【创新设计】2022届-数学一轮(理科)-人教B版-课时作业-第八章-立体几何-6-

第6讲立体几何中的向量方法（一）——证明平行与垂直基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是 ()A．a＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)解析若l∥α，则a·n＝0，D中，a·n＝1×0＋(－1)×3＋3×1＝0，∴a⊥n.答案D2．若eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(CD,\s\up8(→))＋μeq\o(CE,\s\up8(→))，则直线AB与平面CDE的位置关系是 ()A．相交 B．平行C．在平面内 D．平行或在平面内解析∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(CD,\s\up8(→))＋μeq\o(CE,\s\up8(→))，∴eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(CE,\s\up8(→))共面．则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．答案D3．已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点P中，在平面α内的是 ()A．P(2，3，3) B．P(－2，0，1)C．P(－4，4，0) D．P(3，－3，4)解析逐一验证法，对于选项A，eq\o(MP,\s\up8(→))＝(1，4，1)，∴eq\o(MP,\s\up8(→))·n＝6－12＋6＝0，∴eq\o(MP,\s\up8(→))⊥n，∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．答案A4.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面相互垂直，AB＝eq\r(2)，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为 ()A．(1，1，1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，\f(\r(2),3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，1))解析设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，又O是正方形ABCD对角线交点，∴M为线段EF的中点．在空间坐标系中，E(0，0，1)，F(eq\r(2)，eq\r(2)，1)．由中点坐标公式，知点M的坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)).答案C5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝eq\r(3)，AD＝2eq\r(2)，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为 ()A．平行 B．异面C．垂直 D．以上都不对解析以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，依题意，可得，D(0，0，0)，P(0，1，eq\r(3))，C(0，2，0)，A(2eq\r(2)，0，0)，M(eq\r(2)，2，0)．∴eq\o(PM,\s\up8(→))＝(eq\r(2)，2，0)－(0，1，eq\r(3))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))，eq\o(AM,\s\up8(→))＝(eq\r(2)，2，0)－(2eq\r(2)，0，0)＝(－eq\r(2)，2，0)，∴eq\o(PM,\s\up8(→))·eq\o(AM,\s\up8(→))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))·(－eq\r(2)，2，0)＝0，即eq\o(PM,\s\up8(→))⊥eq\o(AM,\s\up8(→))，∴AM⊥PM.答案C二、填空题6．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1，1，2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝________．解析∵a·b＝x－2＋6＝0，∴x＝－4.答案－47．设点C(2a＋1，a＋1，2)在点P(2，0，0)，A(1，－3，2)，B(8，－1，4)确定的平面上，则a＝________．解析eq\o(PA,\s\up8(→))＝(－1，－3，2)，eq\o(PB,\s\up8(→))＝(6，－1，4)．依据共面对量定理，设eq\o(PC,\s\up8(→))＝xeq\o(PA,\s\up8(→))＋yeq\o(PB,\s\up8(→))(x，y∈R)，则(2a－1，a＋1，2)＝x(－1，－3，2)＋y(6，－1，4)＝(－x＋6y，－3x－y，2x＋4y)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－1＝－x＋6y，,a＋1＝－3x－y，,2＝2x＋4y，))解得x＝－7，y＝4，a＝16.答案168．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，假如eq\o(AB,\s\up8(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up8(→))＝(4，2，0)，eq\o(AP,\s\up8(→))＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq\o(AP,\s\up8(→))是平面ABCD的法向量；④eq\o(AP,\s\up8(→))∥eq\o(BD,\s\up8(→)).其中正确的序号是________．解析∵eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AP,\s\up8(→))＝0，eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(AP,\s\up8(→))＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．又eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(AD,\s\up8(→))不平行，∴eq\o(AP,\s\up8(→))是平面ABCD的法向量，则③正确．由于eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝(2，3，4)，eq\o(AP,\s\up8(→))＝(－1，2，－1)，∴eq\o(BD,\s\up8(→))与eq\o(AP,\s\up8(→))不平行，故④错误．答案①②③三、解答题9．(2021·北京房山一模)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证：(1)PB∥平面EFH；(2)PD⊥平面AHF.证明建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，H(1，0，0)．(1)∵eq\o(PB,\s\up8(→))＝(2，0，－2)，eq\o(EH,\s\up8(→))＝(1，0，－1)，∴eq\o(PB,\s\up8(→))＝2eq\o(EH,\s\up8(→))，∴PB∥EH.∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，∴PB∥平面EFH.(2)eq\o(PD,\s\up8(→))＝(0，2，－2)，eq\o(AH,\s\up8(→))＝(1，0，0)，eq\o(AF,\s\up8(→))＝(0，1，1)，∴eq\o(PD,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，eq\o(PD,\s\up8(→))·eq\o(AH,\s\up8(→))＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，∴PD⊥AF，PD⊥AH，又∵AF∩AH＝A，∴PD⊥平面AHF.

10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．解在棱C1D1上存在点F(为C1D1中点)，使B1F∥平面A1BE.证明如下：设正方体的棱长为1.如图所示，以eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AA,\s\up8(→))1为单位正交基底建立空间直角坐标系．依题意，得B(1，0，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，A1(0，0，1)，eq\o(BA,\s\up8(→))1＝(－1，0，1)，eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(1,2))).设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n·eq\o(BA,\s\up8(→))1＝0，n·eq\o(BE,\s\up8(→))＝0，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋z＝0，,－x＋y＋\f(1,2)z＝0.))所以x＝z，y＝eq\f(1,2)z.取z＝2，得n＝(2，1，2)．设F是棱C1D1上的点，则F(t，1，1)(0≤t≤1)．又B1(1，0，1)，所以eq\o(B1F,\s\up8(→))＝(t－1，1，0)．而B1F⊄平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE⇔eq\o(B1F,\s\up8(→))·n＝0⇔(t－1，1，0)·(2，1，2)＝0⇔2(t－1)＋1＝0⇔t＝eq\f(1,2)⇔F为C1D1的中点．这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.

力量提升题组(建议用时：25分钟)11.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.以上正确说法的个数为 ()A．1B．2C．3D．4解析eq\o(A1M,\s\up8(→))＝eq\o(A1A,\s\up8(→))＋eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\o(A1A,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(D1P,\s\up8(→))＝eq\o(D1D,\s\up8(→))＋eq\o(DP,\s\up8(→))＝eq\o(A1A,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))，∴eq\o(A1M,\s\up8(→))∥eq\o(D1P,\s\up8(→))，所以A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，A1M∥面DCC1D1，A1M∥面D1PQB1.①③④正确．答案C12.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，则MN与平面BB1C1C的位置关系是 ()A．相交 B．平行C．垂直 D．不能确定解析分别以C1B1、C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，∵A1M＝AN＝eq\f(\r(2),3)a，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(2,3)a，\f(a,3)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a，\f(2,3)a，a))，∴eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)，0，\f(2,3)a)).又C1(0，0，0)，D1(0，a，0)，∴eq\o(C1D1,\s\up8(→))＝(0，a，0)，∴eq\o(MN,\s\up8(→))·eq\o(C1D1,\s\up8(→))＝0，∴eq\o(MN,\s\up8(→))⊥eq\o(C1D1,\s\up8(→)).∵eq\o(C1D1,\s\up8(→))是平面BB1C1C的法向量，且MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.答案B13.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，假如B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．解析以D1A1，D1C1，D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CE＝x，DF＝y，则易知E(x，1，1)，B1(1，1，0)，F(0，0，1－y)，B(1，1，1)，∴eq\o(B1E,\s\up8(→))＝(x－1，0，1)，∴eq\o(FB,\s\up8(→))＝(1，1，y)，由于B1E⊥平面ABF，所以eq\o(FB,\s\up8(→))·eq\o(B1E,\s\up8(→))＝(1，1，y)·(x－1，0，1)＝0⇒x＋y＝1.答案114．如图所示，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的eq\r(2)倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．(1)证明连接BD，设AC交BD于O，则AC⊥BD.由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))，eq\o(OS,\s\up8(→))分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系如图．设底面边长为a，则高SO＝eq\f(\r(6),2)a，于是Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(6),2)a))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，0))，eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，0))，eq\o(SD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，0，－\f(\r(6),2)a))，则eq\o(OC,\s\up8(→))·eq\o(SD,\s