《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习-第九章-第7讲-离散型随机变量及其分布列-轻松闯关

1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X全部可能取值的个数是()A．5 B．9C．10 D．25解析：选B.X的全部可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于()A．0 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：选C.设X的分布列为X01Pp2p即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p.由p＋2p＝1，得p＝eq\f(1,3)，故应选C.3．设随机变量Y的分布列为Y－123Peq\f(1,4)meq\f(1,4)则“eq\f(3,2)≤Y≤eq\f(7,2)”的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)解析：选C.依题意知，eq\f(1,4)＋m＋eq\f(1,4)＝1，则m＝eq\f(1,2).故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)≤Y≤\f(7,2)))＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).4．在15个村庄中有7个村庄交通不便利，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不便利的村庄数，则下列概率中等于eq\f(Ceq\o\al(4,7)Ceq\o\al(6,8),Ceq\o\al(10,15))的是()A．P(X＝2) B．P(X≤2)C．P(X＝4) D．P(X≤4)解析：选C.X听从超几何分布，P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,7)Ceq\o\al(10－k,8),Ceq\o\al(10,15))，故k＝4，故选C.5．若随机变量η的分布列为η－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是()A．x≤2 B．1≤x≤2C．1<x≤2 D．1<x<2解析：选C.由随机变量η的分布列知：P(η<－1)＝0.1，P(η<0)＝0.3，P(η<1)＝0.5，P(η<2)＝0.8，则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是1<x≤2.6．若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1＜x2，则P(x1≤ξ≤x2)等于________．解析：由分布列性质可有：P(x1≤ξ≤x2)＝P(ξ≤x2)＋P(ξ≥x1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．答案：1－(α＋β)7．若离散型随机变量X的分布列为：X01P9c2－c3－8c则常数c＝________，P(X＝1)＝________．解析：依分布列的性质知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9c2－c≥0，,3－8c≥0，,9c2－c＋3－8c＝1，))解得c＝eq\f(1,3)，故P(X＝1)＝3－8×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)eq\f(1,3)8．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，登记它的颜色，然后放回，再取一球，又登记它的颜色，写出这两次取出白球数X的分布列为________．解析：X的全部可能值为0，1，2.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1)×2,Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,4).∴X的分布列为X012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)答案：X012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)9.(2021·长沙调研)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开头营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发觉存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为其次天开头营业时该商品的件数，求X的分布列．解：(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝eq\f(1,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,10).(2)由题意知，X的可能取值为2，3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝eq\f(5,20)＝eq\f(1,4)；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝eq\f(1,20)＋eq\f(9,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,4).所以X的分布列为X23Peq\f(1,4)eq\f(3,4)10.(2022·高考重庆卷节选)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数字的中位数)解：(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为p＝eq\f(Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(5,84).(2)X的全部可能值为1，2，3，且P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(17,42)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(43,84)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(1,12).故X的分布列为X123Peq\f(17,42)eq\f(43,84)eq\f(1,12)1．在一次购物活动中，假设每10张券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张券中任取2张．(1)求该顾客中奖的概率；(2)求该顾客获得的奖品总价值X(元)的概率分布．解：(1)该顾客中奖的概率p＝1－eq\f(Ceq\o\al(0,4)Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,10))＝1－eq\f(15,45)＝eq\f(2,3).(2)X的全部可能取值为0，10，20，50，60.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,4)Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,3)，P(X＝10)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(2,5)，P(X＝20)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)，P(X＝50)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(2,15)，P(X＝60)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,15).故X的概率分布如下表所示：X010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)2.2022年8月22日是邓小平同志110周年诞辰，为纪念邓小平同志110周年诞辰，促进广安乃至四川旅游业进一步进展，国家旅游局把2022年“5.19”中国旅游日主会场放在四川广安．为迎接今年旅游日的到来，某旅行社组织了14人参与“四川旅游常识”学问竞赛，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：答对题目个数0123人数3254依据上表信息解答以下问题：(1)从14人中任选3人，求3人答对题目个数之和为6的概率；(2)从14人中任选2人，用X表示这2人答对题目个数之和，求随机变量X的分布列．解：(1)记“3人答对题目个数之和为6”为大事A，则P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,14))＝eq\f(10＋40＋18,14×26)＝eq\f(17,91)，即3人答对题目个数之和为6的概率为eq\f(17,91).(2)依题意可知X的全部可能取值为0，1，2，3，4，5，6.则P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,14))＝eq\f(3,7×13)＝eq\f(3,91)，P(X＝1)eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,14))＝eq\f(6,7×13)＝eq\f(6,91)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(2,14))＝eq\f(16,7×13)＝eq\f(16,91)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(2,14))＝eq\f(22,7×13)＝eq\f(22,91)，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,14))＝eq\f(18,7×13)＝eq\f(18,91)，P(X＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,14))＝eq\f(20,7×13)＝eq\f(20,91)，P(X＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,14))＝eq\f(6,7×13)＝eq\f(6,91).从而X的分布列为X0123456Peq\f(3,91)eq\f(6,91)eq\f(16,91)eq\f(22,91)eq\f(18,91)eq\f(20,91)eq\f(6,91)3.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为eq\f(1,7).现在甲、乙两人从袋中轮番摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用ξ表示终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量ξ的概率分布；(3)求甲取到白球的概率．解：(1)设袋中原有n个白球，由题意知eq\f(1,7)＝eq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,7))＝eq\f(\f(n（n－1）,2),\f(7×6,2))＝eq\f(n（n－1）,7×6)，所以n(n－1)＝6，解得n＝3或n＝－2(舍去)．即袋中原有3个白球．(2)由题意知ξ的可能取值为1，2，3，4，5.P(ξ＝1)＝eq\f(3,7)；P(ξ＝2)＝eq\f(4×3,7×6)＝eq\f(2,7)；P(ξ＝3)＝eq\f(4×3×3,7×6×5)＝eq\f(6,35)；P(ξ＝4)＝eq\f(4×3×2×3,7×6×5×4)＝eq\f(3,35)；P(ξ＝5)＝eq\f(4