【北京特级教师】2020-2021学年人教A版数学必修二课后练习：空间中的平行关系-二

学科：数学专题：空间中的平行关系对于不重合的两直线m、n和平面α，下列命题中的真命题是()．A．假如m⊂α，nα，m、n是异面直线，那么n∥αB．假如m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nC．假如m⊂α，nα，m、n是异面直线，那么n与α相交D．假如m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥nα、β、γ是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ．假如命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是()．A．①或②B．②或③C．①或③D．只有②如图，在正方体中，为异面直线与的公垂线，求证：．ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH．如图所示，在正方体中，是棱的中点．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使//平面？证明你的结论．如图所示，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝eq\r(2)a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，依据画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)在所给直观图中连接BC′，证明：BC′∥平面EFG．假如平面与外一条直线都垂直，那么．

课后练习详解答案：B．详解：如图所示，长方体ABCD—A1B1C1D1中，直线AB⊂平面AC，直线CC1平面AC，直线AB和直线CC1是异面直线，但是直线CC1∩平面AC＝C，排解A；直线AB⊂平面AC，直线B1C1平面AC，直线AB和直线B1C1是异面直线，但是直线B1C1∥平面AC，排解C；直线A1B1∥平面AC，直线B1C1∥平面AC，直线A1B1和直线B1C1共面，但是直线A1B1∩直线B1C1答案：C．详解：若填入①，则由a∥γ，b⊂β，b⊂γ，b＝β∩γ，又a⊂β，则a∥b；若填入③，则由a⊂γ，a＝α∩β，则a是三个平面α、β、γ的交线，又b∥β，b⊂γ，则b∥a；若填入②，不能推出a∥b，可以举出反例，例如使β∥γ，b⊂γ，画一草图可知，此时能有a∥γ，b∥β，但不肯定a∥b，有可能异面．从而A、B、D都不正确，只有C正确．证明：连结，由于，，∴．又，，∴．①∵，，∴．∵四边形为正方形，∴，，∴，而，∴．同理，，∴．②由①、②可知：．答案：见详解详解：如图所示，连结AC交BD于O，连结MO，∵ABCD是平行四边形，∴O是AC中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM．依据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD．∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，依据直线和平面平行的性质定理，∴PA∥GH．答案：见详解．详解：（Ⅰ）由于多面体为正方体，所以；由于，所以．又由于，，所以．由于,所以平面平面．（Ⅱ）当点F为中点时，可使//平面．以下证明之：易知：//，且，设，则//且所以//且，所以四边形为平行四边形．所以//．又由于，．则//平面答案：见详解．详解：当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC．取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE．∵FM⊄平面AEC，CE⊂平面AEC，∴FM∥平面AEC，由EM＝eq\f(1,2)PE＝ED，得E是MD的中点．连接BM，BD，设BD∩AC＝O，则O是BD的中点，所以BM∥OE．∵BM⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BM∥平面AEC，∵FM∩BM＝M，∴平面BFM∥平面AEC，又BF⊂平面BFM，所以BF∥平面AEC．答案：见详解．详解：证法一：如图，作ME∥BC，交B1B于E，作NF∥AD交AB于F，连接EF，则EF⊂平面AA1B1B．∴eq\f(ME,BC)＝eq\f(B1M,B1C)，eq\f(NF,AD)＝eq\f(BN,BD)．∵在正方体ABCD—A1B1C1D1中，CM＝DN，∴B1M＝BN又∵B1C＝BD，∴eq\f(ME,BC)＝eq\f(BN,BD)＝eq\f(NF,AD)．∴ME＝NF．又ME∥BC∥AD∥NF．∴四边形MEFN为平行四边形．∴MN∥EF，∴MN∥平面AA1B1B．证法二：如图，连接CN并延长交BA所在直线于点P，连接B1P，则B1P⊂平面AA1B1B．∵△NDC∽△NBP，∴eq\f(DN,NB)＝eq\f(CN,NP)．又CM＝DN，B1C＝BD，∴eq\f(CM,MB1)＝eq\f(DN,NB)＝eq\f(CN,NP)．∴MN∥B1P．∵B1P⊂平面AA1B1B，∴MN∥平面AA1B1B．答案：见详解．详解:(1)如图．(2)在长方体ABCD­A′B′C′D′中，连接AD′，则AD′∥BC′．由于E，G分别为AA′，A′D′中点，所以AD′∥EG，从而EG