2021高中数学(人教A版)选修2-3课时作业21

课时作业(二十一)1．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为()A．0.6和0.7 B．1.7和0.09C．0.3和0.7 D．1.7和0.21答案D解析E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21.2．已知X的分布列为X－101P0.50.30.2则D(X)等于()A．0.7 B．0.61C．－0.3 D．0答案B解析E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D(X)＝(－1＋0.3)2×0.5＋(0＋0.3)2×0.3＋(1＋0.3)2×0.2＝0.61.3．设X～B(n，p)，且E(X)＝12，D(X)＝4，则n与p的值分别为()A．18，eq\f(1,3) B．12，eq\f(2,3)C．18，eq\f(2,3) D．12，eq\f(1,3)答案C4．D(ξ－D(ξ))的值为()A．无法求 B．0C．D(ξ) D．2D(ξ)答案C解析D(ξ)为一常数，利用性质D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．5．甲、乙两台自动车床生产同种标准产品1000件，ξ表示甲机床生产1000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别是：ξ0123P0.70.10.10.1η012P0.50.30.2据此判定()A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好C．甲与乙的质量相同 D．无法判定答案A解析∵E(ξ)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(η)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＝0.7，由于E(ξ)<E(η)，即甲生产的次品数平均值比乙生产的次品数少，故选A.6．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝X1)＝eq\f(2,3)，P(ξ＝X2)＝eq\f(1,3)，且X1<X2，又已知E(ξ)＝eq\f(4,3)，D(ξ)＝eq\f(2,9)，则X1＋X2的值为()A.eq\f(5,3) B.eq\f(7,3)C．3 D.eq\f(11,3)答案C解析X1、X2满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)X1＋\f(1,3)X2＝\f(4,3)，,X1－\f(4,3)2×\f(2,3)＋X2－\f(4,3)2×\f(1,3)＝\f(2,9)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(X1＝1，,X2＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(X1＝\f(5,3)，,X2＝\f(2,3).))∵X1<X2，∴X1＝1，X2＝2，∴X1＋X2＝3.7．设ξ～B(n，p)，则有()A．E(2ξ－1)＝2npB．D(2ξ＋1)＝4np(1－p)＋1C．E(2ξ＋1)＝4np＋1D．D(2ξ－1)＝4np(1－p)答案D解析∵ξ～B(n，p)，E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)，∴E(2ξ－1)＝2E(ξ)－1＝2np－1，E(2ξ＋1)＝2np＋1，D(2ξ－1)＝4np(1－p)，D(2ξ＋1)＝4np(1－p)．8．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝eq\f(3,2)，则σ(X3)的值是()A．0.5 B.eq\r(1.5)C.eq\r(2.5) D．3.5答案C解析∵X1～B(n,0.2)，∴E(X1)＝0.2n＝2.∴n＝10，又X2～B(6，p)，∴D(X2)＝6p(1－p)＝eq\f(3,2)，∴p＝eq\f(1,2).又X3～B(n，p)，∴X3～B(10，eq\f(1,2))．∴σ(X3)＝eq\r(DX3)＝eq\r(10×\f(1,2)×\f(1,2))＝eq\r(2.5).9．若大事在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该大事在一次试验中发生的概率为________．答案0.5解析在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ听从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.10．已知离散型随机变量X的分布列如下表．E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.X－1012Pabceq\f(1,12)答案eq\f(5,12)eq\f(1,4)解析eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝\f(11,12)，,－a＋c＋\f(1,6)＝0，,a＋c＋\f(1,3)＝1))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(5,12)，,b＝\f(1,4)，,c＝\f(1,4).))11．变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝eq\f(1,3)，则D(ξ)的值是________．答案eq\f(5,9)解析由a，b，c成等差数列可知2b＝a＋c.又a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝eq\f(1,3)，a＋c＝eq\f(2,3).又E(ξ)＝－a＋c＝eq\f(1,3)，∴a＝eq\f(1,6)，c＝eq\f(1,2).故分布列为ξ－101Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,2)∴D(ξ)＝(－1－eq\f(1,3))2×eq\f(1,6)＋(0－eq\f(1,3))2×eq\f(1,3)＋(1－eq\f(1,3))2×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9).12．设投掷一个骰子的点数为随机变量X，则σ(X)＝________.答案eq\f(\r(105),6)解析依题意X的分布列为X123456Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)∴E(X)＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×eq\f(1,6)＝3.5，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝1×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,6)＋9×eq\f(1,6)＋16×eq\f(1,6)＋25×eq\f(1,6)＋36×eq\f(1,6)－(eq\f(7,2))2＝eq\f(35,12).∴σ(X)＝eq\r(DX)＝eq\f(\r(105),6).13．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数．(1)若抛掷一次，求E(X)和D(X)；(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X)．解析(1)X听从两点分布，X01Peq\f(1,2)eq\f(1,2)∴E(X)＝p＝eq\f(1,2).D(X)＝p(1－p)＝eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,2))＝eq\f(1,4).(2)由题意知，X～B(10，eq\f(1,2))．∴E(X)＝np＝10×eq\f(1,2)＝5，D(X)＝npq＝10×eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,2))＝eq\f(5,2).14．有甲、乙两个建材厂，都想投标参与某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样验查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数如下：ξ110120125130135P0.10.20.40.10.2η100115125130145P0.10.20.40.10.2其中ξ和η分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好．解析E(ξ)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E(η)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，D(ξ)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝50，D(η)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165，由于E(ξ)＝E(η)，D(ξ)<D(η)，故甲厂的材料稳定性较好．►重点班选做题15．已知随机变量X的数学期望为E(X)，方差为D(X)，随机变量Y＝eq\f(X－EX,\r(DX))，则D(Y)的值为()A．0 B．－1C．1 D.eq\r(DX)答案C解析∵E(X)，eq\r(DX)均为常数，∴D(Y)＝D(eq\f(X－EX,\r(DX)))＝eq\f(1,DX)·D(X)＝1.16．设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：X－101Peq\f(1,2)－ppeq\f(1,2)求E(X)与D(X)的最大值．解析依据题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤p<1，,0≤\f(1,2)－p<1，))解得0≤p≤eq\f(