2025年沪科版高一数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科版高一数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为则顶点的坐标为()A.（2,2）B.(-2,2)C.(2,-2)D.(-2,-2)2、【题文】已知集合则()A.B.C.D.3、【题文】给定三点则过A点且与直线BC垂直的直线经过点（）A.B.C.D.4、将-300°化为弧度为（）A.B.C.D.5、圆x2+y2鈭�4x鈭�4y鈭�10=0

上的点到直线x+y鈭�14=0

的最大距离与最小距离的差是(

)

A.36

B.18

C.52

D.62

6、已知三棱锥S鈭�ABC

的所有顶点都在球O

的球面上，SA隆脥

平面ABCAB隆脥BC

且AB=BC=1SA=2

则球O

的表面积是(

)

A.4娄脨

B.34娄脨

C.3娄脨

D.43娄脨

评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)7、若函数f（x）的定义域为[-1，2]，则函数f（3-|x|）的定义域是____．8、【题文】不等式的实数解为____________9、【题文】某几何体的三视图如图所示，俯视图是边长为4的正三角形，则此几何体的表面积为____．

10、【题文】设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线；给出下列四个命题：

①若则

②若则

③若则

④若则

其中命题正确的是____．（填序号）11、【题文】若定义在上的函数是偶函数，且时，则时，____12、已知点A（2，4），B（6，﹣4），点P在直线3x﹣4y+3=0上，若满足PA2+PB2=λ的点P有且仅有1个，则实数λ的值为____．13、已知△ABC的三内角A，B，C依次构成等差数列，则cosA+cosC的取值范围为____．14、函数f（x）=在区间[1，4]上的最大值为______最小值为______．15、已知A(鈭�2,3)B(4,1)

直线lkx+y鈭�k+1=0

与线段AB

有公共点，则k

的取值是______．评卷人得分三、解答题(共7题，共14分)16、在四棱锥P-ABCD中；PD⊥平面ABCD，底面是边长是1的正方形，侧棱PA与底面成45°的角，M，N，分别是AB，PC的中点．

（1）求证：MN∥平面PAD；

（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

（3）直线PC与面PBD所成角的余弦值．

17、已知函数f（x）=x+

（1）判断函数f（x）的奇偶性．

（2）判断f（x）在区间（0；1）上的单调性，并用定义证明．

（3）当x∈（-∞，0）时，写出函数f（x）=x+的单调区间（不必证明）．

18、设函数为常数．（1）若的图象中相邻两对称轴之间的距离不小于求的取值范围；（2）若的最小正周期为且当时，的最大值是又求的值．19、（本题12分）已知求的值20、已知数列的前项和为，点在直线上；数列满足，且，它的前9项和为153．（1）求数列、的通项公式；（2）设，求数列的前项和为．21、【题文】（本小题满分12分）

如图1，在平面内，ABCD边长为2的正方形，和都是正方形。将两个正方形分别沿AD，CD折起，使与重合于点D1。设直线l过点B且垂直于正方形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D1位于平面ABCD同侧，设（图2）。

（1）设二面角E–AC–D1的大小为q，当时，求的余弦值；

（2）当时在线段上是否存在点使平面平面若存在，求出分所成的比若不存在，请说明理由。22、计算：

（1）2log32-log3+log38-5

（2）log225•log34•log59．评卷人得分四、计算题(共4题，共24分)23、（+++）（+1）=____．24、方程2x2-x-4=0的两根为α，β，则α2+αβ+β2=____．25、如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线DE，与过点A的直线垂直于E，弦BD的延长线与直线AE交于C点．

（1）求证：点D为BC的中点；

（2）设直线EA与⊙O的另一交点为F，求证：CA2-AF2=4CE•EA；

（3）若弧AD=弧DB，⊙O的半径为r．求由线段DE，AE和弧AD所围成的阴影部分的面积．26、计算：．评卷人得分五、证明题(共3题，共12分)27、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．28、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．29、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、A【分析】【解析】试题分析：平行四边形的对角线互相平分，由中点坐标公式得的中点为也是的中点，可知顶点的坐标为考点：本小题主要考查平行四边形的性质和中点坐标公式的应用.【解析】【答案】A2、C【分析】【解析】

试题分析：．

考点：集合的运算．【解析】【答案】C3、B【分析】【解析】直线BC的斜率为则所求直线斜率为-1；则过A点且与直线BC垂直的直线为故选B【解析】【答案】B4、B【分析】解：-300°=-300×=-

故选B．

根据角度与弧度的互化公式：1°=代入计算即可．

本题主要考查了角度与弧度的互化公式：①2π=360°，②π=180°，③1=④1°=属于对基础知识的考查．【解析】【答案】B5、D【分析】解：圆x2+y2鈭�4x鈭�4y鈭�10=0

的圆心为(2,2)

半径为32

圆心到到直线x+y鈭�14=0

的距离为|2+2鈭�14|2=52>32

圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R=62

故选D．

先看直线与圆的位置关系；如果相切或相离最大距离与最小距离的差是直径；

相交时；圆心到直线的距离加上半径为所求．

本题考查直线与圆相交的性质，点到直线的距离，是基础题．【解析】D

6、A【分析】解：如图；三棱锥S鈭�ABC

的所有顶点都在球O

的球面上；

隆脽SA隆脥

平面ABCSA=2AB隆脥BC

且AB=BC=1

隆脿AC=1+1=2

隆脿SA隆脥ACSB隆脥BC

SC=AC2+SA2=2+2=2

隆脿

球O

的半径R=12SC=1

隆脿

球O

的表面积S=4娄脨R2=4娄脨

．

故选A．

由三棱锥S鈭�ABC

的所有顶点都在球O

的球面上；SA隆脥

平面ABCAB隆脥BC

可得SA隆脥ACSB隆脥BC

则SC

的中点为球心，由勾股定理解得SC

再由球的表面积公式计算即可得到．

本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，确定球心，求出球半径，是解题的关键．【解析】A

二、填空题(共9题，共18分)7、略

【分析】

∵f（x）的定义域为[-1；2]；

∴-1≤3-|x|≤2即1≤|x|≤4；

当x＞0时；1≤x≤4即x∈[1，4]；

当x＜0时；1≤-x≤4，解得-4≤x≤-1即x∈[-4，-1]

所以函数f（3-|x|）的定义域是[-4；-1]∪[1，4]

故答案为[-4；-1]∪[1，4]

【解析】【答案】由函数的定义域为[-1；2]得到3-|x|∈[-1，2]，讨论化简绝对值求出x的范围即为函数f（3-|x|）的定义域．

8、略

【分析】【解析】

试题分析：令则由得且解得．

考点：绝对值不等式的解法．【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】

试题分析：由主视图和俯视图可知此几何体是侧面垂直底面的三棱柱即为如图所示的正三棱柱,由侧视图可。

知正三棱柱的高为2所以表面积为:

考点：三视图及柱体表面积.【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】

试题分析：对于①若则平行或相交，错误；根据两平面平行的性质定理知②正确；③若则平行或相交，错误；④若则正确。故正确的命题的序号为②④

考点：本题考查了空间中的线面关系。

点评：解决此类题目的关键是能否根据相应的判定定理与性质定理进行推理并结合空间想象能力进行判断。【解析】【答案】②④11、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】12、58【分析】【解答】解：由点P在直线3x﹣4y+3=0上，设P（x，）；

又PA2+PB2=λ；

∴[（x﹣2）2+]+[（x﹣6）2+]=λ；

化简得x2﹣x+﹣λ=0；

根据题意△=﹣4××（﹣λ）=0；

解得λ=58．

故答案为：58．

【分析】根据点P在直线3x﹣4y+3=0上，设出点P的坐标，代人PA2+PB2=λ中，化简并令△=0，从而求出λ的值．13、（1]【分析】【解答】解：∵△ABC的三内角A；B，C成等差数列，∴2B=A+C；

又A+B+C=π；

∴3B=π，即B=

∴C=﹣A，A∈（0，）；

∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）

=cosA+（﹣cosA+sinA）

=cosA+sinA

=cos（A﹣）；

由A∈（0，），得A﹣∈（﹣）；

∴cos（A﹣）∈（1]；

即cosA+cosC的取值范围是（1]．

故答案为：（1]．

【分析】根据题意求出B=再用A表示出C，利用两角和与差的余弦公式即可求出cosA+cosC的取值范围．14、略

【分析】解：函数f（x）==2-

即有f（x）在[1；4]上递增；

f（1）取得最小值，且为f（4）取得最大值，且为．

故答案为：．

判断函数f（x）在[1；4]为增函数，即可得到f（x）的最值．

本题考查函数的最值的求法，注意运用函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．【解析】15、略

【分析】解：A(鈭�2,3)B(4,1)

直线lkx+y鈭�k+1=0

经过C(1,鈭�1)

点，斜率为鈭�k

讨论临界点：

当直线l

经过B

点(4,1)

时；

kBC=鈭�k=1+14鈭�1=23

结合图形知鈭�k隆脢[23,+隆脼)

成立，隆脿k隆脢(鈭�隆脼,鈭�23]

当直线l

经过A

点(鈭�2,3)

时；

kAC=鈭�k=3+1鈭�2鈭�1=鈭�43

结合图形知鈭�k隆脢(鈭�隆脼,鈭�43]隆脿k隆脢[43,+隆脼)

．

综上k隆脢(鈭�隆脼,鈭�23]隆脠[43,+隆脼)

．

故答案为：(鈭�隆脼,鈭�23]隆脠[43,+隆脼)

．

直线lkx+y鈭�k+1=0

经过C(1,鈭�1)

点；斜率为鈭�kkBCkAC

由此利用数形结合法能求出k

的取值范围．

本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意直线的斜率计算公式和数形结合思想的合理运用．【解析】(鈭�隆脼,鈭�23]隆脠[43,+隆脼)

三、解答题(共7题，共14分)16、略

【分析】

四棱锥P-ABCD的底面积为1；

因为PD⊥平面ABCD；侧棱PA与底面成45°的角所以四棱锥P-ABCD的高为1；

所以四棱锥P-ABCD的体积为：

（3）【解析】

连接AC；BD，相交于点O，连接PO，则AC⊥BD

∵PD⊥平面ABCD；∴PD⊥AC

又∵BD∩PD=D；∴AC⊥面PBD

∴∠CPO为直线PC与面PBD所成角。

∵PC=CO=

∴PO=

∴直线PC与面PBD所成角的余弦值为

【解析】【答案】（1）欲证MN∥平面PAD；根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面PAD内一直线平行，根据三角形的中位线可知PC∥EO，满足定理条件；

（2）根据四棱锥P-ABCD的底面积为1；高为PD，即可求出四棱锥P-ABCD的体积；

（3）连接AC；BD，相交于点O，则可得AC⊥面PBD，故∠CPO为直线PC与面PBD所成角，由此可得结论．

（1）证明：设PD的中点为E；连NE，AE

根据三角形的中位线可知NE∥CD，且NE=CD；

∵AM∥CD，且AM=CD；

∴NE∥AM；且NE=AM，∴MN∥AE；

又∵AE⊂平面PAD；MN⊄平面PAD；

∴MN∥平面PAD；

（2）17、略

【分析】

（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠0}；关于原点对称；

所以所以函数f（x）是奇函数．

（2）任设0＜x1＜x2＜1；

则=

因为0＜x1＜x2＜1，0＜x1x2＜1；

所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）；

所以函数在（0；1）上为减函数．

（3）由（1）（2）知；f（x）在（-1，0）上是减函数，在（-∞，1）上是增函数．

【解析】【答案】（1）求函数的定义域；利用函数奇偶性的定义判断．（2）利用函数的单调性或导数证明．（3）利用函数的单调性确定函数的单调区间．

18、略

【分析】试题分析：(1)利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到的形式，利用公式计算周期，进而求出的取值范围；(2)求三角函数的最小正周期一般化成形式，利用周期公式即可.求解较复杂三角函数的最值时，首先化成形式，在求最大值或最小值；（3）三角函数的给值求值的问题一般是正用公式将“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角三角函数值，代入展开即可，注意角的范围.试题解析：（1）==由题意知得的取值范围为（2）若的最小正周期为得=1=有在区间上为增函数，所以的最大值为则所以=所以=+=或考点：(1)三角函数周期的应用；（2）三角函数的化简和求值.【解析】【答案】(1)（2）或19、略

【分析】【解析】

∵故两边平方得，∴而∴与联立解得∴【解析】【答案】20、略

【分析】

（1）因为；故当时；；当时，；满足上式；所以；又因为，所以数列为等差数列；由，，故；所以公差；所以：；（2）∴【解析】【答案】21、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】

（2）设以D为原点，对DA，DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系如图所示。BE="t"(t>2).

E(2,2,t)7分。

9分。

设平面的法向量

10分。

由平面平面得平面

11分。

所以：在线段上是存在点使平面平面分所成的比12分22、略

【分析】

（1）根据对数的运算性质计算即可；

（2）根据换底公式计算即可。

本题考查了换底公式和对数的运算性质，属于基础题．【解析】解：（1）原式=log3（4××8）-3=log39-3=2-3=-1；

（2）原式=log225•log34•log59=•=8四、计算题(共4题，共24分)23、略

【分析】【分析】先分母有理化，然后把括号内合并后利用平方差公式计算．【解析】【解答】解：原式=（+++）•（+1）

=（-1+++-）•（+1）

=（-1）•（+1）

=2014-1

=2013．

故答案为2013．24、略

【分析】【分析】先根据根与系数的关系求出α+β、αβ的值，再根据完全平方公式对α2+αβ+β2变形后，再把α+β、αβ的值代入计算即可．【解析】【解答】解：∵方程2x2-x-4=0的两根为α；β；

∴α+β=-=，αβ==-2；

∴α2+αβ+β2=（α+β）2-αβ=（）2-（-2）=+2=．

故答案是：．25、略

【分析】【分析】（1）连接OD；ED为⊙O切线；由切线的性质知：OD⊥DE；根据垂直于同一直线的两条直线平行知：OD∥AC；由于O为AB中点，则点D为BC中点．

（2）连接BF；AB为⊙O直径，根据直径对的圆周角是直角知，∠CFB=∠CED=90°，根据垂直于同一直线的两条直线平行知

ED∥BF由平行线的性质知，由于点D为BC中点，则点E为CF中点，所以CA2-AF2=（CA-AF）（CA+AF）=（CE+AE-EF+AE）•CF=2AE•CF；将CF=2CE代入即可得出所求的结论．

（3）由于则弧AD是半圆ADB的三分之一，有∠AOD=180°÷3=60°；连接DA，可知等腰三角形△OAD为等边三角形，则有OD=AD=r；在Rt△DEA中，由弦切角定理知：∠EDA=∠B=30°，可求得EA=r，ED=r，则有S阴影=S梯形AODE-S扇形AOD，从而可求得阴影部分的面积．【解析】【解答】（1）证明：连接OD；

∵ED为⊙O切线；∴OD⊥DE；

∵DE⊥AC；∴OD∥AC；

∵O为AB中点；

∴D为BC中点；

（2）证明：连接BF；

∵AB为⊙O直径；

∴∠CFB=∠CED=90°；

∴ED∥BF；

∵D为BC中点；

∴E为CF中点；

∴CA2-AF2=（CA-AF）（CA+AF）

=（CE+AE-EF+AE）•CF=2AE•CF；

∴CA2-AF2=4CE•AE；

（3）解：∵，

∴∠AOD=60°；

连接DA；可知△OAD为等边三角形；

∴OD=AD=r；

在Rt△DEA中；∠EDA=30°；

∴EA=r，ED=r；

∴S阴影=S梯形AODE-S扇形AOD=

=．26、略

【分析】【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式以及有理数的乘方4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解析】【解答】解：原式=-8+1+4+3=-7+4+3=-3+3=0．五、证明题(共3题，共12分)27、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；