【高考解码】2021届高三数学二轮复习(新课标)-几何证明选讲(选修4-1)

eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(第19讲理,17讲文))几何证明选讲(选修4－1)1．(2022·广东高考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则eq\f(△CDF的周长,△AEF的周长)＝________.【解析】易证△AEF∽△CDF,3AE＝CD∴eq\f(△CDF的周长,△AEF的周长)＝eq\f(CD,AE)＝3.【答案】32．(2022·重庆高考)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________.【解析】依题意得△PAC∽△PBA，则eq\f(PA,PC)＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(PB,PA)，即eq\f(6,PB＋9)＝eq\f(AB,8)＝eq\f(PB,6)，解得PB＝3，AB＝4.【答案】43．(2022·陕西高考)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.【解析】利用相像三角形的性质求解．∵∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB，∴△AEF∽△ACB，∴eq\f(AC,AE)＝eq\f(BC,EF)，∴2＝eq\f(BC,EF)，∴EF＝3.【答案】34．(2022·江苏高考)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点．证明：∠OCB＝∠D.【证明】由于B，C是圆O上的两点，所以OB＝OC.故∠OCB＝∠B.又由于C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D.从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为：1．相像三角形的判定及相关性质①该考向主要在实行新课标的高考地区经常消灭，主要考查相像三角形有关学问及平行线等分线段定理和平行线截割定理．②既可以命制选择题、填空题，也可命制解答题，难度中档．2．圆的切线的判定和性质①本考向主要考查圆的切线的判定，圆周角定理等基础学问，是高考的重点和热点，主要考查同学的规律思维力量和计算力量．②既可以命制填空题、选择题，也可以命制解答题．3．圆幂定理及应用①本考向主要考查圆幂定理和应用(四点共圆)问题，是高考的重点和热点，主要考查同学的规律思维力量和推理论证力量．②既可以命制填空题、选择题，也可以命制解答题．

eq\a\vs4\al(相像三角形的判定及相关性质)【例1】(2022·东北三校联考)如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，C是劣弧AB(不包括端点)上一点，直线PC交圆O于另一点D，Q在弦CD上，且∠DAQ＝∠PBC.求证：(1)eq\f(BD,AD)＝eq\f(BC,AC)；(2)△ADQ∽△DBQ.【证明】(1)由于△PBC∽△PDB，所以eq\f(BD,BC)＝eq\f(PD,PB)，同理eq\f(AD,AC)＝eq\f(PD,PA).又由于PA＝PB，所以eq\f(BD,BC)＝eq\f(AD,AC)，即eq\f(BD,AD)＝eq\f(BC,AC).(2)连接AB.由于∠BAC＝∠PBC＝∠DAQ，∠ABC＝∠ADQ，所以△ABC∽△ADQ，即eq\f(BC,AC)＝eq\f(DQ,AQ)，故eq\f(BD,AD)＝eq\f(DQ,AQ)，又由于∠DAQ＝∠PBC＝∠BDQ，所以△ADQ∽△DBQ.【规律方法】判定三角形相像的常用方法(1)利用三角形判定定理；(2)利用平行线分线段成比例定理；(3)利用与圆有关的“四定理”．[创新猜测]1.(2022·辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.【证明】(1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.从而eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,BD)，即AC·BD＝AD·AB.(2)由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD.又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.从而eq\f(AE,AB)＝eq\f(AD,BD)，即AE·BD＝AD·AB.结合(1)的结论知，AC＝AE.eq\a\vs4\al(圆的切线的判定和性质)【例2】(2022·辽宁高考)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.【证明】(1)由于PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA.所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA.由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°.故AB是直径．(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.又由于∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由(Ⅰ)得ED＝AB.【规律方法】已知圆的切线时，常作帮助线：连结圆心与切点，若题中有圆的直径常作出直径所对的圆周角，构造直角三角形．[创新猜测]2．(2021·辽宁高考)如图，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连结AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.【证明】(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB.从而∠EAB＋∠EBF＝eq\f(π,2)；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝eq\f(π,2)，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.eq\a\vs4\al(圆幂定理及应用)【例3】(2022·全国新课标Ⅰ高考)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.【证明】(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.由于∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而eq\x\to(BE)＝eq\x\to(EC).因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.由于PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.【规律方法】一般地，涉及圆内的两条相交弦时首先考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要留意应用切割线定理，要留意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区分．[创新猜测]3．(2021·全国课标Ⅱ高考)如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．【解】(1)证明由于CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知eq\f(BC,FA)＝eq\f(DC,EA)，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.由于B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝