2024年仁爱科普版高三数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年仁爱科普版高三数学上册阶段测试试卷542考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数．则下列事件是互斥事件但不是对立事件的是（）A.恰好有1件次品和恰好有2件次品B.至少有1件次品和全是次品C.至少有1件正品和至少有1件次品D.至少有1件次品和全是正品2、若集合A={y|y=2x}，B={x|x2-2x-3＞0，x∈R}，那么A∩B=（）A.（0，3]B.[-1，3]C.（3，+∞）D.（0，-1）∪（3，+∞）3、已知θ为第一象限角，设向量=（sinθ，），向量=（cosθ，3），且∥，则θ一定为（）A.B.+2kπ（k∈Z）C.+2kπ（k∈Z）D.+kπ（k∈Z）4、已知tanα=3，则=（）A.1B.2C.-1D.-25、下列四个个命题，其中正确的命题是（）A.函数y=cotx在其定义域内是减函数B.函数y=|sin（2x+）|的最小正周期是πC.函数y=cosx在每个区间[]（k∈z）上是增函数D.函数y=tan（x+）是奇函数6、己知函数f（x+1）是偶函数，当x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递减，设a=f（-），b=f（3），c=f（0），则a，b，c的大小关系为（）A.b＜a＜cB.c＜b＜dC.b＜c＜aD.a＜b＜c7、取一根长度为5米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长度都不小于1米，且以剪得的两段绳为两边的矩形的面积都不大于6平方米的概率为（）A.B.C.D.8、抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，其上一点P（m，1）到焦点距离为5，则抛物线方程为（）A.x2=8yB.x2=-8yC.x2=16yD.x2=-16y9、某人上午7：00乘汽车以匀速υ1千米/时（30≤υ1≤100）从A地出发到距300公里的B地，在B地不作停留，然后骑摩托车以匀速υ2千米/时（4≤υ2≤20）从B地出发到距50公里的C地，计划在当天16：00至21：00到达C地．设乘汽车、摩托车行驶的时间分别是x、y小时，则在xOy坐标系中，满足上述条件的x，y的范围用阴影部分表正确的是（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)10、在△ABC中，=，=，D是BC的中点，点E在AB上，=，则=____．11、一个正三棱锥的底面边长是6，高是，那么这个正三棱锥的体积为____．12、已知f（x）的图象关于y轴对称，且x＞0时，f（x）=-x3+1，则x＜0时，f（x）=____．13、以下四个命题：

①在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB，则B=；

②设，是两个非零向量且，则存在实数λ，使得；

③方程sinx-x=0在实数范围内的解有且仅有一个；

④a，b∈R且a3-3b＞b3-3a，则a＞b；

其中正确的是____．14、已知z∈C，且（z+2）（1+i）=2i，则z=____．15、设圆x2+y2=1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则线段AB长度的最小值为____．16、【题文】对a,bR,记函数f（x）＝的单调递减区间为________评卷人得分三、判断题(共7题，共14分)17、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）18、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）19、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．20、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）21、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）22、空集没有子集．____．23、任一集合必有两个或两个以上子集．____．评卷人得分四、计算题(共4题，共32分)24、已知i为虚数单位，则复数z=（x-3）+（x+3）i（x∈R）对应的点不可能位于第____象限．25、设a∈R，f（x）=-a是奇函数，则a的值为____．26、若曲线f（x）=x2（x＞0）在点（a，f（a））处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为54，则a=____．27、已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件，且f（1）=2014，则f（2014）=____．评卷人得分五、作图题(共4题，共20分)28、利用平移变换和对称变换作出函数y=-sinx-2的简图．29、给出如下一个算法：

第一步：输入x；

第二步：若x＞0，则y=2x2-1；否则执行第三步；

第三步：若x=0；则y=1，否则y=2|x|；

第四步：输出y．

（1）画出该算法的程序框图；

（2）若输出y的值为1，求输入实数x的所有可能的取值．30、已知函数f（x）=2-x2，g（x）=x．若f（x）*g（x）=min{f（x），g（x）}，那么f（x）*g（x）的最大值是____．（注意：min表示最小值）31、现有四个函数：①y=x•sinx，②y=x•cosx，③y=x•|cosx|，④y=x•2x的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号正确的排列是____

评卷人得分六、综合题(共4题，共40分)32、已知数列{an}满足a0=0，an=（n∈N*）．

（Ⅰ）求证：0≤an＜an+1＜1（n∈N）；

（Ⅱ）在数列{an}中任意取定一项ak，构造数列{bn}，满足b0=ak，bn=（n∈N*），问：数列{bn}是有穷数列还是无穷数列？并证明你的结论；

（Ⅲ）令cn=1-an（n∈N），求证：c+c++c＜1+（n∈N*）．33、已知在△ABC中，若AB⊥AC、AD⊥BC于D，则=+；那么在四面体ABCD中，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AE⊥平面BCD，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？写出猜想并给予证明．

34、如图，在三棱柱ABC-1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1CC1，BC=，AB=BB1=2，∠BCC1=，点E为棱BB1的中点。

（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；

（Ⅱ）求点E到平面ACC1的距离．35、已知函数；g（x）=alnx+a．

（1）a=1时；求F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；

（2）若x＞1时，函数y=f（x）的图象总在函数y=g（x）的图象的上方，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、A【分析】【分析】利用对立事件、互斥事件的定义求解．【解析】【解答】解：∵从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件；观察正品件数和次品件数；

∴在A中；恰好有1件次品和恰好有2件次品不能同时发生，但能同时不发生；

∴恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件但不是对立事件；故A成立；

在B中；至少有1件次品和全是次品，能同时发生；

∴至少有1件次品和全是次品不是互斥事件；故B不成立；

在C中；至少有1件正品和至少有1件次品能同时发生；

∴至少有1件正品和至少有1件次品不是互斥事件；故C不成立；

在D中；至少有1件次品和全是正品不能同时发生，也不能同时不发生；

∴至少有1件次品和全是正品是对立事件；故D不成立．

故选：A．2、C【分析】【分析】根据指数函数的性质求出函数的值域化简集合A，求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解．【解析】【解答】解：集合A={y|y=2x}=（0，+∞），B={x|x2-2x-3＞0；x∈R}=（-∞，-1）∪（3，+∞）；

∴A∩B=（3；+∞）

故选C．3、B【分析】【分析】根据两个向量共线的性质，求得tanθ的值，即可求解θ的值．【解析】【解答】解：∵向量=（sinθ，），向量=（cosθ，3），且∥，3sinθ=cosθ；

化简可得tanθ=．

∴θ=+2kπ（k∈Z）

故选：B．4、B【分析】【分析】原式分子分母除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanα的值代入计算即可求出值．【解析】【解答】解：∵tanα=3；

∴原式===2．

故选：B．5、C【分析】【分析】利用三角函数的性格性质进行判断．【解析】【解答】解：A．函数y=cotx在其定义域内不单调性；所以A错误．

B．函数y=sin（2x+）的最小正周期是π，所以y=|sin（2x+）|的最小正周期是；所以B错误．

C．函数y=cosx在每个区间[]（k∈z）上是增函数；所以C正确．

D．因为函数y=tan（x+）是非奇非偶函数；所以D错误．

故选C．6、A【分析】【分析】先根据函数f（x+1）是偶函数，当x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递减，确定当x∈（-∞，1）时，函数f（x）单调递增，再结合函数的单调性，即可得到结论．【解析】【解答】解：∵函数f（x+1）是偶函数；当x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递减；

∴当x∈（-∞；1）时，函数f（x）单调递增；

∵b=f（3）=f（-1），-1＜-＜0＜1

∴f（-1）＜f（）＜f（0）

∴f（3）＜f（）＜f（0）

∴b＜a＜c

故选A．7、C【分析】【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，设其中一段长为xm，关键是要找出剪得两段的长度都不小于1米，且以剪得的两段绳为两边的矩形的面积都不大于6平方米时，x点对应的图形的长度，并将其代入几何概型的计算公式，进行求解．【解析】【解答】解：记“剪得两段的长度都不小于1米；且以剪得的两段绳为两边的矩形的面积都不大于6平方米”为事件A；

∵绳子的总长为5米；设剪得的一段长为x米，则有：

；解得2≤x≤3；

∴如图所示；只能在中间2米-3米的部分剪断，才能使剪出的两段符合条件；

根据几何概型的概率公式，可得事件A发生的概率P（A）=

故选C．8、C【分析】【分析】先设抛物线方程，利用点P（m，1）到焦点距离为5，转化为点到准线的距离为5．【解析】【解答】解：设抛物线方程为x2=2py（p＞0）；

由题意得，∴2p=16，∴抛物线方程为x2=16y；

故选C．9、B【分析】【分析】要作出满足条件的x，y的范围，要先分析题意，找出相关量之间的不等关系，即x，y满足的约束条件，由约束条件画出可行域．【解析】【解答】解：依题意得υ2=，υ1=，4≤υ2≤20，30≤υ1≤100．

∴3≤x≤10，≤y≤．①

由于乘汽车；摩托艇所需的时间和x+y应在9至14个小时之间；即9≤x+y≤14．②

因此；满足①②的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）．

故选B．二、填空题(共7题，共14分)10、略

【分析】【分析】首先，根据=，=，然后，根据向量的运算求解．【解析】【解答】解：∵=；

=

==（）；

∵=+

=+-

=-+；

故答案为：-+，11、略

【分析】【分析】运用体积公式求解即可．【解析】【解答】解：∵一个正三棱锥的底面边长是6，高是；

∴这个正三棱锥的体积为×62×=3×=9；

故答案为：912、略

【分析】【分析】利用偶函数的性质即可得出．【解析】【解答】解：∵f（x）的图象关于y轴对称；

∴函数f（x）是偶函数．

设x＜0时；则-x＞0．

f（x）=f（-x）=-（-x）3+1=x3+1．

故答案为：x3+1．13、略

【分析】【分析】分别根据条件判别各命题的真假即可．①利用正弦定理化简求角．②由得出向量的夹角，根据夹角判断是否共线．③构造函数y=sinx-x，利用导数判断函数是单调的即可．④利用作差法进行判断．【解析】【解答】解：①在三角形中，根据正弦定理可知bsinA=acosB等价为sinAsinB=sinAcosB，所以sinB=cosB，即B=；所以正确．

②由，得|cos＜＞|=1，所以，的夹角为0或π，所以，共线，所以存在实数λ，使得；所以正确．

③设y=sinx-x；则y'=cosx-1≤0，所以函数y=sinx-x在定义域上单调递减．因为f（0）=0，所以方程sinx-x=0在实数范围内的解有且仅有一个，所以正确．

④因为a3-b3+3a-3b=，所以若a3-3b＞b3-3a，则必有a＞b成立；所以正确．

故答案为：①②③④．14、略

【分析】

设z=a+bi（a，b是实数）

∵（z+2）（1+i）=2i；

∴（a+2+bi）（1+i）=2i；

∴a-b+2+（a+b+2）i=2i

∴a-b+2=0；

a+b+2=2

∴a=-1，b=1；

∴z=-1+i；

故答案为：-1+i

【解析】【答案】设出要求的复数z，把设出的结果代入题目条件所给的式子中，根据复数乘法运算，整理成复数的标准形式，使得整理的结果同所给的2i进行比较，根据复数相等的条件写出关于a和b的方程；解方程即可．

15、略

【分析】

设切点为D，则连接OD知OD⊥AB；

从而得到

∴线段AB=

∵sin2α∈（0.1]

∴线段AB长度的最小值为2．

故答案为：2

【解析】【答案】如图的所示：AB=BD+AD，所以要分别求解，先设切点为D，连接OD，有OD⊥AB，从而建立线段AB长的模型为：AB=再由三角函数的最值求解．

16、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】(开区间也正确)三、判断题(共7题，共14分)17、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×18、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√19、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．20、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×21、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√22、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．23、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素；∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．四、计算题(共4题，共32分)24、略

【分析】【分析】分别由复数的实部和虚部大于0（小于0）求解x的取值范围得答案．【解析】【解答】解：∵z=（x-3）+（x+3）i；

∴当；即x＞3时，复数z=（x-3）+（x+3）i对应的点位于第一象限；

当时；x∈∅，复数z=（x-3）+（x+3）i对应的点不可能位于第四象限；

当；即-3＜x＜3时，复数z=（x-3）+（x+3）i对应的点位于第二象限；

当；即x＜-3时，复数z=（x-3）+（x+3）i对应的点位于第三象限．

∴复数z=（x-3）+（x+3）i对应的点不可能位于第四象限．

故答案为：四．25、略

【分析】【分析】求出函数的定义域，再由奇函数的定义可得，f（-x）=-f（x），化简整理即可求得a=-1．【解析】【解答】解：由2x-1≠0；可得x≠0；

函数的定义域为{x|x≠0}．

由f（x）为奇函数；则f（-x）=-f（x）；

即-a=-+a；

2a=+=-=-2；

解得；a=-1．

故答案为：-1．26、略

【分析】【分析】利用导数求出切线的斜率，可切线方程，根据切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为54，建立等式，解之即可求出a的值．【解析】【解答】解：∵y=f（x）=x2；

∴y′=2x；

∴切线的斜率为2a

∴曲线y=x2在点（a，a2）（a＞0）处的切线方程为y-a2=2a（x-a）；

即y=2ax-a2；

令x=0得y=-a2，令y=0得x=

∴切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为×a2×=54

解得a=．

故答案为：．27、略

【分析】【分析】由已知可得，f（x+3）=f（x），求出函数f（x）的一个周期，从而利用周期性可求得f（2014）的值．【解析】【解答】解：由已知可得，；

∴f（x+3）=f（（x+）+）=-f（x+）=-[-f（x）]=f（x）．

∴3是函数f（x）的一个周期．

∴f（2014）=f（671×3+1）=f（1）；

又f（1）=2014；

∴f（2014）=2014．

故答案为：2014．五、作图题(共4题，共20分)28、略

【分析】【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得解．【解析】【解答】解：如图：

首先由五点作图法可作出y=sinx的简图；

然后将图象利用x轴对称可得y=-sinx的简图；

再将y=-sinx的简图沿着y轴向下平移2个单位即可得到函数y=-sinx-2的简图．

29、略

【分析】【分析】（1）根据算法画出程序框图即可．

（2）根据算法有：由y=2x2-1=1，可得x=1或-1（舍去）．由y=2|x|=1可得x=-或x=（舍去），由x=0可得y=1，从而得解．【解析】【解答】解：（1）程序框图如下：

5分。

（2）当x＞0时，由y=2x2-1=1；可得x=1或-1（舍去）．

当x＜0时，由y=2|x|=1可得x=-或x=（舍去）；

当x=0时；由x=0可得y=1．

所以输入实数x的所有可能的取值为1，-，0．10分30、1【分析】【分析】在同一个坐标系中作出两函数的图象，横坐标一样时取函数值较小的那一个，如图，由图象可以看出，最大值是1【解析】【解答】解：由题意作出符合条件的函数图象；如图

故有f（x）*g（x）=

由图象知；其最大值为1．

故答案为1．31、①④②③【分析】【分析】依据函数的性质与图象的图象对应来确定函数与图象之间的对应关系，对函数的解析式研究发现，四个函数中有一个是偶函数，有两个是奇函数，还有一个是指数型递增较快的函数，由这些特征接合图象上的某些特殊点判断即可．【解析】【解答】解：研究发现①是一个偶函数；其图象关于y轴对称，故它对应第一个图象。

②③都是奇函数；但②在y轴的右侧图象在x轴上方与下方都存在，而③在y轴右侧图象只存在于x轴上方，故②对应第三个图象，③对应第四个图象，④与第二个图象对应，易判断．

故按照从左到右与图象对应的函数序号①④②③

故答案为：①④②③六、综合题(共4题，共40分)32、略

【分析】【分析】（I）运用数学归纳法推理论证；

（II）根据递推关系式得出bn==2-，（n∈N*），an-1=2-，判断得出b1=═2-=ak-1，bk=2-=2=0；可以解决问题．

（III）cn=推证∴（）=放缩得出（）＜列出和即可证明．【解析】【解答】证明（I）（1）当n=0时，a1=，0≤a0＜a1＜1；

（2）假设n=k（k≥0，k∈N）时，ak＜ak+1＜1；

则n=k+1时，令f（x）=；f（x）在（0，1）上单调递增；

∴f（ai）＜f（ai+1）＜f（1），即ak+1＜ak+2＜1；

∴n=k+1时命题成立；

综上原命题成立；

（II）∵bn==2-，（n∈N*），an-1=2-

∴b1=═2-=ak-1，bk=2-=2=0；

∴数列{bn}没有第k+1项及后继项，即数列{bn}是有穷数列．

（III）∵an=（n∈N*）．∴=1；

∴cn=

∴（）==（）＜（）=

∴c+c++c＜1-++=1＜1+（n∈N*）．33、略

【分析】【分析】利用平面中的射影定理证明；将平面中的三角形类比成空间的三棱锥，三角形的两边垂直类比成三棱锥的三棱垂直，得到类比性质通过作辅助线将空间的证明问题转化为三角形中的性质．【解析】【解答】解：类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：在四面体ABCD中，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AE⊥平面BCD，则=++．

如图；连接BE交CD于F，连接AF．

∵AB⊥AC；AB⊥AD

∴AB⊥平面ACD．

而AF⊂平面ACD；∴AB⊥AF．

在Rt△ABF中；AE⊥BF；

∴=+．

在Rt△ACD中；AF⊥CD；

∴=+．

∴=++，故猜想正确34、