云南省巧家县第二中学2021届人教版高三数学专题复习：三角变换

高三数学复习之三角变换1．若α∈，则sinα<α<tanα；角的终边“靠近”Y轴时，正弦、正切确定值较大，角的终边“靠近”X轴时，余弦、余切确定值较大。若x∈，求方程sinx=tanx解的个数。解析：在图象中要能体现出（0，）上sinα<tanα，留意：横纵坐标的长度单位要全都（>1），（图象略）1个。已知是其次象限的角，且<，那么+的取值范围是A(-1、0)B(1、)C(-1、1)D(-、-1)解析：是其次象限的角，则∈（k+，k+）k∈Z，（一、三象限中“靠近”y轴的部分），∵<，∴不在第一象限（第一象限正、余弦均为正，“靠近”y轴正弦较大），即∈（2k+，2k+）k∈Z，+=，+∈（2k+，2k+），由图象知：∈(-、-1)，选D。若且＜＜，则的值为 （）A．或 B． C． D．⊿ABC的内角A满足：且tanA-sinA<0,sinA+cosA>0,则A的取值范围是___2．已知一个角的某一三角函数值求角的大小，肯定要依据角的范围来确定；如：sin=m(|m|<1),则=2k+arcsinm或=2k+-arcsinm；cos=m(|m|<1),则=2k±arccosm;tan=m,则=k+arctanm，k∈Z等。两个角的三角函数值相等，这两个角未必相等，如sinα=sinβ,则α=2k+β,或α=2k+-β，kZ;若cosα=cosβ,则α=2kβ;若tanα=tanβ,则α=k+β,kZ等。已知sin2A=sin2B,则⊿ABC的外形为__________解析：∵sin2A=sin2B且2A+2B∈（0，2），∴2A=2B或2A+2B=A=B或A+B=即⊿ABC是等腰或直角三角形。已知sin=-,∈(-,-)，求解析：sin=-，则=2k-或=2k，k∈Z，又∈(-,-)∴=。假如的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（）A．和都是锐角三角形B．和都是钝角三角形C．是钝角三角形，是锐角三角形D．是锐角三角形，是钝角三角形已知∈(0，)，则直线x+ytan+1=0的倾角A．B．-C．+D．-3.生疏将三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)+B的套路。即：运用两倍角正（余）弦公式及半角公式降次、（其中sin2x=(1-cos2x)，cos2x=(1+cos2x)这两个公式使用频繁，必需牢记）再引入帮助角（特殊留意，经常弄错）使用两角和、差的正弦、余弦公式（合二为一）。这是三角变换中最常用的一套“组合拳”，要能娴熟而精准地使用。函数f(x)=6sinxcosx-8sin2x取得最大值时tan2x的值为。解析：f(x)=3sin2x-4(1-cos2x)=3sin2x+4cos2x-4=5(sin2x+cos2x)-4=5sin(2x+)-4(其中tan=),当且仅当2x+=2k+即2x=2k+-，k∈Z时函数f(x)取得最大值，此时tan2x=tan(2k+-)=cot=。留意：上述过程中“5(sin2x+cos2x)-4”这一步最好不要跳过，它是保证帮助角不出错的最重要的关口。函数的最大值为4．求具体角的三角函数值的一般方法：角负化正、大化小。必需熟记常用几个特殊角的三角函数值，很多“疏忽”皆源于此；而在“无条件”求值问题中，恰倒好处地运用特殊角三角函数值又往往是解题的关键。的值是：（）A．-B．-C．-D．-解析：用两倍角公式，很快就会发觉进行不下去。尝试“大化小”，原式==，选C。（把100换成300-200是关键）。==若，则(A)(B)(C)(D)5.三角变换中遇到形如：sinα±cosα=m的条件，假如是争辩性质的问题，常“合二为一”；假如是求值的问题，常两边平方，得到sinαcosα的值并推断出sinα、cosα的符号，再与sinα±cosα=m联立，解方程组。sinα±cosα与sinαcosα“三兄妹”关系亲密，要做到见此及彼；其中sinαcosα==,sinα+cosα与sinα-cosα通过sinαcosα实现过渡.已知，若，求的值。解析：思路一：联立方程①和②，解得：或∵∴>0,后一组接舍去，∴。思路二：由①平方得：③，联立①③运用韦达定理求得两组和的值，舍去一组后得出的值。思路三：利用③简洁求得，留意到<0即和异号，∵∴>0,<0；∴④；联立①④得到和的值，再求出的值。思路四：由①平方得：<0，∵∴>0,<0，∴；又>0,∴∴∴∴再用半角公式求出和的值。若，则等于（）A.1B.2C.–1D.–2设θ是三角形的一个内角，且Sinθ+Cosθ=eq\f(7,13)，则方程x2Sinθ+y2Cosθ=1表示的曲线是（A）焦点在x轴上的椭圆（B焦点在y轴上的椭圆（）（C）焦点在x轴上的双曲线（D）焦点在y轴上的双曲线函数的值域为6.能娴熟把握由tanα的值（m）求sinα、cosα的值的方法：若α是锐角，就依据tanα的值画一个直角三角形，在该直角三角形中求sinα、cosα；若α不肯定是锐角，则由方程组：sinα=mcosα,sin2α+cos2α=1解得，或“弦化切”。在三角变换中，要留意1的功用。“弦化切”时常把1化为正弦与余弦的平方；在三角变换中常用两倍角余弦公式消去1,如：，，，，等,此外.已知,其中为其次象限角,求(1),的值;(2)的值;解析：（1）将代入得：（）=1=，又为其次象限角，∴，=（2）原式=。（分子、分母同除以是“弦化切”的基本动作）已知2sin-cos=1求sin+2cos的值。设向量=（1+cosα，sinα），=（1-cosβ，sinβ），=（1，0），α∈（0，），β∈（，2），与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且θ1―θ2=，求的值。7．给（一个角的三角函数）值求（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示“求值”的角，再用两角和（差）的三角公式求得。设α、β均为锐角，cosα＝，cos(α+β)=－,则cosβ＝＿＿＿.解析：∵α、β均为锐角，∴sinα=,sin(α+β)=,cosβ=cos=(－)+=.(此类问题不宜解方程组)已知，则的值解析：=+-，2+=++，∴=。（这里“变角”的灵感与“给值求值”的做法一脉相承）。已知向量，，||=，求的值若且，求的值已知是锐角，sin=x,cos=y,cos()=－，则y与x的函数关系式为（）A．y=－+x(<x<1) B．y=－+x(0<x<1)C．y=－－x(0<x<) D．y=－－x(0<x<1)简答1.,B（）;2.易见是锐角三角形，若是锐角三角形，与三角形内角为冲突，选D，记直线倾角为，tan=-cot=tan(+),确定角的范围后选C，3、3，,4.，2，留意：-与+互余，选A;5.B，C，记：sinx+cosx=t(1≤t≤),f(x)=(t-1)∈6.2sin=1