【名师一号】2020-2021学年北师大版高中数学必修2双基限时练27

双基限时练(二十七)一、选择题1．圆x2＋y2＝1与x2＋y2－2x－2y＝0的位置关系是()A．相交 B．相离C．内含 D．外切解析圆心距d＝eq\r(1－02＋1－02)＝eq\r(2)<1＋eq\r(2)，且d>eq\r(2)－1，可知答案为A.答案A2．若x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与x2＋y2＋2x－2y－2＝0相外切，则m的值为()A．－5 B．3C．－5或3 D．以上均不对解析x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，x2＋y2＋2x－2y－2＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝4，由题可知，eq\r(m＋12＋－2－12)＝3＋2，得m＝－5，或m＝3.答案C3．过两圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝13及(x＋2)2＋(y＋1)2＝9的交点的直线方程是()A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0C．5x＋3y＋2＝0 D．5x＋3y－2＝0解析将两圆的方程相减．答案A4．两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2A．2eq\r(2) B．2C.eq\r(2) D．1解析两圆相交弦所在的直线方程为x＋y＋a＋b＝0，∴弦长＝2eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,\r(2))))2).∴当a＝b时弦长最大，最大值为2.答案B5．若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0关于直线x－y＝1对称的圆的方程为x2＋y2＝1，则实数a的值为()A．0 B．1C．±2 D．2解析x2＋y2－ax＋2y＋1＝0的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－1))，半径为eq\f(|a|,2)，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(|a|,2)＝1，,\f(－1－0,\f(a,2)－0)＝－1，))得a＝2.答案D6．圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x＋10y＋13＝0的公切线的条数是()A．1 B．2C．3 D．4解析两圆的圆心距d＝eq\r(－2－22＋2＋52)＝eq\r(65)，半径r1＝1，r2＝4，∴d>r1＋r2，∴两圆相外离，故有4条公切线．答案D二、填空题7．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2eq\r(3)，则a＝________.解析由题可知，两圆的公共弦所在的直线方程为y＝eq\f(1,a)，圆心O到直线的距离为eq\f(1,a)，则由弦长公式(eq\r(3))2＋eq\f(1,a2)＝4，得a＝1.答案18．若(x＋1)2＋y2＝4与(x－a)2＋y2＝1相交，则a的取值范围是________．解析由题可知eq\r(－1－a2＋0－02)∈(2－1，2＋1)，得－4<a<－2，或0<a<2.答案－4<a<－2，或0<a<29．若圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为________．解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，①,x2＋y2＝4，②))①－②可得l的方程为x－y＋2＝0.答案x－y＋2＝0三、解答题10．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点．(1)求公共弦AB所在的直线方程；(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A，B两点的圆的方程．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，,x2＋y2－2x＋10y－24＝0，))得x－2y＋4＝0，所以公共弦AB所在的直线方程为x－2y＋4＝0.(2)设所求的圆的方程为x2＋y2＋2x＋2y－8＋λ(x2＋y2－2x＋10y－24)＝0①整理得(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)x＋(2＋10λ)y－8－24λ＝0，圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ－1,1＋λ)，－\f(1＋5λ,1＋λ)))，又圆心在y＝－x上，即eq\f(λ－1,1＋λ)＝eq\f(1＋5λ,1＋λ)，得λ＝－eq\f(1,2).代入①得x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.即所求的圆的方程为x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.11．求通过直线2x－y＋3＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且面积最小的圆的方程．解解法1：设所求的圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x－y＋3)＝0，配方得标准方程为(x＋1＋λ)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－2－\f(λ,2)))2＝(1＋λ)2＋eq\f(4＋λ2,4)－3λ－1.∵r2＝eq\f(5,4)λ2＋λ＋4＝eq\f(5,4)(λ＋eq\f(2,5))2＋eq\f(19,5)，∴当λ＝－eq\f(2,5)时，半径r＝eq\r(\f(19,5))最小．∴所求面积最小的圆的方程为5x2＋5y2＋6x－18y－1＝0.解法2：设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋3＝0，,x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，))消去y，得5x2＋6x－2＝0.∴判别式Δ>0，AB中点横坐标x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(3,5)，纵坐标y0＝2x0＋3＝eq\f(9,5)，即圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(9,5)))，半径r＝eq\f(1,2)·|x1－x2|eq\r(1＋22)＝eq\r(\f(19,5))，∴所求面积最小的圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,5)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(9,5)))2＝eq\f(19,5).12．已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B两点，求公共弦AB的长．解解法1：由两圆方程相减，得公共弦AB所在直线的方程为：4x＋3y－10＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋3y－10＝0，,x2＋y2－10x－10y＝0))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2.))令A(－2,6)，B(4，－2)．故|AB|＝eq\r(－2－42＋6＋22)＝10.解法2：同法1，先求出公共弦所在直线l的方程为4x＋3y－10＝0.过C1作C1D⊥AB于D，如图，圆C1的圆心C1(5,5)，半径r1＝5eq\r(2)，则|C1D|＝eq\f(|20＋15－10|,5)＝5.∴|AB|＝2|AD|＝2eq\r(C1A2－C1D2)＝2eq\r(50－25)＝10.思维探究13．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a试求a为何值时，两圆C1，C2：(1)相切；(2)相交；(3)相离？解对圆C1，C2的方程，经配方后