ch6 交流动态电路的分析

第6章交流动态电路的分析

6－1正弦量6－2正弦激励下一阶动态电路的分析6－3复数6－4相量法基础6－5用相量法求动态电路的特解§6－1正弦量6.1.1时变电压和电流

时变电压（电流）:电压（电流）的大小和（或）方向随时间变化的量。时变电压（电流）在任意一个时刻的数值称为它的瞬时值，用小写字母表示，记为u(t)和i(t)。

周期电压（电流）:如果时变电压（电流）的每个值在经过相等的时间后循环出现，那么这种时变电压（电流）就是周期性的。

周期:用T表示，国际单位是秒（s）。频率:用f表示，单位为赫兹（Hz）。频率和周期之间的关系为平均值:在一个周期内瞬时值的平均量。交变电压:如果周期电压（电流）的大小和方向都随时间变化，但平均值为零，这种周期电压(电流)是交变的，称为交变电压（交变电流），也称为交流电压（电流）。交流电路:如果电路中所含的独立源是交流电压源和（或）交流电流源，则该电路为交流电路。交流电阻电路:如果交流电路中除电源以外所含元件都是线性电阻元件，则称为交流电阻电路。交流动态电路:如果交流电路中除电源以外所含的元件至少有一个是动态元件，则称为交流动态电路。从本章开始研究交流动态电路的分析方法。6.1.2正弦电压和电流正弦电压（电流）:电路中按正弦规律变化的交流电压（电流）称为正弦电压（正弦电流）。正弦电压（电流）是使用最广泛的一种交流电压（电流），统称为交流电，用AC或ac表示。正弦交流电路:如果交流动态电路中所含有的独立源随时间按正弦规律变化，则这种交流电路称为正弦交流电路或正弦电路。以正弦电流为例，其瞬时表示式为三个常数Im、ω、θi分别称为正弦量的振幅、角频率和初相角，统称为正弦量的三要素。波形如图所示。正弦量的振幅Im或最大值是正弦电流瞬时值中最大的值，是一个常量，用带下标m

的大写字母表示。

对一个正弦量来说，既可以用正弦函数表示也可以用余弦函数表示，本书全部采用余弦函数表示。初相角通常在|θi|≤π的主值范围内取值，其大小与计时起点的选择有关。正弦电流表示式中的（ωt＋θi）称为相位角，简称相位。不同的相位对应着不同的瞬时值，所以相位代表了正弦量变化的进程。

角频率ω表示了相位角随时间变化的速度，即

单位为弧度/秒（rad/s）。角频率与正弦量的周期T和频率f之间的关系为

正弦电流的初相角θi反映了正弦电流在t=0时的大小，即

6.1.3有效值

周期电压（电流）的瞬时值是随时间变化的，而平均值有时又为零，这就需要为周期量规定一个能表征其总体效应的量，这就是有效值。

以周期电流为例，设有两个相同的电阻R，分别给它们通以直流电流I和周期电流i（t），若在周期电流一个周期T的时间内，这两个电阻所消耗的电能相等，也就是说，在做功方面直流电流I和周期电流i（t）在一个周期内的平均做功能力是相等的，则该直流电流I就是周期电流i（t）的有效值。

在一个周期T内，直流电流I通过电阻R所消耗的电能为周期电流

i（t）通过电阻R所消耗的电能为

如果W1=W2，即

同理可得正弦电压的有效值

设有两个同频率的正弦电压和电流分别为

它们之间的相位之差称为相位差，用

θ12表示，即

相位差是区分两个同频率正弦量的重要标志之一。6.1.4同频率正弦量的比较如果θ12>0，则称电压u1的相位超前于电流i2的相位为θ12，或称电流i2

的相位滞后于电压u1的相位为θ12。如果θ12<0，则称电压u1的相位滞后于电流i2

的相位为θ12，或称电流i2的相位超前电压u1

的相位为θ12。因为超前和滞后是相对来说的，所以相位差常采用主值范围内的弧度或角度来表示，即|θ12|≤

π图同频率正弦量相位差的三种特殊情况如果θ12=0，表明相位差为零，称为电压u1与电流i2同相位），如图（a）所示，此时两个正弦量同时到达正的最大值，同时通过零点。如果θ12=±π/2，则称电压u1与电流i2相位正交，如图（b）所示。如果θ12=π，则称电压u1

与电流

i2反相，如图（c）所示。(a)(b)(c)

例6-1

已知正弦电压u（t）和电流

i1（t）、i2（t）的瞬时值表示式分别为

u（t）=15cos（314t+150°）V,i1（t）=10cos（314t+105°）A，

i2（t）=8cos（314t－45°）A，试求电压

u（t）和电流i1（t）、i2（t）的相位差。解

电压u（t）和电流i1（t）、i2（t）的相位差分别为（a）（b）图6-3例6-1由于通常采用主值范围内的角度来表示同频率正弦量的相位差，所以通常说成是电压u（t）落后于电流i2（t）的相位差为

θ΄=360°-195°=165°§6－2正弦激励下一阶动态电路的分析图示RL电路，t=0时开关闭合，且iL（0－）=0A。设其外施激励为正弦电压t≥0回路的KVL方程如下t≥0t≥0初始条件为：iL（0+）=iL（0-）=0A，则上式对应齐次方程的通解为iLh（t）=Ke-t/τ，其中τ=L/R，K为常数，由初始条件来确定。下面求非齐次方程特解iLp（t），特解形式根据方程右端us（t）的形式可设为同一频率的正弦时间函数，即把上式代入原方程，得利用则微分方程的通解为t≥0其中常数K要根据初始条件iL（0+）=

iL（0－）=0来确定，即t≥0

由上式可知，该电路的响应由两部分组成，一个是暂态响应分量，也就是对应齐次微分方程的通解，当t趋于无穷大时，理论上该项趋于零。另一个是稳态响应分量，也就是非齐次微分方程的特解，当t趋于无穷大时t≥0

可以看出，这个电路存在两种工作状态，首先是达到稳态前的过渡状态，在此期间电路的响应由暂态响应分量和稳态响应分量共同构成，显然此时响应不是按正弦规律变化的。暂态响应分量之所以会存在，是为了使电路的响应满足初始条件，以保证换路瞬间电感电流不能发生跃变。在暂态响应的过渡过程结束后，电路进入稳定状态。在稳态时，响应将按正弦规律变化，且与外施正弦激励同频率，我们称这一状态为正弦稳态。与稳态响应过程相比，过渡过程是非常短暂的，一般在t>4τ时，就可认为电路已进入正弦稳态，t≥0图6-5RL电路的响应iL（t），iL（0）=0，曲线1：暂态响应分量；曲线2：稳态响应分量t≥0§6－3复数用直角坐标形式表示时复数A的三角形式可以写成其中θ=arctga2/a1，为复数A的辐角。1.复数的几种表示形式这样复数因此复数A的指数形式为复数A还可以写成极坐标形式，即由欧拉公式例6-2

把下列复数化为指数形式和极坐标形式。（1）A=30-j40；（2）A=-5.7+j16.9；（3）A=32+j41；（4）A=-8-j7。解（1）A=30-j40=50/-53.1°=50e-j53.1°

（2）A=-5.7+j16.9=17.84/108.6°=17.84ej108.6°（3）A=32+j41=52/52°=52ej52°（4）A=-8-j7=10.63/-138.8°=10.63e-j138.8°

则（a）相加（b）相减图复数在复平面上的加减运算复数要进行相加或相减运算，最好用直角坐标形式来进行。2.复数的运算复数的相加（减）运算在复平面上用做图法进行时，如图所示。在复数相乘时，用指数形式或极坐标形式则较为方便，即在复数相除时，同样用指数形式或极坐标形式较为方便，即由此得出结论，两个复数相乘时，其模相乘，辐角相加。两个复数相除时，其模相除，辐角相减。共轭复数:若两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则这两个复数叫做共轭复数.§6－4相量法基础

由正弦激励下一阶动态电路的分析可知，在正弦稳态时，如果所有的激励都是同频率的正弦量，则电路中各支路的电压和电流将按与激励同频率的正弦规律变化，这样，电路中的电压和电流只需确定两个要素：振幅和初相角。相量法就是一种用来确定正弦量的振幅和初相角的较简便方法。设有一个正弦电压u（t），表示式如下

又有一个复数写成指数形式为U

mej（ωt+θu），将其转换成三角形式为

比较以上两式可以看出，正弦电压u（t）的表示式恰好是复数

U

mej（ωt+θu）的实部，即

通过数学方法，把一个实数范围的正弦量与一个复数一一对应起来，即其中包含了正弦电压的振幅和初相角两个因素，这样，在角频率ω已知时，正弦电压u就可以完全确定。因此便是一个足以表征正弦电压的复值常数，再由正弦量的振幅和有效值之间的关系可得即正弦电压的有效值相量为振幅相量和有效值相量之间的关系为一般所说的相量指有效值相量，并简称为相量。用振幅相量时，需加下标m。相量在复平面上用有向线段来表示的图称为相量图。右图所示有向线段为电压相量，图中有向线段的长度为相量的模，即正弦量的有效值（振幅），有向线段与横轴的夹角为相量的辐角，即正弦量的即正弦量的初相角。图电压相量图

每个正弦量都有与之对应的相量，相应地，知道了相量也就可以立刻写出它所代表的正弦量。另外，相量只是用来表征或代表正弦量的，并不等于正弦量。在正弦电路处于稳态时，如果所有的激励都是同频率的正弦量，则各个支路的响应也是和激励同频率的正弦量。只有具有相同频率的正弦量才可以画在同一个相量图上，不同频率的正弦一般不能画在一个相量图上。例6-3

若(1)(2)(3)试写出代表各正弦量的相量，并画出相量图。解

（1）则代表u1(t)的相量为∕30°=8.66+j5V（2）则代表u2(t)的相量为∕-60°=5-j8.66V

（3）则代表i1(t)的相量为

∕-120°=-3.54-j6.12A

各正弦量的相量图如图所示。其中u1(t)、i1(t)为同频率的正弦量，可以画在一个相量图中，如图（a）所示，而u2(t)与u1(t)、i1(t)频率不同，画在另一个相量图中，如图（b）所示。（a）（b）图例6-3相量图

用相量代表正弦时间函数可将同频率正弦量之间的运算转换为相量的运算，从而使正弦量之间的运算得到简化，下面介绍几个有关的引理。

引理1

唯一性引理两个同频率的正弦量相等的充要条件是它们的相量形式对应相等。即有任意两个同频率的正弦量

对应的相量形式分别为，则对所有时刻t，

两个正弦量相等的充要条件是：

证明：（1）充分性

因为则在所有的时刻t根据复数相等的条件可得即x1(t)=x2(t)（2）必要性

因为对所有的时刻t，两个正弦量都相等，即在t=0时，由

Re[]=Re[]在t=

时，由，可得Re[

]=Re[]根据复数相等的条件可得

即

Im[]=Im[]

引理2

线性引理

n个同频率的正弦量

的线性组合仍为一个同频率的正弦量，且正弦量的相量形式为各个正弦量的相量的同一线性组合。即若

x（t）=α1x1（t）+α2x2（t）+…+αn

xn（t）其中α1、α2、…、αn均为实常数则证明：

=α1x1（t）+α2x（t）+…+αn

xn（t）=α1Re[]+α2Re[]+…+αnRe[]=Re[α1]+Re[α2]+…+Re[αn]=Re[α1+α2+…+αn]=Re[（α1+α2+…+αn）]x（t）=R