2021高考导数压轴专题

导数压轴题专题

痔％敷学

专敦一导熬身切俵

专驳二导数与晶数单碉槌

专驳三导熬马备照收伍、景值

专致四导照马信我走

专驳五导熬鸟曲数泰直

专驳力导熬S抠变量

专驳上导熬马陇奉克间敢

专处'导熬号系等式证期

专观九导熬与收假点偏移

专验十拉格朗日中位定理

专致十一二法求导击数（二阶导惑J

专驳十二利用导教解决几何问屡.

专观一导照与切依

钠短7，已知函数/(x)=x3_2f+x.求曲线y=/(x)在点(T-4)处的切线方程;

解：(1)由题意得/'(力=3/_4%+1,所以/，(_])=8

又因为/(T)=-4,所以切线方程为歹=8(x+l)-4

整理得8x_y+4=0.

双也1.函数/(x)=2+lnx—l.求曲线N=/(x)在点(2J(2))处的切线方程；

x

解：(1)因为/(x)=1+lnx—l的定义域为x«0,48),

X

所以/'(x)=,

x~Xx~

因此271，即曲线歹=/(x)在点(2J(2))处的切线斜率为1.

r(2)-=；

又〃2)=ln2_g,

所以曲线y=/(x)在点(2J(2))处的切线方程为y-|ln2-^-|=^-(x-2),

I2J4

即x-4y+41n2-4=0；

刎题2设函数〃x)=，+3x,求曲线y=/(x)过原点的切线方程；

解：(1)设切点坐标为10，*+3毛)，/'(x)=e'+3

所以左=/'(Xo)=e"+3.

所以切线方程为一(e*°+3xo)=(e"+3)(x-x0).

又因为切线过原点，所以一(*+3/)=(*+3)(-/)

xx

所以e°=x0-e°,所以几=1

故所求切线方程为N=(e+3)x.

应由1已知函数/(x)=2(x+l)ln(x+l).经过点(-1,-2)作函数/«图像的切线，

求该切线的方程.

解：设切点为(为,")，则%=2(%o+l)ln(/+l),/'(x0)=2(ln(x0+l)+l)=^1,

玉)十1

解得%=%=0,故切线方程为y=-2x,即2x+y=0.

钠做3.已知函数/(JV)=X—1+="(a£R,e为自然对数的底数).

c

(1)若曲线y=/(x)在点(1,/(I))处的切线平行于x轴，求a的值；

(2)当。=1时，若直线/:1与曲线＞=兀。相切，求/的直线方程.

解：⑴/(工)=1一,

因为曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线平行于x轴，

所以/(1)=1—^=0,

解得〃=6

(2)当4=1时，/)=-一1+二,f(x)=l--

ee

设切点为(xo,yo),

Vy(xo)=xo-1+=kxo-1,①

八刈)=1一，=乂②

①+②得xo=Axo-l+冗即(上一1)(乂)+1)=0.

若左=1,则②式无解，

**•xo=-1,k=1—c.

・•・/的直线方程为歹=(1-e)x-l.

血⑥3.已知函数/(X)=%3-3X.

(1)求曲线y=/(x)在点x=2处的切线方程；

(2)若过点4(L〃z)(加工-2)可作曲线y=/(x)的三条切线，求实数m的取值范

围.

解：(1)/^(X)=3X2-3,

，切线斜率A=/'(2)=9J⑵=2,

J曲线y=/(x)在x=2处的切线方程为》一2二9(%一2),

・•.即9x-y-16=0；

(2)过点4(1,机)向曲线y=/(x)作切线，设切点为(/，%),

则No=xl-3xo，k=/,(X)=3XQ-3,

・••切线方程N-("一3%)=(3*一3)(x-x。)，

即2x1—3x；+加+3=0,

.,・2■一3君+〃2+3=0有三个不同实数根，

记8(%)=2/-3/+m+343=6/-6'=6X(1-1),令？(x)=0,x=0或1,

则x,g'(x),g(x)的变化情况如下表

X(-8,0)0(0,1)1(1,+00)

g'(x)+0-0+

g(x)/极大极小/

当x=0,g(x)有极大值加+3;x=Lg(x)有极小值m+2.

因为过点4(1,加)(相。-2)可作曲线y=/(x)的三条切线,

则jg(j<0,即3+2<0，

解得—3<<—2,

所以加的范围是(一3,-2).

【素养提升】

1.已知函数/(x)=xlnx,若直线/过点(0,-e),且与曲线歹=/(工)相切，则直线/的

斜率为()

A.-2B.2C.-eD.e

【答案】B

【解析】函数f(x)=x\nx的导数为/*(x)=lnx+l，设切点为(肛〃，则〃=mlnm,

可得切线的斜率为％=1+Inw，所以1+Inw=n+e=布""+'，解得

tnm

m=e,左=l+lne=2,故选B.

2.若/(%)+3/(-X)=/+2%+1对x£R恒成立，则曲线y=f(x)在点(1J⑴)处的切

线方程为()

A.5x+2y-5=0B.10x+4y-5=0

C.5x+4^=0D.20x-4y-15=0

【答案】B

【解析】

v/(x)+3/(-x)=x3+2x+1...©/./(-x)+3/(x)=-x3-2x4-1....②

iiQ

联立①②,解得:/(力=-5%3_%+则/，⑺=_h2_1

,)244V22

切线方程为：y+：=_g(x_l),即10x+4y_5=0,故选5

3.已知函数段)=如+.，-16.直线，为曲线y=/a)的切线，且经过原点，求直线/的方程及切点

坐标.

【分析】设切点为(xojo),整理出关于丫的方程，解方程求出切点(xojo),再用点斜式写出方程.

xo

【解析】法一：设切点为(xoW),则直线/的斜率为/(XO)=3/2+1,・•・直线./的方程为y=(3/2

323

+l)(x-xo)+x0+xo-16,又•・•直线/过点(0,0),，0=(3x0+1)(—xo)+x0+回一16,整理得,

=

x(l'=-8,/.xo-2,

工泗=(-2>+(-2)—16=-26,%=3x(-2尸+1=13.

，直线/的方程为y=13x,切点坐标为(-2,—26).

法二：设直线/的方程为)一h,切点为(xoj，o),

xo-0xQ

22

又k=f(xo)=3X0+1,:.1+/一6=3X04-1,

解之得xo=-2,・・・内=(-2>+(—2)—16=—26■=3x(-2)?+1=13.

・••直线/的方程为y=13x,切点坐标为（-2,—26）.

4.已知过点。0,1）且与曲线y=Y相切的直线的条数有（）.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】设切点为（x°,y0）,则y°=x03,由于直线11经过点（2J）,可得切线的斜率,

再根据导数的几何意义求出曲线在点与处的切线斜率，建立关于与的方程，通

过解方程确定切点个数.

【解析】若直线与曲线切于点（Xo，y0）（xowO）,则k="|=%1=x>xo+l,

X。—1—】

又・・・:/=3乂2,・・・小=*0=3*0；♦・・2*02-*0-1=0,解得*0=1/0=-：,

・•・过点P（L1）与曲线C:y=x'相切的直线方程为3x—y—2=O或3x—4y+l=0,

故选C.

5.已知直线/即是曲线C|:/的切线，又是曲线C,的切线，则直线/在

4

x轴上的截距为

A.2B.1C./D.一/.

【答案】B

【分析】设出直线/与两曲线的切点，分别求出两曲线在切点处的切线方程，由斜

率与截距相等列式求得切点的横坐标，代入切线方程,则答案可求.

【解析】设直线/与曲线G:的切点为（不■），与曲线。2：的

切点为（孙卜2%2），由尸决,得y'l,f,由产;e2/,得凡』二；/%，

.••直线/的方程为="'（工一司）,或

x12

el=-e2x.

则J，解得X|=X2=2.

x,x,22

e-xte=-e\--e\

，直线/的方程为：y-e1=e1（x-2），取歹=0,可得x=l.

・•・直线/在x轴上的截距为1.故选工

6.若点P是函数y=.2sinX图象上任意一点，直线1为点、P处的切线,则直线1

sinx+cosx

斜率的范围是()

A.(-8,1)B.[0,1]C.[L+8)D.(0,1]

【答案】C

■・..._2sinx._2cosx(sinx4-cosx)-2sinx(cosx-sinx)

[角单析]>/y=,「•y=~~

sinx+cosx(sinx+cosx)~

2cos2x+2sin2x_2

_1<sin2x<l,/.0<1+sin2x<2,

l+2sinxcosxl+sin2x

11?

———>i..・・直线i斜率的范围是口,+8).

1+sin2x21+sin2x

故选C.

7.设曲线。:、=3£*-2/-9/+4,在曲线C上一点〃(1,一4)处的切线记为/,则

切线/与曲线C的公共点个数为

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】y=12^-6^-18¥^=12-6-18=-12

二./方程为：^+4=—12(x—^=-12x4-8

y=3x4-2x3-9x2+4g

432

y=-12x+843X-2X-9X+12X-4=0

即：(X-1)2(X+2)(3X-2)=0

2

士=1,々二一2,工3=§,.・•曲线c与1/的公共点个数为：3个，故选Co

8.若函数f(x)=Inx+ax与函数g(x)=/的图象存在公切线，则实数。的取值范围

是()

A.(一8,-1]B.(-oo,0]C.(一8,1]D.(-oo,2]

【答案】C

【解析】设公切线与函数/(x),g(x)分别切于点力(再,必)/(々，力),则过A,BA

的切线分别为：y=，+a]x+lnx[-1、y=？々X-々、两切线重合,则有：

1项；

Inx,-1=-x2=>x,-代入F4=2x2得：e"t-29=-"，构造函数：

2X]

/?(x)=ev'-1-2x,/?*(x)=2xex2-1-2,A,(l)=0,x>l,A'(x)>2-2=O,A(x)z71.

OKxvl,"(x)<2-2=0,xv0,〃'(x)<0,，x<l,〃(x)、.欲合题意，只须

-a>h(\)=-\^>a<\,

9.已知函数/(x)=e\g(x)=a4。0),若函数y=/(x)的图象上存在点

产(%，%),使得y=/(x)在点尸(七，%)处的切线与y=g(x)的图象也相切，则。的

取值范围是()

A.(0,1]B.(0,^/^]C.^l,\/2ejD.(,2e

【答案】B

【解析】f(x)=ex,g(x)=ayfx的公共切点为尸(%,/。),设切线与y=g(x)的图象

相切与点J'(xo)=e"，g'(z)=£

ex°=-^>0

14i

由题意可得r，解得/=1T

ev"a&=*

x0-t

所以a=2，e"=2«3'/>0，令h(J)=2山e[〉。

则》⑺二961一2加1二Mi

令"(Z)=0,解得/=(，当00时,帕)>0

当0<Z<g时,"(。>0，函数〃⑺在(0，)上单调递增

i(1A

当产时”S<0，函数咐在0,不上单调递减

当t从右侧趋近于0时,〃(0)投近于0,力g)=J^

当t趋近于+8时,〃(0)趋近于0

所以4£，故选B

10.若X=,是函数/(x)=In工-h的极值点，则函数f(x)=InR-b在点(1,/(1))处

e

的切线方程是.

【答案】(e-l)x+y+l=0

【解析】由题得CM=--k,.\f(-)=-k=0,:.k=e.

xee

所以左二/f(l)=\-k=\-e,

/(1)=一左二-e,所以切点为(1,-e),

所以切线方程为y+e=(\-e)(x-l),.\(e-1)x+^+l=0.

故答案为：(e-l)x+y+l=0

11.若函数/(x)=a\nx,(aeR)与函数g(x)=4x，在公共点处有共同的切线，则实

数a的值为.

【答案】|

【解析】函数/(工)=。欣的定义域为(O,+8)J'(x)=W，g'(x)=在，

设曲线/(x)=Hnr与曲线g(x)=4公共点为(%,%),

a1.

由于在公共点处有共同的切线,工《二可7,解得/=44-,a>0.

由/(Xo)=g(x0),可得。叫=反.

X。~4Q-

联立，，解得4=—.

alnx0=扃

故答案为：.

2

12.已知函数/(x)=%3一以2.

(1)当。=3时,求函数/(X)在区间［0,2］上的最小值;

(2)当。＞3时,求证:过点尸(1JQ))恰有2条直线与曲线y=/(x)相切.

【解析】(1)当。=3时/G)=3-3x2/(X)

=3X2_6X=3X(X_2).

当［0,2］时/(x)<0,

所以/(x)在区间［0,2］上单调递减.

所以/(x)在区间［0,2］上的最小值为/(2)=-4.

(2)设过点P(1/(1))的曲线y=/(x)的切线切点为(比皿)/G)=3/

-2ax/(1)=1-。，

%=/3_若，

-(1-〃)=(3/2_2叫)(%-1).

所以2/3一(〃+3)/2+2ax。+1-〃=0.

2

令g(x)=2x3-(a+3)x+2ax+l-a9

则g'(x)=6x2-2Q+3)x+2a=(x-1)(6x-2a),

令g，(x)=0得x=l或工=三,

因为。＞3,所以

a(a)

X(-00,1)1

(闻313)

戈(工)+0一0+

g(x)/极大值极小值/

.'.g(x)的极大值为g(1)=0,g(x)的极小值为g|Jvg(l)=0,

所以g(x)在，8怖］上有且只有一个零点X=L

I3)

因为g(a)=2a3-(a+3)a2+2a2+\-a—(a-1)2(a+1)>0,

所以g(x)在上有且只有一个零点.

所以gCv)在R上有且只有两个零点.

即方程2/3一(〃+3)/2+2奴0+1-。=0有且只有两个不相等实根,

所以过点P(1/(1))恰有2条直线与曲线y=/(x)相切.

专致二导数马匹照单倜器

例改乙已知函数/。)=把艺警二L(1)求函数/a)在⑼笈)内的单调递增

区间；

解：由题意知，/"(X)J,X€(O,^-),

所以当/'(x)>。时，解得xw0,—3二-，],即/(》)在(0/)的单调递增区间

6/16

成与1.已知函数/(x)=3(x-l)-2#nx.求/(x)单调增区间；

解：/(.x)=1-2lnx,令/'(x)>0,解得xw[0,e],所以/(x)单调增区间为10,萌.

制M2.已知函数/(x)=见±(。€R).讨论f(x)的单调区间；

X

解：(1)由题意，函数/(x)=皿tq(acR),可得/(X)的定义域为(0,+8),

X

且r(x)=jH

X

由尸(x)>0,Fpl-a-lnx>o,解得0cxee~,由/'(x)<0,即l-a-lnx<0,

解得x>e~,

故fW的单调递增区间为(0,e〜),单调递减区间为(3-。,+8).

双电2.已知函数/(x)=alnx+，+bx+l.若2a+b=4,当〃>2时，讨论/(x)的

X

单调性；

解：因为/(1)=。1!1工+1+笈+1所以函数/(工)的定义域为(0,+8).

X

由2。+6=4,得/(x)=alnx+L+(4-2〃)x+l,则/'㈤=1――，2工一1),

XX

当。=4时，/(x)<0,函数/(X)在(0,+8)上单调递减；

当2<〃<4时，r(x)<0=>0<x<-lk.x>^—,Ax)>0=>l<x<—,

2a-22a-2

所以〃x)在伍9,(一二，+」i上单调递减，在仁，」二〕上单调递增；

当…时，…)＜。=。＜"力或仆)＞。=为＜旧，

所以/G)在(0,W6,+刃)上单调递减，在(2，£|上单调递增.

见回3.已知函数〃x)=，-2aeT-(2+a)x(QwR).讨论函数/(x)的单调性；

解：/，(加e,+2叱-(2+加―(2+m+2〃=©-2a同

eveA

若“40,由廿一2=0,得x=ln2；由/'(x)＜0得x＜ln2；由/'(x)＞0得x＞ln2,

所以/(x)在(-81n2)上单调递减，在(ln2,+8)上单调递增；

若〃>0,由/'(x)=0,得x=ln2或x=lna.

当0<Q<2时，由/'(x)v0,得lna<x<ln2;由/'(x)>0,得x>ln2或xclna,

所以/(%)在(ln〃』n2)上单调递减，在(-8,Ina),(ln2,+co)上单调递增;

当〃=2时，/'(x)N0在R上恒成立，所以/(%)在(YO,”)上单调递增;

当Q>2时，由/'(x)〈0,得In2cA■<Ina；由/"(x)>0,得Ino或x<ln2,

所以/(x)在(ln2/na)上单调递减，在(-8/n2),(Ina,+＜力)上单调递增.

况图,已知函数/(x)=5%2+min(l-x),其中mwR.求函数/(x)的单调区间;

解：函数/(X)定义域为且=____+_一加\-x>0,令

1-x1-x

-x2+x-m=0,判别式△=1一4加，

当AW0,即加之；时，一/+》一加《o恒成立，所以/'(x)W0,

・・・/(力在(-00,1)上单调递减；

当A〉。，〃?＜；时，由X2一%+加=0,解得X[=l---；47n,41+J1-4一

2

若0＜根＜；,则不＜々＜1,x£(-oo,xj时，/\x)＜0,/(X)单调递减;

XW(X[,%2)时,/'(x)>0,单调递增；%£(孙1)时,/'(X)<O,/(X)单调

递减；

-00

若加<0,则玉<1«々，，工4，')时，/'(x)<0,/(X)单调递减；XG(Xpl)

时，r(x)>o,/(力单调递漕；

//\

综上所述：加40时，/(x)的单调递减区间为F,7；,单调递增区间

\/

,1-V1-4w/

为-9一'；

\/

0<m<；时，/(x)的单调递减区间为一。ojJ；一细,l+Vl-4ffl,单调

I\N7N\/

递增区间为1，；-4加,1+J；-4加；加之；时，/(x)的单调递减区间为(-81)

X/

【素养提升】

1.已知函数/(力=1+加一/工+3,々£尺.

(1)若夕<0,求函数/(X)的单调减区间；

(2)若关于X的不等式2WnxW/'a)+/+i恒成立，求实数a的范围.

【分析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函的递减区间即可；

3V1?丫1

(2)问题等价于a-厂在(0,+oo)上恒成立，令A(x)=/〃x,

4乙AX*/人

根据函数的单调性求出a的范围即可.

【解析】(1)/(x)=3N+2ax-/=(3x-a)(x+a)

由/(x)VO且〃V0得：^<x<-a

・・・函数/(x)的单调减区间为备—a)

(2)依题意(0,+oo)时,不等式(x)+屏+1恒成立，

3x1

等价于--------在(0,+oo)上恒成立.

22x

h(x)=Inx----

22x

31(3x+l)(x-l)

贝(x)=_L---1---7=

22x22x2

当xW(0,1)时,〃(x)>0/(x)单调递增

当(l,+oo)时,〃(x)VO#(x)单调递减

・•・当x=l时,〃(x)取得最大值0(1)=-2

故a>~2.

2.已知函数f(x)=x-\-\nx-a(x-i)2(aGR).

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若对八£(0,+8)J(x)20,求实数。的取值范围.

【解析】(1)由题意知,/(幻的定义域为(0,+8),

由f(x)=x-\-\nx-a^x2-2x+\)=-ax2+(2tz+l)x-(«+1)-Inx,

eru、c1、1lax2-(2a+l)x+l(2^x-l)(x-l)

得/(x)=-2ax+(2i+1)——=------------------=------------.

XXX

①当时，令厂(x)>0,可得》>1J'(x)<0,得0<x<l,故函数/⑶的增区间为

(1,+8),减区间为(0,1);

②当0<°<1时令广田>0,可得得0―<1或

22a2a2〃

故/(x)的增区间为卜，()，减区间为(°』)、(5，收)；

③当。=(时，/(x)=-直起“0，故函数/(A)的减区间为。”)；

2x

④当时令/'(x)>0,可得4cx<l/(x)<0,得0Vx<4,或

22a2a2a

x>l,故/(x)的增区间为住减区间为

\2aJI2。)

综上所述：当时,/(%)在(0,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数；当Ova<g

时,/(x)在(0/),(或,+8)上为减函数，在［1,1)上为增函数；当〃=；时,/(外在

(0,+8)为减函数；当时，/&)在(0,《),(1,+8)上为减函数，在上为增

函数.

(2)由(1)可知：

①当白工0时,/(工濡=/⑴=0,此时/(X)>0；

②当0<。<工日寸,/\1)=0,当XW(-4Z-+],4-00、时，有lnx>o,ar〉a+l,可得

2\a；

/(x)<x-1-a(x-1)2=(x-l)(a+1-ax)<0，不符合题意；

③当a=g时，/⑴=0,由函数f(x)的单调性可知，当》€(1,内)时/(x)<0,不符合

题意；

④当时,/⑴=0,由函数f(x)的单调性可知，当时〃x)<0,不符合

题意.

综上可知，所求实数。的取值范围为(-8,0].

3.已知函数/(x)=Inx+x2+3ax+1.

(1)讨论函数/(口的单调性；

(2)当时，讨论函数/(x)的零点个数.

【分析】(1)讨论a的范围，得出/(%)>0和/(x)V0的解集，得出/G)的

单调性：(2)求出/G)的极大值，判断极大值小于0,根据/&)的单调性得出

fG)的零点个数.

【解析】(1)f'(x)=-+2x+3a=+36rX+1(x>0),

XX

令〃(x)=2、2+3av+l,其对称轴为/=-，，令2/+3公+1=0,则4=9/

当aN0时,/'(x)>0,所以fM在(0,+oo)上单调递增；

当。<0时，对称轴为X。=——>0,

若A=9/_8W0,即-述W〃<O,〃(x”O恒成立，所以/'(x)20,所以/(x)在

3

(0,+◎上单调递增；

若“一半时，设心)=0的两根西=土等三1,%=-3弋948,

当x£(0,石)时,〃(x)>0,所以/'(x)>0,所以f(x)在(0,%)上单调递增，

当X£(七,12)时,“(X)<0,所以/'(X)<0,所以fW在(x,,x2)上单调递减，

当X£(%+℃)时/(X)>0,所以f\x)>0,所以/(X)在(x2,+oo)上单调递增，

综上所述：当4之一述时，〃外在(0,+00)上单调递增；

3

若〃<一半时，/(X)在(0,须)上单调递增，在&/2)上单调递减，在。2，”)上单

调递增；

(2)当a<7时，由(1)知/(X)在(0/1)上单调递增，在(与.)上单调递减，在

(x2,-w)上单调递增，下面研究f(x)的极大值/区)=In内+X：-3咐+1,

22

又+3oX]+1=0,所以/(芭)=In%]+2X]+3axi+l-x,=ln&-xj,

令g(x)=lnx—f,则/(幻=上51(x>0)，可得g(x)在(0,立)上单调递增，在

(等^+^上单调递减㈤且⑴的极大值且「?人历堂-:乃廊以目⑴4/斤以

仆)<0,

当xw(0,X])时,/(X)单调递增，所以/(x)</(%])<0

当X£(Xj,x2)时，/(X)在(xpx)上单调递减，所以/(x2)</(x)</(Xj)<0

当、£。2，+8)时，/(X)单调递增，

且=ln(-4tz)+16a2-12a2+l=ln(Ya)+4/+15<T),

f(x2)•/(-4a)<0,所以存在x'£(弓-4a)，使得/(V)=0,

又当xw(x2,-hx>)时，f(x)单调递增，所以/(x)只有一个零点£,

综上所述,当〃<-1时JU)在(0,+8)上只有一个零点.

4.已知函数/(x)=\x-a\-\nx(a>0).

(1)讨论/(x)的单调性；

的大小(〃£N+且〃,2),并证明

2*3

你的结论.

x-lnx-a,x>a

【解析】(1)函数/⑶可化为/(%)=〈

a-x-Inx,0<x<a

当0vx<Q时,/'(》)=-1--<0,从而/(X)在(0,4)上总是递减的,

当xNa时,/''(x)=l-'=匕'，此时要考虑。与1的大小.

XX

若aN1,则/'(%)20,故f(x)在［a,+00)上递增，

若Ocavl,则当aWx<l时J'(x)<0,当x>1时,/'(x)>0,故/(%)在［a,D上递减，

在(1,+oc)上递增，而/(X)在x=a处连续，所以

当。之1时,/(x)在(0,a)上递减，在［a,+8)上递增；

当0<a<1时,〃幻在(0,1)上递减，在［1,+8)上递增.

(2)由(1)可知当a=l,x>l时,工一1一lnx>0,即lnx>l—x,所以1一!所

XX

以

<W-1-----1-----F…+------=/?-1--------=(W-1)----------

(2x33x4)(2n+lj2(/?+1)

_2〃2-2-〃+1=(〃-1)(2〃+1)

2(〃+1)2(/?+1)

5.已知函数/(x)=，(l-ax-Y).

⑴求/(力的单调区间；

⑵若xNO,/(力41,求实数。的取值范围.

【解析】(1)f\x)=ex[-x2-(a+2)x-a+1],

令/'(x)=0,得到X=-,5=

令/'⑴>0,得xaX<w,所以/(X)在(-,F—单调递增,

令f\x)<0,得x<再或x>工2，所以/(x)在

-a-2-J/+8

(一8,,+oc)单调递减.

2

(2)由⑴知J'(O)=l—a,

当时,/'(0)>0,因为中25-卜0,且々=一°-2+"2+8>0,

由(1)可知,/(x)在(0%)单调递增,此时若J(x)>/(O)=1,

与XNO时ja)4i矛盾.

当时,/'(0)«0,/=±±!2^140,

22

由(1)可知,f(x)在(0,+8)单调递减,因此对DX£[0,+8),,此时结论成立.

综上的取值范围为。之1.

专强三导数身曲剧极伍、素值

钠我.7，已知函数/(力=三手.求函数y=/(x)的极值.

解:・.♦/，⑴二生1)92)又40,

ex

由/'(X)=0得l=-1或x=2,

当工£(-00,-1)和(2,+8)时，/(x)<0,此时/(x)为减函数；

当XW(—L2)时,f\x)>0,此时/(X)为增函数，

由/("的单调性知函数的极小值为/(-1)=-。，极大值为/⑵=5"2=提.

钠发2.已知函数/a)=V+仆2+以+2在x=_［处取得极值7.

(1)求的值；

(2)求函数在区间［-2,2］上的最大值

解：(1)因为/(x)=工3+ax?+云+2,所以/(x)=3d+2ox+b,

又函数/(x)=x3+ar2+Z>x4-2>j4.x=-l处取得极值7,

\f(,(--\\))==\3+-a2-ab+b=l=0"解得［a%==-—39；，

所以/(x)=3X3-6X-9=3(X-3)(x+1),

由/'(x)>0得x>3或xc-1；由/'(』)<。得T<x<3;满足题意;

⑵又xc［-2,2］,

由(1)得/(幻在xe(-2「l)上单调递增，在x£(—1,2)上单调递减，

因此/(防2=〃-1)=7.

例班夕已知函数/(X)=；A：3_2以2+2,(XWR).

(1)讨论函数/(力的单调性.

(2)若。>0,当x«0』］时，求/")的最小值.

解：(1)因为/(x)=$3一2"2+2,(XWR),所以/(X)=X2_4QX.

令/'(x)=x(x-4〃)=0,解得x=0或4〃.

①当。=0时，/(“二公之。恒成立，所以函数〃x)在R上单调递增；

②当4>0时，令/(x)>0得了>4〃或x<0,令/(X)得0cx<4。，

即函数/(X)在(y),o),(4〃,+00)上单调递增，在(0,44)上单调递减；

③当。<0时，令/(x)>0得x>0或x<4a,令/(》)<0得4a<x<0,

即函数/(x)在(YO,4Q),(0,十力)上单调递增，在(4〃,0)上单猬递减；

(2)由(1)知。>0时，/⑶在(0,4。)上单调递减，在(4〃,+oo)上单调递增；

①当4。21,即时，在［05上单调递减，

小『/叫-2。+2=手，

②当0<4。<1,即0<。<!时，/(x)在在［0,4”)上单调递减，在上单调(4d1］递

4

增，

所以/(x)min=/(4a)=1•(4。)3—2a(4a)2+2=6~^.

应也7.已知函数［(x)=aln/+4(a£R).

(1)当。二一1时，求/(x)的单调区间；

(2)求/⑴在工4］上的最小值.

解：(1)"X)的定义域为(0,+oo),

1Vx-2

当。=一1时，f\x)=

x2\[x2x

当x>4时，r(x)>0,则/(»的单调递增区间为(4,+oo)；

当0<工<4时，ra)<o,则〃x)的单调递减区间为(0,4).

(2)八哈+如y[x+2。

2x

当。0-1时，/'(X)<o,/(x)在［1,4］上单调递减，

此时，/(x)min=/(4)=2aIn2+2

当。之一；时，/V)>0J(x)在［1,4］上单调递增，

此时，/(肘min=/(I)=1

当一时，若1<x<4/,则/(x)<OJ(x)单调递减;

若4a2cx<4,则/'(x)>O,/(x)单调递增

此时，/(x)min=/(4/)=aIn(4/)+府=2aln(-2a)-2a.

2aln2+2,a<-1

综上所述:/(x)mm=,2aln(-2a)-2a,-l<a<--

\,a>

2

应合2已知函数/'(x)=alnx+2x2一4x(awR).

(1)若x=2是/(x)的极值点，求〃x)的单调区间;

(2)求g(x)=/(x)-ax•在区间［l,e］上的最小值h(a).

解：(1)/(x)的定义域为(0,+＜功,

4x2-4x+q

/(x)=-+4x-4=

xx

因为x=2是/(x)的极值点，所以r(2)=生产=0

解得a=—8,

4/-4工-84(x-2)(x+l)

所以/'(x)=

XX

当x>2时，/V)>0：当0<x<2时，/V)<0,

所以/(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+8).

(2)g(x)=alnx+2x2-ax-4x,则gr(x)=—+4x-a-4=,

xx

令g%x)=0,得x=J或x=L

4

①当即时，g(x)在［l,e］上为增函数，/?(a)=g(l)=-a-2；

②当Y〈e,即4<a<4e时，g(x)在1,£(上单调递减，在(%上单调递增,

ai。12

所以h(d)=g=aln----a-a

48

③当(之e,即时，g(x)在［l,e］上为减函数,

-a-2,a<4

1412AA

所以h{d)=g(e)=(1-e)Q+2/-4e.综上所述,h(a)=<aIn----a-a,4<a<4e

48

(i-e)a+2e2-4e,a>4e

【素养提升】

1.已知函数/(x^x+ai+binx,曲线y=/(x)在点(1J(1))处的切线方程为

2x-y-2=0.

(I)求凡8的值；

(II)求函数/(4)的极大值.

【答案】(I)a=-l,6=3；(II)3呜3-:3

【解析】(I)由/(外=工+^^+方足］，得尸(幻=2以+1+2(x>0).

x

由曲线。=/(x)在点(L/(D)处的切线方程为2x-y-2=o,

得/⑴=l+2a+6=2,/(l)=l+a=0,

解得。二-1,b=3.

3

(II)f(x)=-x2+x+3Inx,xG(0,+co),/'(x)=-2x+l+—(x>0).

x

3/3、

—lx4-1H>0,解得XW0,一;

X\2J

3(3、

—2,x+1+—<0,解得—；

Xk2J

(3>(3、

所以函数的增区间：0,-；减区间：不,内,

3f3)33

x=不时，函数取得极大值，函数的极大值为了j=31。弓-[

乙\,乙)乙r

2.已知函数/(x)=〃x-lnx+l.

(1)若x=l是函数/(x)的极值点，试求实数。的值并求函数/(x)的单调区间；

(2)若/(均>0恒成立，试求实数。的取值范围.

【答案】(1)1,函数的单调减区间为(0,1)函数的单调增区间为(1,内)；(2)。>斗.

e~

【解析】(1)函数的定义域为(0,+8)

又/'(%)="：,由题意,a=\,

当a=l时，令/'(x)=l>0得工>1,令/'(x)=l<0得x<l,

XX

所以函数的单调减区间为(0,1)函数的单调增区间为(1,+8),

此时函数/(力取极小值故a=1符合题意；

(2)由/(x)>0恒成立得ax-lnx+l>0恒成立，又定义域为(0,+°0),

..,lar-11、日(lnx-P

所以a>-----恒成工即。>-----,

XI"/max

令g(x)=蚂」则g'(x)=2产,令g'(x)=21nx>。得x<«2所以函数g(x)在

XXX

(0,«2)上单调增，在(e?,+8)单调减，函数g(x)皿=g(/)=I,所以

ee

3.已知函数/'(X)=alnx-，+(口一2)%-亍.

(I)当曲线/(%)在x=3时的切线与直线y=-4x+l平行，求曲线/")在

(1J⑴)处的切线方程；

(II)求函数/(x)的极值，并求当/(x)有极大值且极大值为正数时，实数。的

取值范围.

【答案】(I)8工一4y—17=0；(II)(2e,+a)).

【角箪析】(I)f'(x)=--2x+