ch7 正弦稳态电路的分析

第7章正弦稳态电路的分析

7－1基尔霍夫定律的相量形式

7－2基本元件的伏安关系式的相量形式

7－3阻抗、导纳和相量模型

7－4正弦稳态电路的分析

7－5正弦稳态电路的功率

7－6最大功率传输

§7－1基尔霍夫定律的相量形式

7.1.1基尔霍夫电流（KCL）定律的相量形式对于集总电路的任一个节点，根据KCL定律可得（7-1）若电路是在单一频率ω的正弦激励下，则电路进入正弦稳态时，各支路的电流都将是同频率的正弦量。（7-2）或（7-3）由于（7-2）、（7-3）式对任何时刻t均成立，则其相量关系也必须成立，即或（7-4）7.1.2基尔霍夫电压（KVL）定律的相量形式对于集总电路的任何一个回路，根据KVL定律可得（7-5）若电路是在单一频率ω的正弦激励下，则电路进入正弦稳态时，各支路电压都是同频率的正弦量。这样，式（7-5）可以写为（7-6）或（7-7）由于（7-6）、（7-7）式对任何时刻t均成立，则其相量关系也必须成立，即或（7-8）例7-1

如图7-1（a）所示电路，已知试求电流源电流及其两端电压并写出其瞬时值表示式。（a）例7-1电路图（b）电流相量图（c）电压相量图7-1例7-1图§7－2

基本元件的伏安关系式的相量形式7.2.1线性电阻元件在正弦稳态时，设流过线性电阻元件的电流为其中则在关联参考方向下，可得其中反映了电阻元件的电压与电流瞬时值之间的关系，称为时域关系，再根据6.4节所述引理可得，线性电阻元件电压、电流关系的相量形式为或可见，（1）电阻元件两端电压的有效值与流过电阻的电流有效值之间符合欧姆定律；（2）电阻元件两端电压与流过电阻的电流是同相位的。即（7-12）(线性电阻元件VAR的相量形式)（a）电压、电流瞬时值关系（b）电阻的相量图（c）电阻的相量模型

图7-2线性电阻元件7.2.2线性电感元件可得电感两端电压

（7-13）上式表明，当通过电感的电流为正弦量时，电感电压也是同频率的正弦量，且电感电压超前于电流90°。反映电感元件电压电流瞬时值关系的波形图如图7-3（a）所示。根据6.4节所述微分引理，若对应相量形式为，则对应的相量形式为，从而对应的相量形式为这就是电感元件伏安关系式的相量形式。（a）电压、电流瞬时值关系(b)相量图（c）相量模型图7-3线性电感元件电感元件电压与电流有效值之间的关系与L有关和ω有关。在电流有效值一定的条件下，ω越大，电压有效值越大；ω越小，电压有效值越小。当ω=0时，相当于直流电源激励，电感两端电压等于零，电感元件相当于短路线；当ω→∞时，相当于突然合闸此时ω

L→∞，uL→∞，电感元件相当于开路。因此，电感元件有通直流、阻交流，通低频、阻高频的特性。7.2.3线性电容元件在关联参考方向时，电容元件电压、电流满足当电容两端电压随时间按正弦规律变化时，即可利用对偶原理从电感元件的VAR推出。把电感元件VAR相量形式中的对偶元素互换，可得电容元件VAR关系式的相量形式（a）电压、电流瞬时值关系(b)相量图（c）相量模型图7-4线性电容元件或有例7-2

如图7-5所示电路，已知V1表读数为30V，V2表读数为80V，V3表读数为40V，求V表的读数。

图7-5例7-2电路图

解求解前，首先弄清楚各电压表的读数指的是各支路电压的有效值，且各支路电压有效值是不满足KVL定律的。如果电路中接有电流表同样如此。设电流源电流为A，并根据电压表V1读数为30V可知，电压u1的有效值为30V，由此得同样，由V2表读数为80V，V3表读数为40V，可得列出电路相量形式的KVL方程为则电压u（t）的有效值为50V，所以电压表V的读数为50V。

图7-5例7-2电路图

图7-6例7-2相量图相量图如图所示。7.3.1阻抗图（a）所示是一个含有线性电阻、电容或电感等元件，但不含有独立源的单口网络，当在该端口施以正弦电压时，端口电流将是同频率的正弦量。我们把端口电压相量与端口电流相量之比定义为该端口的复阻抗，简称阻抗。（a）（b）图无源单口网络及其等效符号阻抗用大写字母Z表示，在电路中用图（b）所示的符号来表示，即§7－3阻抗、导纳和相量模型

式中Z的模|Z|称为阻抗模，辐角θz称为阻抗角。阻抗的单位是欧姆（Ω）。图7-8阻抗三角形由定义式可得：阻抗Z也可以表示为代数形式，即其实部称为电阻，虚部称为电抗。由此知，单口网络的阻抗与其电阻和电抗分量三者构成了直角三角形关系，如图所示，称为阻抗三角形。在关联参考方向时，三种基本元件VAR的相量形式分别是则三种基本元件VAR的相量形式可统一表示为上式称为欧姆定律的相量形式。三种基本元件电阻R、电感L和电容C的阻抗分别为：由此知电阻R的阻抗即为其电阻R，而电感和电容的阻抗为纯虚数。因此电感的电抗可用XL表示，且，称为电感的电抗，简称感抗；电容的电抗用XC表示，且，称为电容的电抗，简称容抗。可以看出，电感和电容的电抗全是频率ω的函数。

阻抗的倒数定义为复导纳，简称导纳，用Y表示，即式中Y的模|Y|称为导纳模，辐角θY称为导纳角。导纳的单位为西门子（S），且导纳Y的代数形式为7.3.2导纳其实部称为电导，虚部称为电纳。由此知，单口网络的导纳与其电导和电纳三者构成了直角三角形关系，如图所示，称为导纳三角形

图导纳三角形三种基本元件的导纳分别为可见，电阻R的导纳即为其电导G，而电感和电容的导纳仍为纯虚数，用B表示。且，称为电感的电纳，简称感纳；，称为电容的电纳，简称容纳。可得到欧姆定律相量形式

基尔霍夫定律的相量形式与三种基本元件VAR的相量形式是列写电路相量方程的基本依据，也是对电路中各电压、电流变量所施加的全部约束。把原时域模型电路中的各支路电压和电流用相应的相量形式表示出来，各元件参数用相应的阻抗和导纳表示出来后所得到的模型就是原电路的相量模型。由于实际中并不存在用虚数来计量的电压和电流，也没有一个元件的参数会是虚数，相量模型只是一种假想的模型，是对正弦稳态电路进行分析的一种有效工具。另外，相量模型只适用于对输入是单一频率的正弦稳态电路进行分析。7.3.3相量模型将代入上式得图示RLC串联电路，要求出等效阻抗，可先得到相量模型。图RLC串联电路及其相量模型则RLC串联电路的等效阻抗为其等效阻抗模辐角这样，当θ

>0°时，其等效阻抗的虚部X>0，单口网络呈现感性；当θ<0°时，其等效阻抗的虚部X<0，单口网络呈现容性；当θ=0°时，其等效阻抗的虚部X=0，单口网络等效为一个电阻。根据RLC串联电路等效阻抗的表示式可得同理可得，对由n个阻抗串联组成的单口网络，其等效阻抗为辐角求图示RLC并联电路等效导纳。其相量模型如图（b）示。则（a）（b）

图RLC并联电路其等效导纳模辐角这样，当θY

>0°时，其等效导纳的虚部，单口网络呈现容性；当θ<0°时，其等效导纳的虚部，单口网络呈现感性；当θ=0°时，其等效导纳的虚部，单口网络等效为一个电导。同理，对由n个导纳并联组成的单口网络，其等效导纳为注意：任意一个单口网络等效阻抗的实部不一定只由网络中的电阻元件来决定，虚部也不一定只由电感和电容元件来决定，它们都应该由网络内各元件参数以及频率等共同决定。§7－4正弦稳态电路的分析根据电路的相量模型，可以把线性电阻电路的分析方法运用到正弦稳态电路的分析中，以建立相量形式的电路方程，进而通过求解复数方程得到电路的稳态响应，这种方法称为相量法，相量法是用于分析正弦稳态电路的一种主要方法。相量形式的电路方程和电阻电路的电路方程是一样的，也是线性代数方程，只是所得的方程系数一般是复数，这样，用于分析线性电阻电路的各种方法、原理和定理等，如网孔分析法、节点分析法、叠加定理和戴维南定理等都可以推广运用到正弦稳态电路的相量法分析中。7.4.1一般正弦稳态电路的分析用相量法分析正弦稳态电路的基本步骤归纳如下：（1）写出各已知正弦量相应的相量形式。（2）根据原电路的时域模型得出电路的相量模型。在相量模型中，各元件的参数均用其相应的阻抗或导纳来表示，即电阻元件的R或G保持不变，电感元件用其阻抗jωL或用其导纳1/jωL来代替，电容元件用其阻抗1/jωC或用其导纳jωC来代替。对正弦电压源或电流源，也采用相应的相量形式来标注，各支路电压、电流用相量形式代替，参考方向保持不变。（3）根据相量模型建立相量方程，求出各响应相量。求解时，可以运用网孔分析法、节点分析法、叠加定理和戴维南-诺顿定理等对原电路的相量模型进行分析。（4）将所求得的各支路响应相量形式变换成相应的时域表达式。图7-13例7-3电路图图7-13所示电路，试用网孔分析法求电流i1（t）。已知解1）写出已知量的相量形式为例7-3（3）根据网孔分析法列出电路的网孔方程如下（2）画出原电路的相量模型如图所示，其中例7-4

图7-15所示电路，试用节点分析法求各节点电压。已知图7-15例7-4电路图图7-16例7-4相量模型解原电路的相量模型如图所示，图中标出了参考节点及独立节点。解先求出ab左端含源单口网络的戴维南等效电路。如图（b）可得图7-17（a）所示电路，其中，试用戴维南定理求电流例7-5下面求短路电流。此处用叠加定理求解。

单独作用时

单独作用时原电路的戴维南等效电路如图所示，由图可得

7.4.2单口网络相量模型的等效1．无源单口网络图示为不含独立源但可以含有受控源的单口网络，其VAR可以表示为，其中Z称为无源单口网络的等效阻抗或输入阻抗，一般为复数，可以写为图无源单口网络

其中的R和X分别称为等效阻抗的电阻和电抗分量，它们都是由网络中各元件参数和频率共同决定的函数。其等效相量模型可表示为R和jX的串联组合，如图所示。另外，对无源单口网络来说，其VAR也可以表示为，其中Y称为单口网络的等效导纳或输入导纳，可以写为其中的G和B分别称为等效导纳的电导和电纳分量，它们也是网络中各元件参数和频率的函数。其等效相量模型可表示为G和jB的并联组合，如图所示。对同一个无源单口网络来说，其阻抗和导纳互为倒数，即例7-6图7-20所示单口网络，求ω=3rad/s时单口网络的等效阻抗、等效导纳及其相应的等效电路。

图7-20例7-6图

图7-21ω=3rad/s时的相量模型

解

ω=3rad/s时，原单口网络的相量模型如图7-21所示。（a）（b）（c）（d）图7-22例7-6的两种等效电路单口网络的等效导纳为1/0.119=8.403Ω，1/=0.204→L=1/(3×0.204)=1.634H

2．含源单口网络根据戴维南定理，在正弦稳态电路中，对含有独立源的单口网络相量模型，可以等效为一个电压源和等效阻抗Zeq的串联组合，其中电压源的电压是原单口网络相量模型的开路电压，等效阻抗Zeq为原网络中所有独立源置零时单口网络的等效阻抗。（1）用方法。

等效阻抗的求法总结如下：

求解端口开路电压相量和端口短路电流相量时，独立源仍需保持在原单口网络中，这是特别要注意的，求解出和后，则（2）用外施电源的方法。求解时，先把独立源置零，再在端口外施一个电压源（或电流源），求解出端口电流表示式（或电压），则或（3）设受控源控制量等于1的方法。求解时，先把独立源置零，再设受控源的控制量等于1，（即如果是VCVS或VCCS则控制支路是电压，因此设控制支路的电压为1V；如果是CCVS或CCCS则设控制支路的电流为1A），然后根据具体电路结构求出端口电压和电流的数值，则端口电压和电流的比值就是其等效阻抗。这种方法只适用于求解含有受控源的无源单口网络的等效阻抗。（4）如果单口网络在把独立源置零后，只含有一些阻抗或导纳的组合，则直接用串并联公式或△-Y间的等效变换计算即可。这种方法不适用于含有受控源的单口网络。例7-7

图（a）所示单口网络，试用戴维南定理求出其戴维南等效电路。在ω=1rad/s时，画出其等效电路的时域模型。(a)(b)解（1）求开路电压。在端口开路时，可把图（a）所示单口网络等效变换为图（b）所示电路。在图中，设回路电流为，列出KVL方程如下（2）求等效阻抗。

第一种方法：用

回路1的KVL方程如下

第二种方法：外施电源法。

在端口外施一个电压源，如图所示。由图得

最右边回路的KVL方程为

第三种方法：设控制量等于1。此处设因此原单口网络的戴维南等效相量模型如图（a）所示。在ω=1rad/s时的时域模型如图7-27（b）所示。（a）（b）

图戴维南等效电路§7－5正弦稳态电路的功率瞬时功率:在关联参考方向时，网络在任一瞬间吸收的功率等于电压电流瞬时值的乘积，该乘积是一个随时间变化的量，称为瞬时功率。瞬时功率用小写字母p表示，写作图示单口网络，在正弦稳态时，其端口电压和电流是同频率的正弦量，设当p>0时，表示单口网络吸收功率；当p<0时，表示单口网络释放功率。瞬时功率的单位是瓦特。平均功率：瞬时功率在一个周期内的平均值，叫做平均功率，用大写字母P表示，即平均功率代表了电路实际所消耗的功率，所以又称为有功功率（activepower），习惯上常把“平均”或“有功“二字省略，简称为功率，单位为瓦特（即有功伏安）。通常所说的功率都指平均功率而言。

7.5.1电阻的平均功率

在正弦稳态时，电阻上的电压和电流是同相的，可设θu=θi=0˚

，这样在关联参考方向时，电阻所吸收的瞬时功率为其中UI是一个与时间无关的量，在端口电压、电流一定的条件下是一个常量；UIcos2ωt则是随时间作两倍频率变化的周期量。

图电阻元件的功率波形图可看出，电阻元件始终是吸收功率和消耗能量的，电阻元件是耗能元件。电阻元件的平均功率7.5.2电容的平均功率、平均储能瞬时功率为在正弦稳态时，设电容的θu=0

˚

，则θi=90˚电容元件的平均功率为上式表明电容元件的平均功率等于零，电容元件既不会产生功率，也不会消耗功率。电容元件的瞬时储能为电容的平均储能7.5.3电感的平均功率、平均储能

在正弦稳态时，可设电感的θu=0o，有θi=-90o，则瞬时功率为平均功率为表明电感元件既不会产生功率，也不会消耗功率。当瞬时功率大于零时，它吸收功率，当瞬时功率小于零时，它释放功率，但在一个周期内，其所吸收的功率和释放的功率相等，因此平均功率为零。电感的瞬时储能为电感的平均储能平均储能越大，说明储能元件进行能量交换的数值也越大。7.5.4单口网络的有功功率、无功功率、功率因数、视在功率、复功率一．有功功率设图示单口网络端口电压、电流分别为则网络的瞬时功率为图单口网络由可见，p时正时负，p>0时，单口网络从外电路吸收功率，外电路给网络提供能量；p<0时，网络向外电路释放功率，单口网络给外电路提供能量。表明了网络与外部电路间存在着能量的交换。如果在一个周期中，p>0的部分大于p<0的部分，说明网络吸收的功率大于释放的功率，表明网络内存在着能量的消耗，这是由网络内所包含的电阻元件引起的。单口网络的平均功率为二．无功功率

无功功率用大写字母Q表示，其定义式为无功功率表示了无源单口网络中电抗分量与外电路之间存在着能量的往返转移，其数值表示了单口网络中储能元件与外电路间能量交换的最大值，反映了网络与电源往返交换能量的程度。根据瞬时功率表示式式中始终为正值，反映了单口网络从外电路吸收的功率，其平均值恰好为网络的平均功率，则反映出单口网络与外电路交换能量的特性，其振幅恰好为单口网络的无功功率，平均值为零。无功功率也具有功率的量纲，其基本单位为乏（var），即无功伏安。纯电阻支路的无功功率Q=0。纯电感支路的无功功率为纯电容支路的无功功率为电感吸收的无功功率为正，电容吸收的无功功率为负，这是因为选取了θ

=θu-θi

。这样，对感性电路来说，其电压超前电流，所以Q>0，对容性电路来说，其电流超前电压，所以Q<0。另外，在同一电压（或同一电流）下，QC和QL仅差一个负号，说明了感性和容性元件的无功功率是互补的。电感元件放出（吸收）能量的时刻恰好是电容元件吸收（放出）能量的时刻。三．视在功率

视在功率是单口网络端口电压有效值与电流有效值的乘积，用大写字母S表示，即

视在功率标志了单口网络可能达到的最大功率，在实际应用中常用来表示一个发电设备的容量。视在功率的单位为伏安（V·A）。

有功功率P、无功功率Q与视在功率S三者之间可构成一个直角三角形，称为功率三角形，如图所示。四．功率因数单口网络平均功率表示式中的cosθ表示了功率的利用程度，称为功率因数，记作λ，即其中θ=θu-θi为单口网络端口电压、电流的相位差角，称为功率因数角。当单口网络呈现纯电阻特性时，功率因数角为零因而cosθ=1，此时P=UI，功率利用程度最高。当单口网络呈现容性或感性时，功率因数角|θ|≤90o

，因而cosθ<1，此时P<UI。但无论是正是负，cosθ总为正值。当单口网络是纯电抗元件时，|θ|=90o,cosθ=0，P=0。表明电抗元件不消耗能量，所以称电感、电容为无损元件。

如果单口网络内含有独立源，θ就是端口电压与电流的相位差角，此时P可能为正值，也可能为负值。

在实际用电设备中，大多数负载是感性负载，功率因数一般在0.75～0.85，轻载时低于0.5。这样，在传送相同功率的情况下，负载的功率因数低，则流过负载的电流就必然相对地大，电源设备向负载提供的电流也就要大，从而使线路上电压降和功率损耗增加，电能消耗也较大，降低了输电效率。另一方面，在电源电压、电流一定的情况下，功率因数越小，电源输出功率也就越低，限制了电源输出功率的能力，所以有必要提高功率因数。在实际中，通常是在用电设备的配电房中集中配置一定的电容元件，使各电感设备上的无功功率与电容的无功功率互补，称为感性负载无功功率的补偿。例

左图单口网络，已知端口求单口网络的P、Q、S以及λ。

解：根据相量模型可得其等效阻抗为由于是无源单口网络，其端口电压、电流满足可见，在无源单口网络端口电流已知时，若能求得单口网络的等效阻抗，则可利用下式求解其平均功率另外，由单口网络的等效导纳对无源单口网络来说，计算平均功率时，可根据情况选用以下公式：

无功功率Q的求解如下：

对无源单口网络来说，计算无功功率时，也可根据情况选用以下公式：

单口网络的视在功率S为功率因数为

例

日常使用的日光灯电路，它的电路模型实质是一个电阻和电感元件串联组成，功率因数小于1，要求线路提供的电流较大，要提高日光灯电路的功率因数，可在输入端并联一个适当数值的电容元件以抵消电感分量，使其端口特性接近于纯电阻而使功率因数接近于1。图示电路中，在f=50Hz时，试求在端口a、b并联多大的电容时，可使功率因数提高到1。解

由图（a）可知

电路的相量图如图（b）所示。日光灯电路所吸收的平均功率为此时AV要提高功率因数，可在端口a、b并联一个电容，如图所示。此时电源提供的无功功率为

Q=QL

+QC当λ=1时，Q=0，因此

QC=-QL=-10var

QC=-ωCU2=-10var此时电源提供的电流为一般并联电容时不必将功率因数提高到1，这样会使电容设备的投资增加，通常使功率因数达到0.9左右即可。五．复功率

复（数）功率（complexpower）是一个可以把单口网络的有功功率、无功功率和视在功率以及功率因数角用一个表示式紧密联系起来的量，其表示符号为，设为单口网络端口电压相量，为端口电流相量，其共轭复数为，则单口网络的复功率定义为端口电压相量与端口电流相量共轭复数的乘积，即表7-1正弦稳态单口网络功率的各种计算公式可以看出，复功率的实部是有功功率P，虚部是无功功率Q，模是视在功率S，辐角为功率因数角θ，因此复功率把有关功率的概念运用一个式子表示了出来。其单位与视在功率相同，也是伏安（V·A）。

复功率是用来计算功率的复数量，它本身不代表正弦量，也不是功率，但引进了复功率的概念，用于分析正弦稳态电路的相量分析法也可以用于研究功率。对于正弦稳态电路来说，由于有功功率和无功功率都是守恒的，所以复功率也守恒。也就是说由电路中每个独立电源发出的复功率的总和等于电路中其它电路元件所吸收的复功率的总和。设电路有b条支路，其中第k条支路的电压、电流分别记为、，则根据复功率守恒可得说明在正弦稳态下电路所有支路的有功功率之和为零，无功功率之和也为零。表明了电路中由各电源所发出的有功功率的总和等于电路中其余电路元件所吸收的有功功率总和；由各电源所发出的无功功率之和等于电路中其余电路元件所吸收的无功功率总和。求图中2Ω电阻吸收的平均功率P，并求出QC、QL以及ω=1rad/s时的WC、WL

及各支路的复功率例

(2-j2)-2=20/0°

(2+j2)-2=-30/0°=-5+j10=11.18/116.57°A=-5+j15=15.81/108.43°AP=I2R=25×2=50W

var

由ω=1rad/s，ω

L=2，1/ω

C=2得：L=2H，Ｃ＝0.5F。则电容两端电压为则电容元件的复功率为电阻元件的复功率为电感元件的复功率为左侧电压源的复功率为右侧电压源的复功率为=-5+j10=11.18/116.57°A=-5+j15=15.81/108.43°A（a）（b）图说明最大功率传输的电路§7－6最大功率传输则电流的有效值为负载吸收的平均功率为要使平均功率为最大，首先需满足

XL=-Xeq此时功率P变为要使P