常州19年中考数学试卷

常州19年中考数学试卷一、选择题

1.已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$）的判别式$\Delta=b^2-4ac$，以下说法正确的是（）

A.$\Delta>0$时，方程有两个不相等的实数根

B.$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根

C.$\Delta<0$时，方程没有实数根

D.$\Delta$的值与方程的根无关

2.在直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴的对称点B的坐标是（）

A.（1，-2）

B.（-1，2）

C.（-1，-2）

D.（1，4）

3.在等腰三角形ABC中，若AB=AC，且$\angleBAC=60^\circ$，则$\angleB=\angleC=$（）

A.$30^\circ$

B.$45^\circ$

C.$60^\circ$

D.$90^\circ$

4.已知函数$f(x)=x^2-4x+3$，则函数的对称轴方程为（）

A.$x=2$

B.$x=-2$

C.$x=1$

D.$x=3$

5.已知数列$\{a_n\}$是等差数列，若$a_1=2$，$a_5=10$，则公差d等于（）

A.1

B.2

C.3

D.4

6.在平行四边形ABCD中，若$\angleA=60^\circ$，$\angleB=120^\circ$，则$\angleC=\angleD=$（）

A.$60^\circ$

B.$120^\circ$

C.$90^\circ$

D.$180^\circ$

7.已知函数$f(x)=2^x-1$，则函数的值域为（）

A.$(-\infty,+\infty)$

B.$(-1,+\infty)$

C.$[0,+\infty)$

D.$[1,+\infty)$

8.在平面直角坐标系中，点P（2，3）到直线$x+y-5=0$的距离为（）

A.$\sqrt{2}$

B.$\sqrt{5}$

C.2

D.3

9.已知数列$\{a_n\}$是等比数列，若$a_1=2$，$a_3=8$，则公比q等于（）

A.2

B.4

C.$\frac{1}{2}$

D.$\frac{1}{4}$

10.在等腰三角形ABC中，若AB=AC，且底边BC的长度为6，则腰长BC的长度为（）

A.3

B.4

C.5

D.6

二、判断题

1.在直角坐标系中，任意一条直线都可以表示为$y=kx+b$的形式，其中k为斜率，b为截距。（）

2.如果一个三角形的两个内角相等，那么这个三角形一定是等腰三角形。（）

3.函数$f(x)=\frac{1}{x}$在其定义域内是连续的。（）

4.等差数列的通项公式可以表示为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中d为公差。（）

5.在平面直角坐标系中，点到直线的距离可以通过点到直线的垂线段来计算。（）

三、填空题

1.已知一元二次方程$x^2-5x+6=0$的两个实数根分别为$x_1$和$x_2$，则$x_1+x_2=\_\_\_\_\_\_，x_1\cdotx_2=\_\_\_\_\_\_。

2.在直角坐标系中，点P（-3，4）关于原点的对称点坐标为\_\_\_\_\_\_。

3.等腰三角形ABC中，若底边BC的长度为8，腰长AB的长度为10，则顶角A的度数为\_\_\_\_\_\_度。

4.函数$f(x)=3x^2-2x-1$的顶点坐标为\_\_\_\_\_\_。

5.在数列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$a_2=6$，则该数列的公比$q=\_\_\_\_\_\_。

四、简答题

1.简述一元二次方程的解法，并举例说明如何使用配方法求解一元二次方程。

2.请解释平行四边形的性质，并说明如何判断一个四边形是平行四边形。

3.给出一个函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，请描述如何求该函数的极值点。

4.简述等差数列和等比数列的定义，并举例说明如何求一个等差数列或等比数列的通项公式。

5.在平面直角坐标系中，如何求一个点到直线的距离？请给出公式并举例说明计算过程。

五、计算题

1.计算下列一元二次方程的解：$2x^2-5x-3=0$。

2.在直角坐标系中，已知点A（2，3）和点B（-1，-4），求线段AB的长度。

3.一个等腰三角形的底边BC的长度为6，腰长AB的长度为8，求顶角A的度数。

4.已知函数$f(x)=4x^2-12x+9$，求该函数在区间[1,3]上的最大值和最小值。

5.在数列$\{a_n\}$中，若$a_1=5$，公比$q=\frac{1}{2}$，求前10项的和$S_{10}$。

六、案例分析题

1.案例背景：某班级学生小王在一次数学测验中，选择题部分连续三个题目都选择了C选项，而正确答案分别是A、B、D。课后，老师发现小王在选择题部分的表现与其他题型相比明显较差。

案例分析：

（1）分析小王选择题表现差的原因可能有哪些？

（2）作为老师，如何帮助小王提高选择题的正确率？

（3）针对小王的情况，制定一个为期一个月的辅导计划。

2.案例背景：某中学的数学竞赛选拔赛结束后，发现参赛学生的解题速度普遍较慢，且在解题过程中容易出错。

案例分析：

（1）分析导致学生解题速度慢和易出错的原因可能有哪些？

（2）针对这些问题，学校可以采取哪些措施来提高学生的解题能力和速度？

（3）设计一个包含提高解题速度和准确率的课程或活动方案。

七、应用题

1.应用题：某工厂计划生产一批产品，已知生产每件产品需要3小时的人工和2小时的机器时间。工厂每天可以提供8小时的人工和10小时的机器时间。问：最多可以生产多少件产品？

2.应用题：一家商店正在促销，顾客购买商品时，前100件商品每件可以打9折，超过100件后每件商品再打8折。如果一位顾客购买的商品总价值为2000元，请问这位顾客能享受多少折优惠？

3.应用题：一个圆形花坛的直径是12米，在花坛的边缘种植了一圈树木，树木的间隔是2米。请问一共需要种植多少棵树木？

4.应用题：小明骑自行车去图书馆，他骑了30分钟到达，然后借了一本书，又骑了40分钟返回家中。如果小明骑自行车的速度是每分钟10米，那么图书馆距离小明家有多远？

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.A.$\Delta>0$时，方程有两个不相等的实数根

2.A.（1，-2）

3.A.$30^\circ$

4.A.$x=2$

5.B.2

6.A.$60^\circ$

7.C.$[0,+\infty)$

8.B.$\sqrt{5}$

9.B.4

10.C.5

二、判断题

1.×

2.×

3.×

4.√

5.√

三、填空题

1.$x_1+x_2=5，x_1\cdotx_2=3

2.（3，-4）

3.60度

4.（1，-1）

5.$\frac{1}{2}$

四、简答题

1.一元二次方程的解法包括：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法等。配方法求解一元二次方程的步骤如下：①将方程变形为$ax^2+bx+c=0$的形式；②将方程两边同时加上$(\frac{b}{2a})^2$；③将方程左边写成一个完全平方的形式，右边写成一个常数；④开平方，得到两个解。

2.平行四边形的性质包括：对边平行且等长，对角相等，对角线互相平分等。判断一个四边形是平行四边形的方法有：①对边平行且等长；②对角相等；③对角线互相平分。

3.求函数极值点的步骤如下：①求函数的导数；②令导数等于0，找出临界点；③判断临界点处的导数符号变化，确定极值点。

4.等差数列的定义是：从第二项起，每一项与它前一项的差是常数。等比数列的定义是：从第二项起，每一项与它前一项的比是常数。求通项公式的步骤如下：①确定数列的首项和公差或公比；②根据首项和公差或公比，写出通项公式。

5.点到直线的距离公式为：$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，其中A、B、C是直线的系数，$(x_0,y_0)$是点的坐标。

五、计算题

1.解：使用公式法，$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得到$x_1=3，x_2=\frac{1}{2}$。

2.解：前100件商品每件打9折，超过100件后每件打8折，因此优惠后的总价值为$100\times0.9\times20+(2000-100\times20)\times0.8=1800$元。

3.解：花坛的周长为$\pi\times12=12\pi$米，树木间隔为2米，所以需要种植的树木数为$\frac{12\pi}{2}=6\pi$棵。

4.解：小明往返总时间为70分钟，往返距离相同，因此单程时间为35分钟。单程距离为$35\times10=350$米。

七、应用题

1.解：设最多可以生产x件产品，则有$3x+2x\leq8+10$，解得$x\leq2$，因此最多可以生产2件产品。

2.解：顾客享受的折扣为$0.9\times0.8=0.72$，即7.2折。

3.解：种植的树木数为$\frac{12}{2}=6$棵。

4.解：小明家到图书馆的距离为350米。

知识点总结：

本试卷涵盖了中学数学的基础知识点，包括一元二次方程、函数、数列、几何图形、坐标系、应用题等。题型包括选择题、判断题、填空题、简答题、计算题和案例分析题，旨在考察学生对基础知识的掌握程度和综合运用能力。

题型详解及示例：

1.选择题：考察学生对基础知识的理解和判断能力。例如，选择题1考察了学生对于一元二次方程判别式的理解。

2.判断题：考察学生对基础知识的正确性和逻辑推理能力。例如，判断题1考察了学生对直线方程的理解。

3.填空题：考察学生对基础知识的记忆和应用能力。例如，填空题1考察了学生对于一元二次方程根与系数