2021高考数学(文-江苏专用)二轮复习-专题五-第二讲-圆锥曲线18-【要点导学】

求圆锥曲线的标准方程例1已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)已知动点P到定点Q(,0)的距离与点P到定直线l:x=2的距离之比为,求动点P的轨迹C'的方程.【分析】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的标准方程等基础学问,以及利用直接法和待定系数法求椭圆方程的基本方法.【解答】(1)依题意,可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),且可知左焦点为F'(-2,0),从而有解得又a2=b2+c2,所以b2=12.故椭圆C的方程为+=1.(2)设点P(x,y),依题意,得=,整理,得+=1.所以动点P的轨迹C'的方程为+=1.【点评】本题第一问已知焦点即知道了c,再利用椭圆定义先求得2a,从而利用椭圆中a,b,c的关系,求得b,从而得椭圆方程.本题还可以利用待定系数法设椭圆方程为+=1,代入已知点求解,明显没有利用定义来得简洁.变式(1)已知椭圆两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,若△PF1F2的面积的最大值为12,则椭圆方程为;(2)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-,0),B(,0),E为动点,且直线EA与直线EB的斜率之积为-,则动点E的轨迹C的方程为.【答案】(1)+=1(2)+y2=1(x≠±)【解析】(1)当点P为椭圆的短轴顶点时,△PF1F2的面积最大,此时△PF1F2的面积的最大值为S=×8×b=12,所以b=3,所以a2=b2+c2=25,所以椭圆方程为+=1.(2)设动点E的坐标为(x,y),依题意可知·=-,整理得+y2=1(x≠±).所以动点E的轨迹C的方程为+y2=1(x≠±).求离心率的值或范围例2(1)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的左顶点为A,左焦点为F,上顶点为B,若∠BAO+∠BFO=90°,则椭圆的离心率是;(2)点M是椭圆+=1(a>b>0)上的点,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F,圆M与y轴相交于点P,Q,若△PQM是钝角三角形,则椭圆离心率的取值范围是.【答案】(1)(2)【分析】(1)构建三角形,用a,b,c表示这两个角,即可建立方程解出离心率e;(2)依据△PQM是等腰三角形,故将其钝角三角形这一条件转化为顶角的一半小于45°,从而转化为a,b,c的不等式,求出e的取值范围.【解析】(1)方法一:由于∠BAO+∠BFO=90°,所以sin∠BFO=cos∠BAO=cos∠BAF.在△ABF中,由正弦定理得===,即=,所以=,所以a2=b,即a4=(a2-c2)(2a2-c2),化简得e4-3e2+1=0,解得e2=,,故e=(负根舍去).方法二:易知∠BAF=∠FBO,所以Rt△BFO∽Rt△ABO,则=,即=,所以ac=b2=a2-c2,所以c2+ac-a2=0.即e2+e-1=0,解得e=(负根舍去).方法三:设椭圆右顶点为C,连接BC,则∠BCO=∠BAF,所以∠BCO+∠BFC=90°,则BF2+BC2=CF2,即a2+a2+b2=(a+c)2,所以2a2-c2=2ac+c2,即c2+ac-a2=0,所以e2+e-1=0,解得e=(负根舍去).(2)由题意可知圆M的半径为,点M到y的距离为c.由于△PQM是等腰三角形,故只能是∠PMQ为钝角,从而只须>c即可,即ac<b2=a2-c2,两边同时除以a2并整理得e2+e-1<0,解得<e<,而0<e<1,所以e∈.【点评】(1)椭圆离心率的求解主要是将所给几何条件进行转化,建立关于a,b,c的齐次方程.本题对于所给条件∠BAO+∠BFO=90°实行了三种转化,分别是正弦定理、余弦定理以及相像三角形,但目的都是全都的;(2)本题为求离心率的范围的问题,主要是将几何条件“∠PMQ为钝角”转化为边长之间的不等式,再将该不等式转化为关于离心率e的不等式,解不等式即可得到离心率e的取值范围,不能遗忘椭圆的离心率在(0,1)中.变式(1)(2022·无锡期末)若双曲线-=1(a>0,b>0)右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍,则该双曲线离心率的取值范围为;(2)若椭圆+=1(a>b>0)上存在一点M,它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍,则椭圆离心率的最小值为.【答案】(1)(1,2]∪[3,6)(2)【解析】(1)记双曲线-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,设点P到右准线的距离为d,则由题意得点P到左焦点的距离PF1=6d,由于PF1-PF2=2a,所以PF2=6d-2a,所以=,所以d=.又由于d≥a-,所以即解得1<e≤2或3≤e<6,故双曲线的离心率e的取值范围是(1,2]∪[3,6).(2)由题意,设点M的横坐标为x,依据焦半径公式得a+ex=2,x=,有-a≤≤a,不等式各边同除以a,得-1≤≤1,则-1≤e+2,即e2+3e-2≥0,又0<e<1,所以≤e<1,所以该椭圆离心率的最小值为.与向量相关的圆锥曲线问题例3(2022·苏州期末)如图,已知椭圆+=1(a>b>0)的右顶点为A(2,0),点P在椭圆上(e为椭圆的离心率).(例3)(1)求椭圆的方程;(2)若点B,C(C在第一象限)都在椭圆上,满足=λ,且·=0,求实数λ的值.【分析】第一小问依据A,P这两点坐标代入椭圆方程即可求出;其次小问中两个向量条件分别说明白OC∥BA,OC⊥OB,可利用这两个条件求解参数λ.【解答】(1)由已知,a=2,e=,将P代入椭圆的方程,得+=1.由于b2+c2=4,所以b2=1,c2=3.所以椭圆的方程为+y2=1.(2)明显直线OC的斜率存在.设直线OC的斜率为k,则直线OC的方程为y=kx,代入椭圆方程+y2=1,即x2+4y2=4,得(1+4k2)x2=4,所以xC=.则C.又直线AB的方程为y=k(x-2),代入椭圆方程x2+4y2=4,得(1+4k2)x2-16k2x+16k2-4=0.由于xA=2,所以xB=.则B.由于·=0,所以·+·=0.所以k2=.由于点C在第一象限,所以k>0,k=.由于=.==.由=λ,得λ=.由于k=,所以λ=.【点评