6).请求出直线GH与

直线GI的斜率之积.

(3)如图2,已知正方形OKRS的顶点S的坐标为(6,8),点K,R在笫二象限，OR为正

方形的对角线.过顶点R作RT_L0R于点R.求直线RT的解析式.

故答案为-,・

(2)VG(1,3),H(-2,1),I(-1,6),

•lb_2k-3-63

.,施一1-(-2)3'1-(-1)2

kd=-1.

过点S作SN_Lx轴于N,连接KS交OR于J.

/.0N=6,SN=8,

•・•四边形OKRS是正方形，

/.OK=OS,ZKPS=ZKM0=ZSN0=90°,KJ=JS,JR=JO,

AZK0M+ZS0N=90°,ZS0N+Z0SN=90o,

JZK0M=Z0SN,

AAOMK^ASNO(AAS),

AKM=0N=6,0M=SN=8,

AK(-8,6),

VKJ=JS,

AJ(-1,7),

VJR=OJ,

AR(-2,14),

-7,

一2

VRT10R,

/.kin=7T=~~,

-77

设直线RT的解析式为y=

把(-2,14)代入可得14=-*b,

・・・直线RT的解析式为y=^¥

14.定义：在平面直角坐标系中，0为坐标原点，对于任意两点P(m,y)>Q(x,y0),m

y-l(x>in)

为任意实数，若yn=11则称点Q是点P的变换点，例如：若点P(m,y)

u—y+Hx<irU

乙

'xT(x〉m)

在直线x上，则点P的变换点Q在函数y=1/、的图象上，设点P(m,y)

乙

在函数y=x?-2x的图象上，点P的变换点Q所在的图象记为G.

(1)直接写出图象G