甘肃省2024届高三年级上册第二次诊断考试 数学答案

民乐一中20232024学年第一学期高三年级第二次诊断考试

数学

一、选择题

1.设全集。={°,1,2,3,4,5},集合A={X£N|X<3},B={0,3,4,5）贝4自力口8=（）

A.{4,5}B.{0,4,5}C.{3,4,5}D.{0,3,4,5}

【答案】D

【解析】

【分析】利用集合间的基本运算，即可得到答案；

【洋解】因为A={xeN|x<3}={0,l,2},所以屯［={3,4,5},

所以（gA）U3={0,3,4,5}.

故选:D.

2.一元二次方程以2+2工+1=0,（。。0）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（）

A.a<0B.。）0C.a<—\D.a>\

【答案】C

【解析】

4-4。>0

【分析】先由方程根的情况可得」1,求出”的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.

-<（）

a

【详解】因为一元二次方程依2+2X+1=0,（。工0）有一个正根和一个负根，

4-4。>0

所以h八，解得〃<0,

—<0

所以一元二次方程依2+2工+1=0,（。芋0）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件可以是。<一1.

故选：C.

3.已知点pjcosg,。是角a终边上一点，则sina=（）

A石D.迫

CI

5.25

【答案】D

【解析】

【分析】先求出点。到原点的距离，再根据正弦函数的定义求解.

【详解】依题意点P的坐标为,|0尸|二八m+IJ号艮5；

故选：D.

4.设S,是等差数列｛4｝的前〃项和，若?=；，则率=()

>12

3八1

A.—B.—C.-D.-

1()389

【答案】A

【解析】

【分析】由等差数列的性质可知邑、SG-S、、S)-SG、L-R成等差数列，根据题意可将§6，S9都用

S3表示，可求得结果.

【详解】由等差数列的性质可知S3、s6-s3.s3-56.与-S9成等差数列，

；U=§,即$6=3s3,(§6_S3)—S3=S3,

・

S9—S6—3s3,S12—S9-4s3,\S9—6s3,52Tos3，

.S(、二3s3=3

10'

故选：A.

5.函数f(x)=sin"n言的大致图象为()

片

A.一..^3B.X

JYwJ01JX

D.KJ…不》

\o1/x

【答案】D

【解析】

【分析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊值/(2)的正负，再排除选项，即可求解.

【详解】函数■的定义域为(YO,-l)u(l,+oo),

一X-1

由f(-x)=sin(-x)ln—~~-=-sinx-in=sinx-In---=f(x},

x-1x+1')

则f(x)偶函数，图象关于y轴对称，故排除A,C,

X/(2)=sin21ni<0,故排除B,

故选：D.

6.为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东70

的方向航行40海里后到达海岛然后再从海岛R出发,沿北偏东35的方向航行了4()及海里到达海岛

C,若巡逻舰从海岛A出发沿直线到达海岛C,则航行的方向和路程(单位：海里)分别为()

A.北偏东8(),2()(6+及)B.北偏东65°,2()(6+2)

C.北偏东65,2()(后+0)D.北偏东80。,2()(6+2)

【答案】C

【解析】

【分析】根据方位角的概念结合正弦定理、余弦定理求解..

【详解】作出示意图如图所示，

根据题意，乙4BC=70"+35°=105"，A8=40,8C=40人，

根据余弦定理，AC=NAB?+BC?-2A8•3c.cosZA3C

=^402+(40^)2-2x40x40x/2xcos105°

=71600+3200-3200x/2xcos105°=/4X00-32UU&xcos1,

因为8s105=cos(60+45、，的一融旦=

v722224

所以AC=/800—32()0&x=J48(X)—8()O(2-2后)

=73200+1600>/3=20(V6+、国，

因为.BC—=.AC—,所以sinNCA8=&^sinNA8C

sinZ.CABsinZ.ABCAC

40立

•sin（60+45）

20（V6+V2）

2（6应1⑶

=—=——x人---x--------k—x-----2

后+112222J书旦等又泻

因为/C43为锐角，所以NC48=45，

所以从海岛A出发沿直线到达海岛C,航行的方向是北偏东180°-45°-70°=65°，

航行的距离是20（6十码海里.

故选:C

（）、八S〃3〃+33出

7.设等差数列{q},{%}的前〃项和分别为s“，Tn,若宁:一^75~，则U为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等差数列的性质，得§2小=[2〃-1）%,此由可得结论.

【详解】｛凡｝是等差数列，则§21=（2〃-1）（；+%小），

a5_9%_Sg_3x9+33_勺

_又一皈一丁9+3i

故选：C.

8.设。=0.1e°』/=",c=-In0.9,贝U（）

A.a<h<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数/(x)=ln(l+x)-x,导数判断其单调性，由此确定Ac的大小.

【详解】方法一：构造法

1V

设f(幻=ln(l+x)-x(x>-1),因为/(%)=-----1=一一—,

1+x1+J

当KW(-1,0)时，f\x)>0,当xw(0,+co)时/'(x)<0,

所以函数/(x)=ln(l+x)-x在(0,+8)单调递减，在(-1,0)上单调递增，

所以/己)</(。)=()，所以ln^---<0,故2>lnL=-ln().9,即h>c,

99999

1919--I-I

所以f(—F)〈/(°)=0,所以IIIF+FVO,故二<©1°,所以「-6°<上,

10101010109

故a<b,

1(x2-l)er+l

设8。)=X/+111(1-1)(0<、(1)，则/(幻=(*-+1,'

x—lx—1

令h(x)=ev(x2-1)+1,h'(x)=e'(x2+2x-l),

当0<x<近一1时，/。)<0,函数〃*)=e'*2-i)+i单调递减，

当正—1<%<1时，〃(外>0,函数〃(幻=1(%2-1)+1单调递增,

又力(0)=0,

所以当Ovx<J5-1时,h(x)<0,

所以当0<x<及一1时，，*)>0,函数ga)=，e'+ln(17)单调递增,

所以g(0.1)>g(0)=。，即O.le°」>—ln0.9,所以。>c

故选：C.

方法二：比较法

解：，h=-^-,c=-ln(l-0.1),

1-0.1

0ln6/-lnZ?=0.1+In(l-0.1),

令/(x)=A:+ln(l-x),xe(0,0.1],

则r(x)=l--—=—<0,

\-x\-x

故/（X）在（0,0.1］上单调递减,

可得/(0.1)</(0)=0,即Int/-ln/?<0,所以a<b；

②6F-c=O.le01+ln(l-0.1),

令g(x)=xex+ln(l—X),JVe(0,0.1],

则g，a)=w+e-_L=ii±ood二!，

v7l-.r\-x

令左(x)=(l+x)(l—x)e'-l,所以k\x)=(\-x2-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1]上单调递增,可得k(x)>k(0)>0,即(*)>(),

所以g(©在上单调递姆，可得g(0.l)>g(0)=0,即a-c>0,所以。>配

故c<a<b.

二、多项选择题

9.已知等差数列｛q｝是递增数列，且%=3%，其前〃项和为S”，则下列选择项正确的是（）

A.d>0B.当〃=5时，S”取得最小值

C./<0D.当S0>0时，〃的最小值为8

【答案】ACD

U针斤】

【分析】设等差数列｛〃“｝的公差为d,因为%=3%,求得q=-3d,根据数列伍”｝是递增数列，可判

断AC由等差数列前〃项和公式，结合二次函数的性质和不等式,的解法，可判断BD.

【详解】由题意，设等差数列｛〃“｝的公差为d,

因为%=3%,可得4+6d=3(q+4d),解得《二-34,

又由等差数列｛《J是递增数列，得d>0,则q<0,故AC正确;

因为S“=g/+（q—g）〃=g-，

由二次函数的性质知，对称轴为〃=2,开口向上,

2

所以，当，=3或4时5“最小，故B错误;

1

令$”=一1——〃:>0,解得，<0或〃>7,即S”>o时〃的最小值为8,故D正确.

故选：ACD.

10.下列说法正确的有

A.在―ABC中，a*,bc=sinA:sinBsinC

B.在^ABC中,若sin2A=sin2B,则〉ABC为等腰三角形

C.AABC中，s加A>s加8是4>8的充要条件

D.在△A8C中，若s加A=g,则4=专

【答案】AC

【解析】

【分析】由正弦定理，二倍角的正弦公式，逐一分析各个选项，即可求解.

【详解】由正弦定理/一二〃一=」一二2R

sinAsinBsinC

可得:a:b:c=2/?sinA:27?sinB:27?sinC

即〃：〃：c=sinA:sinB:sinC成立，

故选项A正确：

由sin2A=sin23可得2A=23或2A+2区=兀，

即A=8或A+B=£,

2

则上3C是等腰三角形或直角三角形，

故选项B错误；

在中，由正弦定理可得

sinA>sinB<=>tz>Z?<=>A>B>

则sinA>sin8是力>〃的充要条件，

故选项C正确；

在ZkABC中，若=贝I」A=工或,

故选项D错误.

故选：AC.

【点睛】本题考查了命题真假性的判断，正弦定理的应用，属于基础题.

11.已知函数/(x)=sin|x|+|sinx|,则()

冗

A.八")是偶函数B.7(x)在区间-,7V上单调递减

C.八幻在区间［—兀，兀］上有四个零点D.人X)的值域为［0,2］

【答案】ABD

【解析】

【分析】由定义判断A；由正弦函数的单调性判断B；由/(')在［0,万］上的零点结合奇偶性判断C；讨论

［0,+。)的值域，结合奇偶性判断D.

【详解】对于A：其定义域为R,f(-x)=sin|-x|+1sin(-x)|=sin|x|+1sinx|=/(x),即函数/(<)是

偶函数，故A正确;

乃

对干B：XG—,71时,sinx>0,/(^)=sinx+sinx=2sinj;,由正弦函数的单调性可知，/*)在区间

三式上单调递减，故B正确；

对于C：不£［0,乃］时、sinx>0,/(x)=sinx+sinx=2sinx,此时2sinx=0,可得戈=0或1=兀，因

为f(x)是偶函数，所以/。)在区间［一兀兀］上的零点为一兀,0,兀，故C错误；

对于D：当2EWxW兀+2E,且ZNO/EZ时，sinxefOj],/(x)=sinx+sinx=2sin.vG[0,2].

当方+2左乃%+2%]，且上之0,左EZ时，sinx<0,/(x)=sinx-sinx=O.

又.f(x)是偶函数，所以函数八幻的值域为［0,2］,故D正确;

故迄ABD

|log2A:|,0<JI<4

12.已知函数/(%)=--7i，m"，使方程/("二/有4个不同的解：分别记为

2COS-A,4<X<8'7

2

%,多,刍，%，其中王<七<天，则下列说法正确的是().

A.0</<2B.Xy+x4=6

C32<装<35

D.玉+X2+X3+%的最小值为14

中2

【答案】AC

【解析】

【分析】画出函数图象，利用数形结合思想进行求解判断即可.

如图，0<，<2时，方程存在4个不同根，

当7=2时，x=—,<x<1,4<<5

44

.•.|1082h=/时，|1082%|=|10829|得一1°82玉=1。82工2

即'二工2，不押2=1，由正弦函数对称性知&+工4=12,

丫［

2

._刍工4=X3（12-X3）=-（X3-6）+36,4<x3<5,

/（,q）=-（玉-6）2+36在（4,5）上单调递增，所以32<百々毛%<35；

1-

二.为+看+网+工4=M+—+12,

/（』）=玉+J+12在|上单调递减，所以14<%+£+W+七〈与，无最小值，

故选：AC

【点睛】关键点睛：利用数形结合思想进行求解是解题的关键.

三、填空题

13.已知〃工）二%2+以在［0,3］上的最大值为M,最小值为山，若例-m=4,则〃=

【答案】-2或-4

【解析】

【分析】根据区间和二次函数对称轴的相对位置，结合二次函数的单调性分类讨论求解即可.

【详解】二次函数/（X）=f+抽的对称轴为：X=­,

当-时，即。上0,函数在［0,3］上单调递增，

所以M=/(3)=9+3。,〃?=/(0)=0,由M-〃2=4,得9+3〃-0=4=>。=——，不满足“20,舍

3

去；

当-•^之3时，即〃工-6时，函数在［0,3］上单调递减，

13

所以M=/(O)=0,根=/(3)=9十3。，HdM-ni=4,得0—(9十3。)=4=>〃=一"—,不满足々工一6,

舍去，

2

当0<一@<3时，则-6vav0,此时〃?=/(_0)=一幺，

224

若-@-0<3-(-0)时，即一344Vo时，/=/(3)=9+3〃，

22

2

由M-〃?=4,得9+3。+®-=4=〃=一2,或。=-10舍去，

4

若----0>3-(—)时，即—6<。—3,M=/(0)=0,

22

2

由=得幺=4=〃=一4,或a=4舍去，

4

综上所述：。=-2或々=-4,

故答案为：-2或-4

【点睛】关键点睛：根据二次函数对称轴与所给区间的相对位置分类讨论是解题的关键.

7

【答案】

【解析】

7C

【分析】由题意，〃一2。是一一。的2倍，根据余弦二倍公式，即可求解.

2

【详解】由题意乃-2a=2-

12

...cos(4-2a)=cos2~~a

7

故答案为：-§

点睛】本题考查余弦二倍角公式，属于基础题.

15.将数列｛2〃-1｝与｛3〃-2｝的公共项从小到大排列得到数列｛飙｝,则｛斯｝的前〃项和为.

【答案】3n2-2n

【解析】

【分析】首先判断出数列与｛3〃-2｝项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项

以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.

【详解】因为数列｛2〃-1｝是以I为首项，以2为公差的等差数列，

数列｛3鹿-2｝是以1首项，以3为公差的等差数列，

所以这两个数列的公共项所构成的新数列｛q｝是以1为首项，以6为公差的等差数列，

所以｛〃”｝的前〃项和为〃/+处?1.6=3〃2-2〃，

故答案为：3/z2-2n.

【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等

差数列求和公式，属于简单题目.

16.函数y=/(x)是定义在［-3,3］上的奇函数，/(-1)=3,当x>0时，/(x)=f一办+2,不等式

/(〃2-1)+/(2m+1)20的解集为.

【答案】［-2,0］

【解析】

【分析】根据题意得=进而得。=6,故当x>0时，/(^)=x2-6x4-2,且在xe(0,3］上单调

递减，进而根据奇函数性质得函数)，=/(幻在［-3,0)上的单调递减函数，然后讨论即可.

【详解】解：因为函数产Ax)是定义在［-3,3］上的奇函数，/(—1)=3

所以/(1)=_/(-1)二-3,

因为当x>0时，/(x)=x2-ax+2,

所以/0)=3-。=-3,解得。=6,

所以当x>0时，/(1)二12-6/+2=(工一3)2—7,

当工<0时，/(x)=-f{-x)=4(-x)2-6(-x)+2］=-x2-6x-2

所以由二次函数的性质得xw(0,3］时，函数y=/(x)单调递减，在［-3,0)上单调递减

易知/(加-1)+/'(2m+1)之0=/(2/?7+1)>

当0<26+1«3,()<1-m(3时，原不等式+解得一,<〃240；

2

当一342加+1<0,-3<1一〃2<0时，无实数解;

当0v2〃?+lW3,-3工1一根<0,无实数解；

当・3《2m+1v0,0vl—即・2«，〃〈一,时，原不等式。

2

-(2m+1)2-6(2w+1)-2>(1-m)2-6(1-w)+2,解得・2«用〈一二；

2

I39319

当2m+1=0,即〃?=-；时，/(2/n+l)=0,/(l-/n)=/(-)=--6x-+2=，满足题意；

当1一m=0,即加=1时，/(1-772)=/(0)=()./(2〃+l)=/(3)=9-54+2=Y3,不满足题意.

综上，原不等式的解集为：［-2,0］

故答案为：［-2,0］

-7

四、解答题

17.记“8C的内角A,B,。的对边分别为小b,c,已知acos4+/?cosA+2c、cosC=0.

（1）求C；

（2）若8=4,c=2不,求.工的面积.

【答案】（1）C=—

3

⑵26

【解析】

【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简即可得答案；

（2）由余弦定理求得〃值，然后利用面积公式求解即可.

【小问1详解】

由正弦定理得sinAcos8+sin8cosA+2sinCcosC=0,

得sin4cos7?+sinReos>>4=sin（>4+/?）=sinC=—2sinCeosC.

I

因为。£（0,7），所以sinCoO,所以cosC=-],即。==.

【小问2详解】

2

由余弦定理得c?=a+6一勿"cost?，得+4。—12=（。+6乂4—2）=0,

所以。=2,故的面积为」aZ?sinC='x2x4x^=2后.

222

18.问题：设公差不为零的等差数列｛〃”｝的前〃项和为S”，且S3=6,.

下列三个条件：①/，/，％成等比数列；②54=5%；③5+1）。〃=〃《山.从上述三个条件中，任选一个补

充在上面的问题中，并解答.

（1）求数列伍“｝的通项公式；

13

（2）若bn=------,数列｛"｝的前〃项和为K”，求证：Kn<~.

《4+24

【答案】（1）〃“=〃

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）选①©③分别与邑=6组成方程组，解出首项与公差即可得解；

(2)利用裂项相消法求出数列的前〃项和为K“，即可得证.

【小问1详解】

设等差数列｛q｝的公差为d(d*0).

选条件①：:53=6,。2,。4,48成等比数列,

3q+3d=6伉=1

(4+3d)=(q++)(1+7d)[d=l

故数列｛4｝的通项公式为CI,,=1+77-1=H.

选条件②：V53=6,S4=5〃2,

3q+3d=64T

・二甸+64=5(%+")‘解得,

d=\

故数列｛4｝的通项公式为q=1+〃-1=".

选条件③：V5?=6»(n+1)1,

13%+3d=6(%=]

•；(〃+l)[q+〃d)，解得d=1

故数列｛〃“｝的通项公式为an=\+n-1=n.

【小问2详解】

证明；•・•〃=」-----——\]，

风4+221〃〃+2J

“1J11111111(1111]

K=—(-----1----+H--------------------)=

“21324n-\n+\〃+22\12n+\/?+2；

132〃+33

---------------<—

22(〃+1)(〃+2)4,

19.已知函数/(此二丁+^^十八丫(a,b£R).若函数/(幻在x=l处有极值-4.

(1)求/*)的单调递减区间;

(2)求函数/a)在［-1,2］上的最大值和最小值.

【答案】(1)(一(，1).；(2)f(x)inin=-4,f(x)nuix=8.

IJ/

【解析】

【详解】试题分析:

(1)先求出导函数，根据导数的几何意义得到关于出。的方程组，求得。力后再根据导函数的符号求出单

调递减区间.

(2)由(1)求出函数的单调区间,可以数判断函数/(x)在[-1,2]上的单调性,求出函数“X)在卜1,2]

上的极值和端点值，通过比较可得/(x)的最大值和最小值.

试题解析：

(1):/(1)=/+尔+法，

/./'(x)=3x2+Icix+b,

(尸⑴=3+2。+〃=0a=2

依题意有即〈人(，解得＜r.

[/(1)=1+67+/2=-4[b=-7

A/'(x)=3x2+4x-7=(3x+7)(X-1),

由/''(x)vO,得—

⑵由⑴知〃"=寸+2£-7居

/./'(x)=3x2+4x+7=(3x+7)(x-l),

7

令/'a)=o,解得芯=一§,x2=i.

当工变化时，/'(x),/(X)的变化情况如下表:

X-1(71)1(12)2

fW—0+

8极小*4/2

由上表知，函数/(X)在(一1』)上单调递减，在(1,2)上单调递算

故可得/*)〃而=/(1)=-4，

又f(-1)=8J⑵=2.

・・・f(x-/(T)=8.

综上可得函数/(x)在［-1,2］上的最大值和最小值分别为8和-4.

20.已知函数f(x)=cosxsinl-\/3cos2x+—,xeR.

、3J4

(1)求的最小正周期和单调区间；

jrjr

(2)求/(x)在闭区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)最小正周期为不，单调递增区间是［2万一2,以■+'］伏wZ),单调递减区间是

1212

r^+—］(^GZ)；

1212

(2)最小值为—，最大值为一

24

【解析】

17V

【分析】(1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得/(x)=/sin(2x-］),利用正弦函数的

性质即得；

(2)利用正弦函数的性质即求.

【小问1详解】

由/(x)=COSX-sin^X4-yj-\巧2,V3

/3cosx+——

4

=cosx(sinxcosy+cosxsiny)-•"cos?x+—

4

1.石，J

=—sinxcosx------cosx+一

224

1.c5/3c\73

=-sin2x------(1+cos2x)+-

44，4

=；sin(2人一介

・・・/(x)的最小正周期为万，

由2人兀一工效2kn+—,得我4一2领k+—(A:GZ),

2321212

由2女万+生效2r一工2k7v+—-,得匕r+区领kk7r+[keZ)

2321212

・♦・函数单调增区间为伙万一5M力+2](kGZ),函数单调减区间为伙乃+色从乃+上]仅eZ)；

121212

【小问2详解】

I丁I■九式【

由于XW［一:，二］,

44

.c兀r57T1-.

所以2人一彳€［--^，丁］,

366

所以sin(2x——)［-1,-1>

32

故f(幻［-/］,

故函数的最小值为-,，函数的最大值为

24

21.已知等差数列｛〃”｝的前〃项和为S“，且满足%+%=I8,S„=121.

(1)求数列伍“)的通项公式；

⑵设么=(。“+3)2”,数列｛〃｝的前"项和为求却

【答案】(1)q=2〃-1；(2)7；=〃2"

【解析】

【