2021高考导数压轴专题_第1页
2021高考导数压轴专题_第2页
2021高考导数压轴专题_第3页
2021高考导数压轴专题_第4页
2021高考导数压轴专题_第5页
已阅读5页,还剩110页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

导数压轴题专题

痔%敷学

专敦一导熬身切俵

专驳二导数与晶数单碉槌

专驳三导熬马备照收伍、景值

专致四导照马信我走

专驳五导熬鸟曲数泰直

专驳力导熬S抠变量

专驳上导熬马陇奉克间敢

专处'导熬号系等式证期

专观九导熬与收假点偏移

专验十拉格朗日中位定理

专致十一二法求导击数(二阶导惑J

专驳十二利用导教解决几何问屡.

专观一导照与切依

钠短7,已知函数/(x)=x3_2f+x.求曲线y=/(x)在点(T-4)处的切线方程;

解:(1)由题意得/'(力=3/_4%+1,所以/,(_])=8

又因为/(T)=-4,所以切线方程为歹=8(x+l)-4

整理得8x_y+4=0.

双也1.函数/(x)=2+lnx—l.求曲线N=/(x)在点(2J(2))处的切线方程;

x

解:(1)因为/(x)=1+lnx—l的定义域为x«0,48),

X

所以/'(x)=,

x~Xx~

因此271,即曲线歹=/(x)在点(2J(2))处的切线斜率为1.

r(2)-=;

又〃2)=ln2_g,

所以曲线y=/(x)在点(2J(2))处的切线方程为y-|ln2-^-|=^-(x-2),

I2J4

即x-4y+41n2-4=0;

刎题2设函数〃x)=,+3x,求曲线y=/(x)过原点的切线方程;

解:(1)设切点坐标为10,*+3毛),/'(x)=e'+3

所以左=/'(Xo)=e"+3.

所以切线方程为一(e*°+3xo)=(e"+3)(x-x0).

又因为切线过原点,所以一(*+3/)=(*+3)(-/)

xx

所以e°=x0-e°,所以几=1

故所求切线方程为N=(e+3)x.

应由1已知函数/(x)=2(x+l)ln(x+l).经过点(-1,-2)作函数/«图像的切线,

求该切线的方程.

解:设切点为(为,"),则%=2(%o+l)ln(/+l),/'(x0)=2(ln(x0+l)+l)=^1,

玉)十1

解得%=%=0,故切线方程为y=-2x,即2x+y=0.

钠做3.已知函数/(JV)=X—1+="(a£R,e为自然对数的底数).

c

(1)若曲线y=/(x)在点(1,/(I))处的切线平行于x轴,求a的值;

(2)当。=1时,若直线/:1与曲线>=兀。相切,求/的直线方程.

解:⑴/(工)=1一,

因为曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线平行于x轴,

所以/(1)=1—^=0,

解得〃=6

(2)当4=1时,/)=-一1+二,f(x)=l--

ee

设切点为(xo,yo),

Vy(xo)=xo-1+=kxo-1,①

八刈)=1一,=乂②

①+②得xo=Axo-l+冗即(上一1)(乂)+1)=0.

若左=1,则②式无解,

**•xo=-1,k=1—c.

・•・/的直线方程为歹=(1-e)x-l.

血⑥3.已知函数/(X)=%3-3X.

(1)求曲线y=/(x)在点x=2处的切线方程;

(2)若过点4(L〃z)(加工-2)可作曲线y=/(x)的三条切线,求实数m的取值范

围.

解:(1)/^(X)=3X2-3,

,切线斜率A=/'(2)=9J⑵=2,

J曲线y=/(x)在x=2处的切线方程为》一2二9(%一2),

・•.即9x-y-16=0;

(2)过点4(1,机)向曲线y=/(x)作切线,设切点为(/,%),

则No=xl-3xo,k=/,(X)=3XQ-3,

・••切线方程N-("一3%)=(3*一3)(x-x。),

即2x1—3x;+加+3=0,

.,・2■一3君+〃2+3=0有三个不同实数根,

记8(%)=2/-3/+m+343=6/-6'=6X(1-1),令?(x)=0,x=0或1,

则x,g'(x),g(x)的变化情况如下表

X(-8,0)0(0,1)1(1,+00)

g'(x)+0-0+

g(x)/极大极小/

当x=0,g(x)有极大值加+3;x=Lg(x)有极小值m+2.

因为过点4(1,加)(相。-2)可作曲线y=/(x)的三条切线,

则jg(j<0,即3+2<0,

解得—3<<—2,

所以加的范围是(一3,-2).

【素养提升】

1.已知函数/(x)=xlnx,若直线/过点(0,-e),且与曲线歹=/(工)相切,则直线/的

斜率为()

A.-2B.2C.-eD.e

【答案】B

【解析】函数f(x)=x\nx的导数为/*(x)=lnx+l,设切点为(肛〃,则〃=mlnm,

可得切线的斜率为%=1+Inw,所以1+Inw=n+e=布""+',解得

tnm

m=e,左=l+lne=2,故选B.

2.若/(%)+3/(-X)=/+2%+1对x£R恒成立,则曲线y=f(x)在点(1J⑴)处的切

线方程为()

A.5x+2y-5=0B.10x+4y-5=0

C.5x+4^=0D.20x-4y-15=0

【答案】B

【解析】

v/(x)+3/(-x)=x3+2x+1...©/./(-x)+3/(x)=-x3-2x4-1....②

iiQ

联立①②,解得:/(力=-5%3_%+则/,⑺=_h2_1

,)244V22

切线方程为:y+:=_g(x_l),即10x+4y_5=0,故选5

3.已知函数段)=如+.,-16.直线,为曲线y=/a)的切线,且经过原点,求直线/的方程及切点

坐标.

【分析】设切点为(xojo),整理出关于丫的方程,解方程求出切点(xojo),再用点斜式写出方程.

xo

【解析】法一:设切点为(xoW),则直线/的斜率为/(XO)=3/2+1,・•・直线./的方程为y=(3/2

323

+l)(x-xo)+x0+xo-16,又•・•直线/过点(0,0),,0=(3x0+1)(—xo)+x0+回一16,整理得,

=

x(l'=-8,/.xo-2,

工泗=(-2>+(-2)—16=-26,%=3x(-2尸+1=13.

,直线/的方程为y=13x,切点坐标为(-2,—26).

法二:设直线/的方程为)一h,切点为(xoj,o),

xo-0xQ

22

又k=f(xo)=3X0+1,:.1+/一6=3X04-1,

解之得xo=-2,・・・内=(-2>+(—2)—16=—26■=3x(-2)?+1=13.

・••直线/的方程为y=13x,切点坐标为(-2,—26).

4.已知过点。0,1)且与曲线y=Y相切的直线的条数有().

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】设切点为(x°,y0),则y°=x03,由于直线11经过点(2J),可得切线的斜率,

再根据导数的几何意义求出曲线在点与处的切线斜率,建立关于与的方程,通

过解方程确定切点个数.

【解析】若直线与曲线切于点(Xo,y0)(xowO),则k="|=%1=x>xo+l,

X。—1—】

又・・・:/=3乂2,・・・小=*0=3*0;♦・・2*02-*0-1=0,解得*0=1/0=-:,

・•・过点P(L1)与曲线C:y=x'相切的直线方程为3x—y—2=O或3x—4y+l=0,

故选C.

5.已知直线/即是曲线C|:/的切线,又是曲线C,的切线,则直线/在

4

x轴上的截距为

A.2B.1C./D.一/.

【答案】B

【分析】设出直线/与两曲线的切点,分别求出两曲线在切点处的切线方程,由斜

率与截距相等列式求得切点的横坐标,代入切线方程,则答案可求.

【解析】设直线/与曲线G:的切点为(不■),与曲线。2:的

切点为(孙卜2%2),由尸决,得y'l,f,由产;e2/,得凡』二;/%,

.••直线/的方程为="'(工一司),或

x12

el=-e2x.

则J,解得X|=X2=2.

x,x,22

e-xte=-e\--e\

,直线/的方程为:y-e1=e1(x-2),取歹=0,可得x=l.

・•・直线/在x轴上的截距为1.故选工

6.若点P是函数y=.2sinX图象上任意一点,直线1为点、P处的切线,则直线1

sinx+cosx

斜率的范围是()

A.(-8,1)B.[0,1]C.[L+8)D.(0,1]

【答案】C

■・..._2sinx._2cosx(sinx4-cosx)-2sinx(cosx-sinx)

[角单析]>/y=,「•y=~~

sinx+cosx(sinx+cosx)~

2cos2x+2sin2x_2

_1<sin2x<l,/.0<1+sin2x<2,

l+2sinxcosxl+sin2x

11?

———>i..・・直线i斜率的范围是口,+8).

1+sin2x21+sin2x

故选C.

7.设曲线。:、=3£*-2/-9/+4,在曲线C上一点〃(1,一4)处的切线记为/,则

切线/与曲线C的公共点个数为

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】y=12^-6^-18¥^=12-6-18=-12

二./方程为:^+4=—12(x—^=-12x4-8

y=3x4-2x3-9x2+4g

432

y=-12x+843X-2X-9X+12X-4=0

即:(X-1)2(X+2)(3X-2)=0

2

士=1,々二一2,工3=§,.・•曲线c与1/的公共点个数为:3个,故选Co

8.若函数f(x)=Inx+ax与函数g(x)=/的图象存在公切线,则实数。的取值范围

是()

A.(一8,-1]B.(-oo,0]C.(一8,1]D.(-oo,2]

【答案】C

【解析】设公切线与函数/(x),g(x)分别切于点力(再,必)/(々,力),则过A,BA

的切线分别为:y=,+a]x+lnx[-1、y=?々X-々、两切线重合,则有:

1项;

Inx,-1=-x2=>x,-代入F4=2x2得:e"t-29=-",构造函数:

2X]

/?(x)=ev'-1-2x,/?*(x)=2xex2-1-2,A,(l)=0,x>l,A'(x)>2-2=O,A(x)z71.

OKxvl,"(x)<2-2=0,xv0,〃'(x)<0,,x<l,〃(x)、.欲合题意,只须

-a>h(\)=-\^>a<\,

9.已知函数/(x)=e\g(x)=a4。0),若函数y=/(x)的图象上存在点

产(%,%),使得y=/(x)在点尸(七,%)处的切线与y=g(x)的图象也相切,则。的

取值范围是()

A.(0,1]B.(0,^/^]C.^l,\/2ejD.(,2e

【答案】B

【解析】f(x)=ex,g(x)=ayfx的公共切点为尸(%,/。),设切线与y=g(x)的图象

相切与点J'(xo)=e",g'(z)=£

ex°=-^>0

14i

由题意可得r,解得/=1T

ev"a&=*

x0-t

所以a=2,e"=2«3'/>0,令h(J)=2山e[〉。

则》⑺二961一2加1二Mi

令"(Z)=0,解得/=(,当00时,帕)>0

当0<Z<g时,"(。>0,函数〃⑺在(0,)上单调递增

i(1A

当产时”S<0,函数咐在0,不上单调递减

当t从右侧趋近于0时,〃(0)投近于0,力g)=J^

当t趋近于+8时,〃(0)趋近于0

所以4£,故选B

10.若X=,是函数/(x)=In工-h的极值点,则函数f(x)=InR-b在点(1,/(1))处

e

的切线方程是.

【答案】(e-l)x+y+l=0

【解析】由题得CM=--k,.\f(-)=-k=0,:.k=e.

xee

所以左二/f(l)=\-k=\-e,

/(1)=一左二-e,所以切点为(1,-e),

所以切线方程为y+e=(\-e)(x-l),.\(e-1)x+^+l=0.

故答案为:(e-l)x+y+l=0

11.若函数/(x)=a\nx,(aeR)与函数g(x)=4x,在公共点处有共同的切线,则实

数a的值为.

【答案】|

【解析】函数/(工)=。欣的定义域为(O,+8)J'(x)=W,g'(x)=在,

设曲线/(x)=Hnr与曲线g(x)=4公共点为(%,%),

a1.

由于在公共点处有共同的切线,工《二可7,解得/=44-,a>0.

由/(Xo)=g(x0),可得。叫=反.

X。~4Q-

联立,,解得4=—.

alnx0=扃

故答案为:.

2

12.已知函数/(x)=%3一以2.

(1)当。=3时,求函数/(X)在区间[0,2]上的最小值;

(2)当。>3时,求证:过点尸(1JQ))恰有2条直线与曲线y=/(x)相切.

【解析】(1)当。=3时/G)=3-3x2/(X)

=3X2_6X=3X(X_2).

当[0,2]时/(x)<0,

所以/(x)在区间[0,2]上单调递减.

所以/(x)在区间[0,2]上的最小值为/(2)=-4.

(2)设过点P(1/(1))的曲线y=/(x)的切线切点为(比皿)/G)=3/

-2ax/(1)=1-。,

%=/3_若,

-(1-〃)=(3/2_2叫)(%-1).

所以2/3一(〃+3)/2+2ax。+1-〃=0.

2

令g(x)=2x3-(a+3)x+2ax+l-a9

则g'(x)=6x2-2Q+3)x+2a=(x-1)(6x-2a),

令g,(x)=0得x=l或工=三,

因为。>3,所以

a(a)

X(-00,1)1

(闻313)

戈(工)+0一0+

g(x)/极大值极小值/

.'.g(x)的极大值为g(1)=0,g(x)的极小值为g|Jvg(l)=0,

所以g(x)在,8怖]上有且只有一个零点X=L

I3)

因为g(a)=2a3-(a+3)a2+2a2+\-a—(a-1)2(a+1)>0,

所以g(x)在上有且只有一个零点.

所以gCv)在R上有且只有两个零点.

即方程2/3一(〃+3)/2+2奴0+1-。=0有且只有两个不相等实根,

所以过点P(1/(1))恰有2条直线与曲线y=/(x)相切.

专致二导数马匹照单倜器

例改乙已知函数/。)=把艺警二L(1)求函数/a)在⑼笈)内的单调递增

区间;

解:由题意知,/"(X)J,X€(O,^-),

所以当/'(x)>。时,解得xw0,—3二-,],即/(》)在(0/)的单调递增区间

6/16

成与1.已知函数/(x)=3(x-l)-2#nx.求/(x)单调增区间;

解:/(.x)=1-2lnx,令/'(x)>0,解得xw[0,e],所以/(x)单调增区间为10,萌.

制M2.已知函数/(x)=见±(。€R).讨论f(x)的单调区间;

X

解:(1)由题意,函数/(x)=皿tq(acR),可得/(X)的定义域为(0,+8),

X

且r(x)=jH

X

由尸(x)>0,Fpl-a-lnx>o,解得0cxee~,由/'(x)<0,即l-a-lnx<0,

解得x>e~,

故fW的单调递增区间为(0,e〜),单调递减区间为(3-。,+8).

双电2.已知函数/(x)=alnx+,+bx+l.若2a+b=4,当〃>2时,讨论/(x)的

X

单调性;

解:因为/(1)=。1!1工+1+笈+1所以函数/(工)的定义域为(0,+8).

X

由2。+6=4,得/(x)=alnx+L+(4-2〃)x+l,则/'㈤=1――,2工一1),

XX

当。=4时,/(x)<0,函数/(X)在(0,+8)上单调递减;

当2<〃<4时,r(x)<0=>0<x<-lk.x>^—,Ax)>0=>l<x<—,

2a-22a-2

所以〃x)在伍9,(一二,+」i上单调递减,在仁,」二〕上单调递增;

当…时,…)<。=。<"力或仆)>。=为<旧,

所以/G)在(0,W6,+刃)上单调递减,在(2,£|上单调递增.

见回3.已知函数〃x)=,-2aeT-(2+a)x(QwR).讨论函数/(x)的单调性;

解:/,(加e,+2叱-(2+加―(2+m+2〃=©-2a同

eveA

若“40,由廿一2=0,得x=ln2;由/'(x)<0得x<ln2;由/'(x)>0得x>ln2,

所以/(x)在(-81n2)上单调递减,在(ln2,+8)上单调递增;

若〃>0,由/'(x)=0,得x=ln2或x=lna.

当0<Q<2时,由/'(x)v0,得lna<x<ln2;由/'(x)>0,得x>ln2或xclna,

所以/(%)在(ln〃』n2)上单调递减,在(-8,Ina),(ln2,+co)上单调递增;

当〃=2时,/'(x)N0在R上恒成立,所以/(%)在(YO,”)上单调递增;

当Q>2时,由/'(x)〈0,得In2cA■<Ina;由/"(x)>0,得Ino或x<ln2,

所以/(x)在(ln2/na)上单调递减,在(-8/n2),(Ina,+<力)上单调递增.

况图,已知函数/(x)=5%2+min(l-x),其中mwR.求函数/(x)的单调区间;

解:函数/(X)定义域为且=____+_一加\-x>0,令

1-x1-x

-x2+x-m=0,判别式△=1一4加,

当AW0,即加之;时,一/+》一加《o恒成立,所以/'(x)W0,

・・・/(力在(-00,1)上单调递减;

当A〉。,〃?<;时,由X2一%+加=0,解得X[=l---;47n,41+J1-4一

2

若0<根<;,则不<々<1,x£(-oo,xj时,/\x)<0,/(X)单调递减;

XW(X[,%2)时,/'(x)>0,单调递增;%£(孙1)时,/'(X)<O,/(X)单调

递减;

-00

若加<0,则玉<1«々,,工4,')时,/'(x)<0,/(X)单调递减;XG(Xpl)

时,r(x)>o,/(力单调递漕;

//\

综上所述:加40时,/(x)的单调递减区间为F,7;,单调递增区间

\/

,1-V1-4w/

为-9一';

\/

0<m<;时,/(x)的单调递减区间为一。ojJ;一细,l+Vl-4ffl,单调

I\N7N\/

递增区间为1,;-4加,1+J;-4加;加之;时,/(x)的单调递减区间为(-81)

X/

【素养提升】

1.已知函数/(力=1+加一/工+3,々£尺.

(1)若夕<0,求函数/(X)的单调减区间;

(2)若关于X的不等式2WnxW/'a)+/+i恒成立,求实数a的范围.

【分析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函的递减区间即可;

3V1?丫1

(2)问题等价于a-厂在(0,+oo)上恒成立,令A(x)=/〃x,

4乙AX*/人

根据函数的单调性求出a的范围即可.

【解析】(1)/(x)=3N+2ax-/=(3x-a)(x+a)

由/(x)VO且〃V0得:^<x<-a

・・・函数/(x)的单调减区间为备—a)

(2)依题意(0,+oo)时,不等式(x)+屏+1恒成立,

3x1

等价于--------在(0,+oo)上恒成立.

22x

h(x)=Inx----

22x

31(3x+l)(x-l)

贝(x)=_L---1---7=

22x22x2

当xW(0,1)时,〃(x)>0/(x)单调递增

当(l,+oo)时,〃(x)VO#(x)单调递减

・•・当x=l时,〃(x)取得最大值0(1)=-2

故a>~2.

2.已知函数f(x)=x-\-\nx-a(x-i)2(aGR).

(1)讨论函数/(x)的单调性;

(2)若对八£(0,+8)J(x)20,求实数。的取值范围.

【解析】(1)由题意知,/(幻的定义域为(0,+8),

由f(x)=x-\-\nx-a^x2-2x+\)=-ax2+(2tz+l)x-(«+1)-Inx,

eru、c1、1lax2-(2a+l)x+l(2^x-l)(x-l)

得/(x)=-2ax+(2i+1)——=------------------=------------.

XXX

①当时,令厂(x)>0,可得》>1J'(x)<0,得0<x<l,故函数/⑶的增区间为

(1,+8),减区间为(0,1);

②当0<°<1时令广田>0,可得得0―<1或

22a2a2〃

故/(x)的增区间为卜,(),减区间为(°』)、(5,收);

③当。=(时,/(x)=-直起“0,故函数/(A)的减区间为。”);

2x

④当时令/'(x)>0,可得4cx<l/(x)<0,得0Vx<4,或

22a2a2a

x>l,故/(x)的增区间为住减区间为

\2aJI2。)

综上所述:当时,/(%)在(0,1)上为减函数,在(1,+8)上为增函数;当Ova<g

时,/(x)在(0/),(或,+8)上为减函数,在[1,1)上为增函数;当〃=;时,/(外在

(0,+8)为减函数;当时,/&)在(0,《),(1,+8)上为减函数,在上为增

函数.

(2)由(1)可知:

①当白工0时,/(工濡=/⑴=0,此时/(X)>0;

②当0<。<工日寸,/\1)=0,当XW(-4Z-+],4-00、时,有lnx>o,ar〉a+l,可得

2\a;

/(x)<x-1-a(x-1)2=(x-l)(a+1-ax)<0,不符合题意;

③当a=g时,/⑴=0,由函数f(x)的单调性可知,当》€(1,内)时/(x)<0,不符合

题意;

④当时,/⑴=0,由函数f(x)的单调性可知,当时〃x)<0,不符合

题意.

综上可知,所求实数。的取值范围为(-8,0].

3.已知函数/(x)=Inx+x2+3ax+1.

(1)讨论函数/(口的单调性;

(2)当时,讨论函数/(x)的零点个数.

【分析】(1)讨论a的范围,得出/(%)>0和/(x)V0的解集,得出/G)的

单调性:(2)求出/G)的极大值,判断极大值小于0,根据/&)的单调性得出

fG)的零点个数.

【解析】(1)f'(x)=-+2x+3a=+36rX+1(x>0),

XX

令〃(x)=2、2+3av+l,其对称轴为/=-,,令2/+3公+1=0,则4=9/

当aN0时,/'(x)>0,所以fM在(0,+oo)上单调递增;

当。<0时,对称轴为X。=——>0,

若A=9/_8W0,即-述W〃<O,〃(x”O恒成立,所以/'(x)20,所以/(x)在

3

(0,+◎上单调递增;

若“一半时,设心)=0的两根西=土等三1,%=-3弋948,

当x£(0,石)时,〃(x)>0,所以/'(x)>0,所以f(x)在(0,%)上单调递增,

当X£(七,12)时,“(X)<0,所以/'(X)<0,所以fW在(x,,x2)上单调递减,

当X£(%+℃)时/(X)>0,所以f\x)>0,所以/(X)在(x2,+oo)上单调递增,

综上所述:当4之一述时,〃外在(0,+00)上单调递增;

3

若〃<一半时,/(X)在(0,须)上单调递增,在&/2)上单调递减,在。2,”)上单

调递增;

(2)当a<7时,由(1)知/(X)在(0/1)上单调递增,在(与.)上单调递减,在

(x2,-w)上单调递增,下面研究f(x)的极大值/区)=In内+X:-3咐+1,

22

又+3oX]+1=0,所以/(芭)=In%]+2X]+3axi+l-x,=ln&-xj,

令g(x)=lnx—f,则/(幻=上51(x>0),可得g(x)在(0,立)上单调递增,在

(等^+^上单调递减㈤且⑴的极大值且「?人历堂-:乃廊以目⑴4/斤以

仆)<0,

当xw(0,X])时,/(X)单调递增,所以/(x)</(%])<0

当X£(Xj,x2)时,/(X)在(xpx)上单调递减,所以/(x2)</(x)</(Xj)<0

当、£。2,+8)时,/(X)单调递增,

且=ln(-4tz)+16a2-12a2+l=ln(Ya)+4/+15<T),

f(x2)•/(-4a)<0,所以存在x'£(弓-4a),使得/(V)=0,

又当xw(x2,-hx>)时,f(x)单调递增,所以/(x)只有一个零点£,

综上所述,当〃<-1时JU)在(0,+8)上只有一个零点.

4.已知函数/(x)=\x-a\-\nx(a>0).

(1)讨论/(x)的单调性;

的大小(〃£N+且〃,2),并证明

2*3

你的结论.

x-lnx-a,x>a

【解析】(1)函数/⑶可化为/(%)=〈

a-x-Inx,0<x<a

当0vx<Q时,/'(》)=-1--<0,从而/(X)在(0,4)上总是递减的,

当xNa时,/''(x)=l-'=匕',此时要考虑。与1的大小.

XX

若aN1,则/'(%)20,故f(x)在[a,+00)上递增,

若Ocavl,则当aWx<l时J'(x)<0,当x>1时,/'(x)>0,故/(%)在[a,D上递减,

在(1,+oc)上递增,而/(X)在x=a处连续,所以

当。之1时,/(x)在(0,a)上递减,在[a,+8)上递增;

当0<a<1时,〃幻在(0,1)上递减,在[1,+8)上递增.

(2)由(1)可知当a=l,x>l时,工一1一lnx>0,即lnx>l—x,所以1一!所

XX

<W-1-----1-----F…+------=/?-1--------=(W-1)----------

(2x33x4)(2n+lj2(/?+1)

_2〃2-2-〃+1=(〃-1)(2〃+1)

2(〃+1)2(/?+1)

5.已知函数/(x)=,(l-ax-Y).

⑴求/(力的单调区间;

⑵若xNO,/(力41,求实数。的取值范围.

【解析】(1)f\x)=ex[-x2-(a+2)x-a+1],

令/'(x)=0,得到X=-,5=

令/'⑴>0,得xaX<w,所以/(X)在(-,F—单调递增,

令f\x)<0,得x<再或x>工2,所以/(x)在

-a-2-J/+8

(一8,,+oc)单调递减.

2

(2)由⑴知J'(O)=l—a,

当时,/'(0)>0,因为中25-卜0,且々=一°-2+"2+8>0,

由(1)可知,/(x)在(0%)单调递增,此时若J(x)>/(O)=1,

与XNO时ja)4i矛盾.

当时,/'(0)«0,/=±±!2^140,

22

由(1)可知,f(x)在(0,+8)单调递减,因此对DX£[0,+8),,此时结论成立.

综上的取值范围为。之1.

专强三导数身曲剧极伍、素值

钠我.7,已知函数/(力=三手.求函数y=/(x)的极值.

解:・.♦/,⑴二生1)92)又40,

ex

由/'(X)=0得l=-1或x=2,

当工£(-00,-1)和(2,+8)时,/(x)<0,此时/(x)为减函数;

当XW(—L2)时,f\x)>0,此时/(X)为增函数,

由/("的单调性知函数的极小值为/(-1)=-。,极大值为/⑵=5"2=提.

钠发2.已知函数/a)=V+仆2+以+2在x=_[处取得极值7.

(1)求的值;

(2)求函数在区间[-2,2]上的最大值

解:(1)因为/(x)=工3+ax?+云+2,所以/(x)=3d+2ox+b,

又函数/(x)=x3+ar2+Z>x4-2>j4.x=-l处取得极值7,

\f(,(--\\))==\3+-a2-ab+b=l=0"解得[a%==-—39;,

所以/(x)=3X3-6X-9=3(X-3)(x+1),

由/'(x)>0得x>3或xc-1;由/'(』)<。得T<x<3;满足题意;

⑵又xc[-2,2],

由(1)得/(幻在xe(-2「l)上单调递增,在x£(—1,2)上单调递减,

因此/(防2=〃-1)=7.

例班夕已知函数/(X)=;A:3_2以2+2,(XWR).

(1)讨论函数/(力的单调性.

(2)若。>0,当x«0』]时,求/")的最小值.

解:(1)因为/(x)=$3一2"2+2,(XWR),所以/(X)=X2_4QX.

令/'(x)=x(x-4〃)=0,解得x=0或4〃.

①当。=0时,/(“二公之。恒成立,所以函数〃x)在R上单调递增;

②当4>0时,令/(x)>0得了>4〃或x<0,令/(X)得0cx<4。,

即函数/(X)在(y),o),(4〃,+00)上单调递增,在(0,44)上单调递减;

③当。<0时,令/(x)>0得x>0或x<4a,令/(》)<0得4a<x<0,

即函数/(x)在(YO,4Q),(0,十力)上单调递增,在(4〃,0)上单猬递减;

(2)由(1)知。>0时,/⑶在(0,4。)上单调递减,在(4〃,+oo)上单调递增;

①当4。21,即时,在[05上单调递减,

小『/叫-2。+2=手,

②当0<4。<1,即0<。<!时,/(x)在在[0,4”)上单调递减,在上单调(4d1]递

4

增,

所以/(x)min=/(4a)=1•(4。)3—2a(4a)2+2=6~^.

应也7.已知函数[(x)=aln/+4(a£R).

(1)当。二一1时,求/(x)的单调区间;

(2)求/⑴在工4]上的最小值.

解:(1)"X)的定义域为(0,+oo),

1Vx-2

当。=一1时,f\x)=

x2\[x2x

当x>4时,r(x)>0,则/(»的单调递增区间为(4,+oo);

当0<工<4时,ra)<o,则〃x)的单调递减区间为(0,4).

(2)八哈+如y[x+2。

2x

当。0-1时,/'(X)<o,/(x)在[1,4]上单调递减,

此时,/(x)min=/(4)=2aIn2+2

当。之一;时,/V)>0J(x)在[1,4]上单调递增,

此时,/(肘min=/(I)=1

当一时,若1<x<4/,则/(x)<OJ(x)单调递减;

若4a2cx<4,则/'(x)>O,/(x)单调递增

此时,/(x)min=/(4/)=aIn(4/)+府=2aln(-2a)-2a.

2aln2+2,a<-1

综上所述:/(x)mm=,2aln(-2a)-2a,-l<a<--

\,a>

2

应合2已知函数/'(x)=alnx+2x2一4x(awR).

(1)若x=2是/(x)的极值点,求〃x)的单调区间;

(2)求g(x)=/(x)-ax•在区间[l,e]上的最小值h(a).

解:(1)/(x)的定义域为(0,+<功,

4x2-4x+q

/(x)=-+4x-4=

xx

因为x=2是/(x)的极值点,所以r(2)=生产=0

解得a=—8,

4/-4工-84(x-2)(x+l)

所以/'(x)=

XX

当x>2时,/V)>0:当0<x<2时,/V)<0,

所以/(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+8).

(2)g(x)=alnx+2x2-ax-4x,则gr(x)=—+4x-a-4=,

xx

令g%x)=0,得x=J或x=L

4

①当即时,g(x)在[l,e]上为增函数,/?(a)=g(l)=-a-2;

②当Y〈e,即4<a<4e时,g(x)在1,£(上单调递减,在(%上单调递增,

ai。12

所以h(d)=g=aln----a-a

48

③当(之e,即时,g(x)在[l,e]上为减函数,

-a-2,a<4

1412AA

所以h{d)=g(e)=(1-e)Q+2/-4e.综上所述,h(a)=<aIn----a-a,4<a<4e

48

(i-e)a+2e2-4e,a>4e

【素养提升】

1.已知函数/(x^x+ai+binx,曲线y=/(x)在点(1J(1))处的切线方程为

2x-y-2=0.

(I)求凡8的值;

(II)求函数/(4)的极大值.

【答案】(I)a=-l,6=3;(II)3呜3-:3

【解析】(I)由/(外=工+^^+方足],得尸(幻=2以+1+2(x>0).

x

由曲线。=/(x)在点(L/(D)处的切线方程为2x-y-2=o,

得/⑴=l+2a+6=2,/(l)=l+a=0,

解得。二-1,b=3.

3

(II)f(x)=-x2+x+3Inx,xG(0,+co),/'(x)=-2x+l+—(x>0).

x

3/3、

—lx4-1H>0,解得XW0,一;

X\2J

3(3、

—2,x+1+—<0,解得—;

Xk2J

(3>(3、

所以函数的增区间:0,-;减区间:不,内,

3f3)33

x=不时,函数取得极大值,函数的极大值为了j=31。弓-[

乙\,乙)乙r

2.已知函数/(x)=〃x-lnx+l.

(1)若x=l是函数/(x)的极值点,试求实数。的值并求函数/(x)的单调区间;

(2)若/(均>0恒成立,试求实数。的取值范围.

【答案】(1)1,函数的单调减区间为(0,1)函数的单调增区间为(1,内);(2)。>斗.

e~

【解析】(1)函数的定义域为(0,+8)

又/'(%)=":,由题意,a=\,

当a=l时,令/'(x)=l>0得工>1,令/'(x)=l<0得x<l,

XX

所以函数的单调减区间为(0,1)函数的单调增区间为(1,+8),

此时函数/(力取极小值故a=1符合题意;

(2)由/(x)>0恒成立得ax-lnx+l>0恒成立,又定义域为(0,+°0),

..,lar-11、日(lnx-P

所以a>-----恒成工即。>-----,

XI"/max

令g(x)=蚂」则g'(x)=2产,令g'(x)=21nx>。得x<«2所以函数g(x)在

XXX

(0,«2)上单调增,在(e?,+8)单调减,函数g(x)皿=g(/)=I,所以

ee

3.已知函数/'(X)=alnx-,+(口一2)%-亍.

(I)当曲线/(%)在x=3时的切线与直线y=-4x+l平行,求曲线/")在

(1J⑴)处的切线方程;

(II)求函数/(x)的极值,并求当/(x)有极大值且极大值为正数时,实数。的

取值范围.

【答案】(I)8工一4y—17=0;(II)(2e,+a)).

【角箪析】(I)f'(x)=--2x+

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论